Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville und Charles-François Sturm ) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis : Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung:[ 1]
−
(
p
⋅
ψ
′
)
′
+
q
⋅
ψ
=
λ
⋅
w
⋅
ψ
{\displaystyle -\left(p\cdot \psi '\right)'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi }
wobei
p
,
q
,
w
{\displaystyle p,q,w}
λ
{\displaystyle \lambda }
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
Randbedingungen
cos
(
α
)
ψ
(
a
)
+
sin
(
α
)
p
(
a
)
ψ
′
(
a
)
=
0
cos
(
β
)
ψ
(
b
)
+
sin
(
β
)
p
(
b
)
ψ
′
(
b
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha )\psi (a)&+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0\\\cos(\beta )\psi (b)&+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0\end{aligned}}}
genügt (
α
,
β
∈
[
0
,
π
)
{\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,\pi )}
Führt man den linearen Operator der Form
L
=
1
w
(
−
d
d
x
p
d
d
x
+
q
)
{\displaystyle L={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}
ein, den Sturm-Liouville-Operator , so kann die Eigenwertgleichung
L
ψ
=
λ
ψ
{\displaystyle L\psi =\lambda \psi }
Funktionalanalysis (Spektraltheorie ) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion
w
{\displaystyle w}
quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.
Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizienten
w
,
p
−
1
,
q
{\displaystyle w,p^{-1},q}
Die Eigenwertgleichung
−
(
p
⋅
ψ
′
)
′
+
q
⋅
ψ
=
λ
⋅
w
⋅
ψ
{\displaystyle -(p\cdot \psi ')'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi }
mit integrierbaren reellen Funktionen
w
(
x
)
>
0
,
p
(
x
)
−
1
>
0
,
q
(
x
)
{\displaystyle w(x)>0,p(x)^{-1}>0,q(x)}
cos
(
α
)
ψ
(
a
)
+
sin
(
α
)
p
(
a
)
ψ
′
(
a
)
=
0
,
cos
(
β
)
ψ
(
b
)
+
sin
(
β
)
p
(
b
)
ψ
′
(
b
)
=
0
,
α
,
β
∈
[
0
,
π
)
,
{\displaystyle \cos(\alpha )\psi (a)+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0,\quad \cos(\beta )\psi (b)+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0,\qquad \alpha ,\beta \in [0,\pi ),}
nennt man ein reguläres Sturm-Liouville-Problem über dem Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Im Fall
ψ
(
a
)
=
ψ
(
b
)
=
0
{\displaystyle \psi (a)=\psi (b)=0}
Dirichlet-Randbedingungen und im Fall
ψ
′
(
a
)
=
ψ
′
(
b
)
=
0
{\displaystyle \psi '(a)=\psi '(b)=0}
Neumann-Randbedingungen , wobei die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung mit den Randbedingungen sichergestellt wird.
Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt, die gegen
+
∞
{\displaystyle +\infty }
λ
1
<
λ
2
<
λ
3
<
⋯
<
λ
n
<
⋯
→
∞
.
{\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty .}
Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch (Weyl Asymptotik) wie
λ
n
=
π
2
(
∫
a
b
w
(
x
)
p
(
x
)
d
x
)
−
2
n
2
+
O
(
n
)
.
{\displaystyle \lambda _{n}=\pi ^{2}\left(\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {w(x)}{p(x)}}}\mathrm {d} x\right)^{-2}n^{2}+O(n).}
Die zugehörigen Eigenfunktionen
ψ
n
{\displaystyle \psi _{n}}
Orthonormalbasis im Hilbertraum
L
2
(
[
a
,
b
]
,
w
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)}
w
{\displaystyle w}
Beispiel
Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung
−
ψ
″
=
λ
ψ
{\displaystyle -\psi ''=\lambda \psi }
auf dem Intervall
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
ψ
(
0
)
=
ψ
(
π
)
=
0.
{\displaystyle \psi (0)=\psi (\pi )=0.}
Aufgrund der Randbedingungen wird der periodische Ansatz
ψ
(
x
)
=
a
sin
(
λ
x
)
{\displaystyle \psi (x)=a\sin({\sqrt {\lambda }}x)}
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
ψ
(
0
)
=
ψ
(
π
)
=
0
{\displaystyle \psi (0)=\psi (\pi )=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
sin
(
λ
π
)
=
0
,
{\displaystyle \sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0,}
λ
π
=
n
π
{\displaystyle {\sqrt {\lambda }}\pi =n\pi }
λ
=
n
2
{\displaystyle \lambda =n^{2}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
λ
n
=
n
2
{\displaystyle \lambda _{n}=n^{2}}
und genügt der Weyl-Asymptotik.
Die Folge der Eigenfunktionen lautet bis auf die zu bestimmenden Koeffizienten
a
n
{\displaystyle a_{n}}
ψ
n
(
x
)
=
a
n
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle \psi _{n}(x)=a_{n}\sin(n\,x).}
Die Orthonormalbasis der Eigenfunktionen im Hilbertraum
L
2
(
[
0
,
π
]
,
d
x
)
{\displaystyle L^{2}([0,\pi ],\mathrm {d} x)}
w
(
x
)
=
1
{\displaystyle w(x)=1}
trigonometrischen Formel
sin
(
n
x
)
sin
(
m
x
)
=
1
2
(
cos
(
(
n
−
m
)
x
)
−
cos
(
(
n
+
m
)
x
)
)
{\displaystyle \textstyle \sin(nx)\;\sin(mx)={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos {\big (}(n-m)x{\big )}-\cos {\big (}(n+m)x{\big )}{\Big )}}
⟨
ψ
n
,
ψ
m
⟩
=
∫
ψ
n
(
x
)
¯
ψ
m
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
a
n
sin
(
n
x
)
¯
a
m
sin
(
m
x
)
d
x
=
a
n
a
m
∫
0
π
sin
(
n
x
)
sin
(
m
x
)
d
x
=
a
n
a
m
2
∫
0
π
(
cos
(
(
n
−
m
)
x
)
−
cos
(
(
n
+
m
)
x
)
)
d
x
=
{
a
n
a
m
2
[
1
n
−
m
sin
(
(
n
−
m
)
x
)
−
1
n
+
m
sin
(
(
n
+
m
)
x
)
]
0
π
=
0
wenn
n
≠
m
a
n
2
2
[
x
−
1
2
n
sin
(
2
n
x
)
]
0
π
=
a
n
2
π
2
wenn
n
=
m
=
a
n
2
π
2
δ
n
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle &=\int {\overline {\psi _{n}(x)}}\psi _{m}(x)\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi }{\overline {a_{n}\sin(nx)}}\;a_{m}\sin(mx)\,\mathrm {d} x=a_{n}a_{m}\int _{0}^{\pi }\sin(nx)\sin(mx)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {a_{n}a_{m}}{2}}\int _{0}^{\pi }{\bigg (}\cos {\big (}(n-m)x{\big )}-\cos {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg )}\,\mathrm {d} x\\\\&={\begin{cases}{\frac {a_{n}a_{m}}{2}}{\bigg [}{\frac {1}{n-m}}\sin {\big (}(n-m)x{\big )}-{\frac {1}{n+m}}\sin {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg ]}_{0}^{\pi }=0&&{\text{wenn}}\;n\neq m\\\\{\frac {a_{n}^{2}}{2}}{\Bigg [}x-{\frac {1}{2n}}\sin(2nx){\bigg ]}_{0}^{\pi }={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}&&{\text{wenn}}\;n=m\end{cases}}\\\\&={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}\delta _{nm}.\end{aligned}}}
Hierbei bedeutet
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{nm}}
Kronecker-Delta und die Normierung
⟨
ψ
n
,
ψ
m
⟩
=
δ
n
m
{\displaystyle \langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle =\delta _{nm}}
a
n
=
2
π
{\displaystyle a_{n}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}
ψ
n
(
x
)
=
2
π
sin
(
n
x
)
{\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(n\,x)}
annehmen.
Die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist die Fourierreihe mit
Ψ
=
∑
n
=
1
∞
ψ
n
=
∑
n
=
1
∞
2
π
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle \Psi =\sum _{n=1}^{\infty }\psi _{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(nx).}
Eigenschaften
Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem ist man daran interessiert, das Verhalten der Eigenfunktionen zu beschreiben, ohne deren genaue Kenntnis zu haben. Insofern geben die nachfolgenden Sätze, die teilweise auf Charles-François Sturm zurückgehen, einen Überblick an die Eigenschaften der Lösungen des Sturm-Liouville-Problems.
Dazu wird die homogene Differentialgleichung
L
ψ
=
1
w
(
−
d
d
x
p
d
d
x
+
q
)
ψ
=
0
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}\psi ={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi =0}
w
=
1
{\displaystyle w=1}
p
,
q
{\displaystyle p,q}
p
∈
C
1
(
(
a
,
b
)
,
R
)
{\displaystyle p\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}
p
>
0
{\displaystyle p>0}
q
∈
C
0
(
(
a
,
b
)
,
R
)
{\displaystyle q\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )}
q
>
0
{\displaystyle q>0}
[ 2] Darüberhinausgehende Anforderungen sind in den entsprechenden Sätzen formuliert.
Amplitudensatz
Da die Amplituden den Absolutbetrag der lokalen Extremwerte angeben, wird mit dem nachfolgenden Satz das Verhalten der Amplituden aufeinanderfolgender Nullstellen beschrieben.
Abweichend von den eingangs genannten Voraussetzungen sei
p
,
q
∈
C
1
(
(
a
,
b
)
,
R
)
{\displaystyle p,q\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}
p
,
q
{\displaystyle p,q}
(
c
,
d
)
⊆
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\subseteq (a,b)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
L
ϕ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}\phi =0}
Amplituden zweier aufeinanderfolgender Extremstellen
x
k
<
x
k
+
1
{\displaystyle x_{k}<x_{k+1}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
|
ϕ
(
x
k
+
1
)
|
≥
|
ϕ
(
x
k
)
|
wenn
(
p
q
)
′
<
0
{\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\geq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'<0}
|
ϕ
(
x
k
+
1
)
|
≤
|
ϕ
(
x
k
)
|
wenn
(
p
q
)
′
>
0
{\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\leq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'>0}
Beweis
Es sei
ϕ
{\displaystyle \phi }
ψ
=
ϕ
2
+
1
p
q
(
p
ϕ
′
)
2
{\displaystyle \psi =\phi ^{2}+{\frac {1}{pq}}\left(p\phi '\right)^{2}}
Dabei ist
ψ
{\displaystyle \psi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
(
p
ϕ
′
)
′
=
−
q
ϕ
{\displaystyle (p\phi ')'=-q\phi }
ψ
′
=
2
ϕ
ϕ
′
+
1
p
q
2
p
ϕ
′
(
p
ϕ
′
)
′
−
(
p
q
)
′
(
p
q
)
2
(
p
ϕ
′
)
2
=
2
ϕ
ϕ
′
−
2
ϕ
ϕ
′
−
(
p
q
)
′
(
p
q
)
2
(
p
ϕ
′
)
2
=
−
(
p
q
)
′
(
ϕ
′
q
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi '&=2\phi \phi '+{\frac {1}{pq}}2p\phi '\left(p\phi '\right)'-{\frac {(pq)'}{(pq)^{2}}}\left(p\phi '\right)^{2}\\&=2\phi \phi '-2\phi \phi '-{\frac {(pq)'}{(pq)^{2}}}\left(p\phi '\right)^{2}\\&=-(pq)'\left({\frac {\phi '}{q}}\right)^{2}.\end{aligned}}}
Wird zudem berücksichtigt, dass an jedem Extrempunkt
ϕ
′
(
x
k
+
1
)
=
ϕ
′
(
x
k
)
=
0
{\displaystyle \phi '(x_{k+1})=\phi '(x_{k})=0}
ξ
{\displaystyle \xi }
c
<
x
k
≤
ξ
≤
x
k
+
1
<
d
{\displaystyle c<x_{k}\leq \xi \leq x_{k+1}<d}
ψ
′
(
ξ
)
≥
0
wenn
(
p
(
ξ
)
q
(
ξ
)
)
′
<
0
ψ
′
(
ξ
)
≤
0
wenn
(
p
(
ξ
)
q
(
ξ
)
)
′
>
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(\xi )\geq 0&{\text{ wenn }}(p(\xi )q(\xi ))'<0\\\psi '(\xi )\leq 0&{\text{ wenn }}(p(\xi )q(\xi ))'>0.\end{aligned}}}
Demzufolge wird die Steigung von
ψ
{\displaystyle \psi }
(
p
q
)
′
{\displaystyle (pq)'}
ψ
{\displaystyle \psi }
ϕ
2
{\displaystyle \phi ^{2}}
|
ϕ
(
x
k
+
1
)
|
≥
|
ϕ
(
x
k
)
|
wenn
(
p
q
)
′
<
0
{\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\geq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'<0}
|
ϕ
(
x
k
+
1
)
|
≤
|
ϕ
(
x
k
)
|
wenn
(
p
q
)
′
>
0
{\displaystyle |\phi (x_{k+1})|\leq |\phi (x_{k})|{\text{ wenn }}(pq)'>0}
◻
{\displaystyle \Box }
Oszillationssatz
Der Oszillationssatz besagt für
L
ψ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}\psi =0}
p
,
q
{\displaystyle p,q}
lim
b
→
∞
∫
a
b
1
p
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {1}{p(x)}}\mathrm {d} x}
lim
b
→
∞
∫
a
b
q
(
x
)
d
x
{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}q(x)\mathrm {d} x}
dann ist auf dem Intervall
(
a
,
∞
)
{\displaystyle (a,\infty )}
oszillatorisch .[ 3]
Zudem gilt im Falle von Dirichlet-Randbedingungen, dass jede
n
{\displaystyle n}
ψ
n
{\displaystyle \psi _{n}}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
Beweis
Seien
ϕ
{\displaystyle \phi }
ψ
:=
p
ϕ
′
{\displaystyle \psi :=p\phi '}
ϕ
′
=
1
p
ψ
{\displaystyle \phi '={\tfrac {1}{p}}\psi }
−
(
p
ϕ
′
)
′
+
q
ϕ
=
0
{\displaystyle -(p\phi ')'+q\phi =0}
ψ
′
=
(
p
ϕ
′
)
′
=
q
ϕ
{\displaystyle \psi '=(p\phi ')'=q\phi }
(
ϕ
ψ
)
′
=
(
1
p
ψ
q
ϕ
)
=
(
0
1
p
q
0
)
(
ϕ
ψ
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi \\\psi \end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{p}}\psi \\q\phi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{p}}\\q&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\phi \\\psi \end{pmatrix}}\quad \qquad }
Dieses lineare Differentialgleichungssystem hat nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn für jedes
ξ
≥
a
{\displaystyle \xi \geq a}
(
ϕ
(
ξ
)
ψ
(
ξ
)
)
=
(
ϕ
(
ξ
)
p
ϕ
′
(
ξ
)
)
≠
(
0
0
)
{\displaystyle {\Big (}{\begin{smallmatrix}\phi (\xi )\\\psi (\xi )\end{smallmatrix}}{\Big )}={\Big (}{\begin{smallmatrix}\phi (\xi )\\p\phi '(\xi )\end{smallmatrix}}{\Big )}\neq {\big (}{\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix}}{\big )}}
ϕ
(
ξ
)
=
ϕ
(
ξ
)
′
=
0
{\displaystyle \phi (\xi )=\phi (\xi )'=0}
ϕ
(
ξ
)
≡
0
{\displaystyle \phi (\xi )\equiv 0}
Gesucht sind daher oszillatorische Lösungen, die mittels der Prüfer-Transformation in ebenen Polarkoordinaten erhalten werden:
(
ϕ
(
x
)
ψ
(
x
)
)
=
ρ
(
x
)
(
sin
ϑ
(
x
)
cos
ϑ
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi (x)\\\psi (x)\end{pmatrix}}=\rho (x){\begin{pmatrix}\sin \vartheta (x)\\\cos \vartheta (x)\end{pmatrix}}\qquad \qquad \qquad }
Dabei ist
ρ
(
x
)
=
(
ϕ
2
(
x
)
+
ψ
2
(
x
)
)
1
/
2
{\displaystyle \rho (x)={\big (}\phi ^{2}(x)+\psi ^{2}(x){\big )}^{1/2}}
Argumentfunktion lautet:
ϑ
(
x
)
=
arctan
ϕ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle \vartheta (x)=\arctan {\tfrac {\phi (x)}{\psi (x)}}\quad }
ϑ
(
x
)
=
arccot
ψ
(
x
)
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \quad \vartheta (x)=\operatorname {arccot} {\tfrac {\psi (x)}{\phi (x)}}}
[ 4]
lim
x
→
∞
ϑ
(
x
)
→
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)\to \infty }
sin
ϑ
(
x
)
{\displaystyle \sin \vartheta (x)}
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
Begründung: Aus (I) und (II) folgt
ϕ
′
=
(
I
I
)
ρ
′
sin
ϑ
+
ρ
ϑ
′
cos
ϑ
=
(
I
)
r
p
cos
ϑ
{\displaystyle \phi '\;{\stackrel {\mathrm {(II)} }{=}}\rho '\sin \vartheta +\rho \vartheta '\cos \vartheta \;{\stackrel {\mathrm {(I)} }{=}}{\frac {r}{p}}\cos \vartheta \qquad \qquad }
ψ
′
=
(
I
I
)
ρ
′
cos
ϑ
−
ρ
ϑ
′
sin
ϑ
=
(
I
)
−
q
sin
ϑ
{\displaystyle \psi '\;{\stackrel {\mathrm {(II)} }{=}}\rho '\cos \vartheta -\rho \vartheta '\sin \vartheta \;{\stackrel {\mathrm {(I)} }{=}}-q\sin \vartheta \qquad \quad \;}
Wird die Gleichung (III a) mit
cos
ϑ
{\displaystyle \cos \vartheta }
−
sin
ϑ
{\displaystyle -\sin \vartheta }
ϑ
′
=
1
p
cos
2
ϑ
+
q
sin
2
ϑ
>
0
{\displaystyle \vartheta '={\frac {1}{p}}\cos ^{2}\vartheta +q\sin ^{2}\vartheta >0\qquad \qquad \qquad \quad }
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
Bleibt noch zu zeigen, dass
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
Wäre
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
α
:=
lim
x
→
∞
cos
2
ϑ
(
x
)
{\displaystyle \alpha :=\lim _{x\to \infty }\cos ^{2}\vartheta (x)}
β
:=
lim
x
→
∞
sin
2
ϑ
(
x
)
{\displaystyle \beta :=\lim _{x\to \infty }\sin ^{2}\vartheta (x)}
α
+
β
=
1
{\displaystyle \alpha +\beta =1}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
Sei im Folgenden
x
0
>
a
{\displaystyle x_{0}>a}
cos
2
ϑ
(
x
)
≥
α
2
,
sin
2
ϑ
(
x
)
≥
β
2
{\displaystyle \cos ^{2}\vartheta (x)\geq {\tfrac {\alpha }{2}},\;\sin ^{2}\vartheta (x)\geq {\tfrac {\beta }{2}}}
x
>
x
0
{\displaystyle x>x_{0}}
x
>
x
0
{\displaystyle x>x_{0}}
ϑ
(
x
)
−
ϑ
(
x
0
)
=
∫
x
0
x
ϑ
′
(
t
)
d
t
=
∫
x
0
x
(
1
p
(
t
)
cos
2
ϑ
(
x
)
⏟
≥
α
/
2
+
q
(
t
)
sin
2
ϑ
(
x
)
⏟
≥
β
/
2
)
d
t
≥
α
2
∫
x
0
x
1
p
(
t
)
d
t
+
β
2
∫
x
0
x
q
(
t
)
d
t
→
x
→
∞
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)-\vartheta (x_{0})&=\int _{x_{0}}^{x}\vartheta '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\bigg (}{\frac {1}{p(t)}}\underbrace {\cos ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \alpha /2}+q(t)\underbrace {\sin ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \beta /2}{\bigg )}\mathrm {d} t\\&\geq {\frac {\alpha }{2}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{p(t)}}\mathrm {d} t+{\frac {\beta }{2}}\int _{x_{0}}^{x}q(t)\mathrm {d} t\quad {\xrightarrow[{x\to \infty }]{\quad }}\infty \end{aligned}}}
einen Widerspruch zur Voraussetzung.
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
◻
{\displaystyle \Box }
Trennungssatz
Wird die Differentialgleichung
L
ψ
=
(
−
d
d
x
p
d
d
x
+
q
)
ψ
=
0
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}\psi =\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)\psi =0}
Fundamentalsystems in der Darstellung
ψ
″
+
a
1
ψ
′
+
a
0
ψ
=
0
{\displaystyle \psi ''+a_{1}\psi '+a_{0}\psi =0}
betrachtet, wobei
a
0
=
q
p
∈
C
0
(
(
a
,
b
)
,
R
)
{\displaystyle a_{0}={\tfrac {q}{p}}\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )}
a
1
=
p
′
p
∈
C
1
(
(
a
,
b
)
,
R
)
{\displaystyle a_{1}={\tfrac {p'}{p}}\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )}
1) Ist
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
{\displaystyle \psi }
2) Die Nullstellen zweier linear unabhängigen Lösungen
ϕ
,
ψ
{\displaystyle \phi ,\psi }
Siehe auch Abelsche Identität
Beweis
zu 1):
ξ
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle \xi \in (c,d)}
ψ
:
(
c
,
d
)
→
R
{\displaystyle \psi \colon (c,d)\to \mathbb {R} }
ψ
′
(
ξ
)
≠
0
{\displaystyle \psi '(\xi )\neq 0}
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
″
+
a
1
ψ
′
+
a
0
ψ
=
0
{\displaystyle \psi ''+a_{1}\psi '+a_{0}\psi =0}
y
(
ξ
)
=
y
′
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle y(\xi )=y'(\xi )=0}
ψ
=
0
{\displaystyle \psi =0}
ψ
′
(
ξ
)
≠
0
{\displaystyle \psi '(\xi )\neq 0}
ξ
{\displaystyle \xi }
x
0
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle x_{0}\in (c,d)}
ξ
n
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle \xi _{n}\in (c,d)}
ξ
n
→
n
→
∞
x
0
,
ξ
n
≠
x
0
{\displaystyle \xi _{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}x_{0},\xi _{n}\neq x_{0}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
ψ
(
x
0
)
=
lim
n
→
∞
ψ
(
ξ
n
)
=
0
,
ψ
′
(
x
0
)
=
l
i
m
n
→
∞
ψ
(
ξ
)
−
ψ
(
x
0
)
ξ
−
x
0
=
0
{\displaystyle \psi (x_{0})=\lim \nolimits _{n\to \infty }\psi (\xi _{n})=0,\psi '(x_{0})=lim_{n\to \infty }{\tfrac {\psi (\xi )-\psi (x_{0})}{\xi -x_{0}}}=0}
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle \psi (x_{0})=0}
ψ
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle \psi (x_{0})\neq 0}
abzählbar . Sei
(
c
,
d
)
⊂
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\subset (a,b)}
kompaktes Teilintervall. Da sich die Nullstellen nirgends in
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
α
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle \alpha \in (c,d)}
U
a
{\displaystyle U_{a}}
ξ
≠
a
{\displaystyle \xi \neq a}
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
α
1
,
…
,
α
n
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in (c,d)}
(
c
,
d
)
⊂
⋃
j
=
1
k
U
α
j
{\displaystyle (c,d)\subset \bigcup \nolimits _{j=1}^{k}U_{\alpha _{j}}}
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
ξ
∈
(
c
,
d
)
{\displaystyle \xi \in (c,d)}
ξ
∈
α
1
,
…
,
α
k
{\displaystyle \xi \in {\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
ψ
{\displaystyle \psi }
zu 2):
ϕ
,
ψ
{\displaystyle \phi ,\psi }
ψ
″
+
a
1
ψ
′
+
a
0
ψ
=
0
{\displaystyle \psi ''+a_{1}\psi '+a_{0}\psi =0}
c
<
ξ
1
<
ξ
2
<
d
{\displaystyle c<\xi _{1}<\xi _{2}<d}
ψ
{\displaystyle \psi }
wobei
W
(
ϕ
,
ψ
)
=
|
ϕ
ψ
ϕ
′
ψ
′
|
{\displaystyle W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}}
Wronski-Determinante der Funktionen
ϕ
,
ψ
{\displaystyle \phi ,\psi }
Andererseits gilt wegen den Voraussetzungen
L
1
ϕ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\phi =0}
L
2
ψ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}\psi =0}
ϕ
L
2
ψ
−
ψ
L
1
ϕ
=
−
d
d
x
(
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
)
+
(
q
2
−
q
1
)
ϕ
ψ
=
0
{\displaystyle \phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}+(q_{2}-q_{1})\phi \psi =0}
Nach beidseitiger Integration
∫
c
d
(
ϕ
L
2
ψ
−
ψ
L
1
ϕ
)
d
x
=
−
[
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
]
c
d
+
∫
a
b
(
q
2
−
q
1
)
ϕ
ψ
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{c}^{d}{\big (}\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi {\big )}\mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}+\int _{a}^{b}(q_{2}-q_{1})\phi \psi \mathrm {d} x=0}
folgt nun
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
ϕ
ψ
d
x
=
−
[
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
]
c
d
{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})\phi \psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}\qquad }
Sind die Funktionen
ψ
{\displaystyle \psi }
ϕ
:=
p
ψ
′
{\displaystyle \phi :=p\psi '}
−
(
p
ψ
′
)
′
+
q
2
ψ
=
0
{\displaystyle -(p\psi ')'+q_{2}\psi =0}
ϕ
′
=
(
p
ψ
′
)
′
=
q
2
ψ
{\displaystyle \phi '=(p\psi ')'=q_{2}\psi }
W
(
ϕ
,
ψ
)
=
|
ϕ
ψ
ϕ
′
ψ
′
|
=
|
p
ψ
′
ψ
q
2
ψ
ψ
′
|
=
p
(
ψ
′
)
2
−
q
2
(
ψ
)
2
{\displaystyle W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}p\psi '&\psi \\q_{2}\psi &\psi '\end{vmatrix}}=p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}}
Die Gleichung (III) erhält mit diesem Zwischenergebnis die Gestalt:
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
p
ψ
′
ψ
d
x
=
−
[
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
]
c
d
=
−
[
p
(
p
(
ψ
′
)
2
−
q
2
(
ψ
)
2
)
]
c
d
{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}}
o.B.d.A.
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
⊆
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\subseteq (a,b)}
Neumann-Randbedingung
ψ
′
(
c
)
=
0
=
ψ
′
(
d
)
{\displaystyle \psi '(c)=0=\psi '(d)}
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
p
ψ
′
ψ
d
x
=
−
[
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
]
c
d
=
−
[
p
(
p
(
ψ
′
)
2
−
q
2
(
ψ
)
2
)
]
c
d
=
[
p
q
2
(
ψ
)
2
]
c
d
=
(
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x&=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}={\Big [}pq_{2}\left(\psi \right)^{2}{\Big ]}_{c}^{d}\\&=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right).\end{aligned}}}
Schlussendlich bleibt zu zeigen, dass
(
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle \left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0}
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
(
p
q
2
)
′
>
0
{\displaystyle (pq_{2})'>0}
|
ψ
(
d
)
|
<
|
ψ
(
c
)
|
{\displaystyle |\psi (d)|<|\psi (c)|}
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad }
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad }
Addition von (*) und (**) liefert
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
+
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)+p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0}
oder
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
+
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
c
)
)
2
<
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}+p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0}
Da nun wegen der Voraussetzungen
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
c
)
)
2
<
0
{\displaystyle p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0}
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
≤
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\leq 0}
Demzufolge gilt:
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
p
ψ
′
ψ
d
x
=
(
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
)
≤
0
{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)\leq 0}
q
1
−
q
2
>
0
{\displaystyle q_{1}-q_{2}>0}
p
>
0
{\displaystyle p>0}
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
◻
{\displaystyle \Box }
Vergleichssatz
Der Sturmsche Vergleichsatz für periodische (oszillatorische ) Funktionen
ϕ
,
ψ
{\displaystyle \phi ,\psi }
L
1
ϕ
=
−
(
p
ϕ
′
)
′
+
q
1
ϕ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\phi =-\left(p\,\phi '\right)'+q_{1}\phi =0\qquad }
L
2
ψ
=
−
(
p
ψ
′
)
′
+
q
2
ψ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}\psi =-\left(p\,\psi '\right)'+q_{2}\psi =0\qquad }
die nicht-triviale Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems mit
q
1
>
q
2
>
0
{\displaystyle q_{1}>q_{2}>0}
so liegt im Intervall
(
c
,
d
)
⊆
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\subseteq (a,b)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ψ
{\displaystyle \psi }
p
q
2
>
0
{\displaystyle pq_{2}>0}
(
p
q
2
)
′
>
0
{\displaystyle (pq_{2})'>0}
Beweis
Wird Gleichung (I) von links mit
ψ
{\displaystyle \psi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
Lagrange-Identität :
ϕ
L
2
ψ
−
ψ
L
1
ϕ
=
ϕ
d
d
x
(
−
p
d
d
x
ψ
)
+
ϕ
q
2
ψ
−
ψ
d
d
x
(
−
p
d
d
x
ϕ
)
−
ψ
q
1
ϕ
=
ϕ
d
d
x
(
−
p
d
d
x
ψ
)
−
ψ
d
d
x
(
−
p
d
d
x
ϕ
)
+
(
q
2
−
q
1
)
ϕ
ψ
=
−
d
d
x
(
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
)
+
(
q
2
−
q
1
)
ϕ
ψ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi &=\phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi \right)+\phi q_{2}\psi -\psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\phi \right)-\psi q_{1}\phi \\&=\phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi \right)-\psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(-p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\phi \right)+(q_{2}-q_{1})\phi \psi \\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}+(q_{2}-q_{1})\phi \psi ,\end{aligned}}}
wobei
W
(
ϕ
,
ψ
)
=
|
ϕ
ψ
ϕ
′
ψ
′
|
{\displaystyle W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}}
Wronski-Determinante der Funktionen
ϕ
,
ψ
{\displaystyle \phi ,\psi }
Andererseits gilt wegen den Voraussetzungen
L
1
ϕ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\phi =0}
L
2
ψ
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}\psi =0}
0
=
ϕ
L
2
ψ
−
ψ
L
1
ϕ
=
−
d
d
x
(
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
)
+
(
q
2
−
q
1
)
ϕ
ψ
{\displaystyle 0=\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}+(q_{2}-q_{1})\phi \psi }
und somit
(
q
1
−
q
2
)
ϕ
ψ
=
−
d
d
x
(
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
)
{\displaystyle (q_{1}-q_{2})\phi \psi =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}}
Nach Trennung der Variablen und beidseitiger Integration folgt nun
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
ϕ
ψ
d
x
=
−
[
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
]
c
d
{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})\phi \psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}\qquad }
Sind die Funktionen
ψ
{\displaystyle \psi }
ϕ
:=
p
ψ
′
{\displaystyle \phi :=p\psi '}
−
(
p
ψ
′
)
′
+
q
2
ψ
=
0
{\displaystyle -(p\psi ')'+q_{2}\psi =0}
ϕ
′
=
(
p
ψ
′
)
′
=
q
2
ψ
{\displaystyle \phi '=(p\psi ')'=q_{2}\psi }
W
(
ϕ
,
ψ
)
=
|
ϕ
ψ
ϕ
′
ψ
′
|
=
|
p
ψ
′
ψ
q
2
ψ
ψ
′
|
=
p
(
ψ
′
)
2
−
q
2
(
ψ
)
2
{\displaystyle W(\phi ,\psi )={\begin{vmatrix}\phi &\psi \\\phi '&\psi '\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}p\psi '&\psi \\q_{2}\psi &\psi '\end{vmatrix}}=p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}}
Die Gleichung (III) erhält mit diesem Zwischenergebnis die Gestalt:
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
p
ψ
′
ψ
d
x
=
−
[
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
]
c
d
=
−
[
p
(
p
(
ψ
′
)
2
−
q
2
(
ψ
)
2
)
]
c
d
{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}}
o.B.d.A.
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
⊆
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\subseteq (a,b)}
Neumann-Randbedingung
ψ
′
(
c
)
=
0
=
ψ
′
(
d
)
{\displaystyle \psi '(c)=0=\psi '(d)}
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
p
ψ
′
ψ
d
x
=
−
[
p
W
(
ϕ
,
ψ
)
]
c
d
=
−
[
p
(
p
(
ψ
′
)
2
−
q
2
(
ψ
)
2
)
]
c
d
=
[
p
q
2
(
ψ
)
2
]
c
d
=
(
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x&=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}={\Big [}pq_{2}\left(\psi \right)^{2}{\Big ]}_{c}^{d}\\&=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right).\end{aligned}}}
Schlussendlich bleibt zu zeigen, dass
(
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle \left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0}
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
(
p
q
2
)
′
>
0
{\displaystyle (pq_{2})'>0}
|
ψ
(
d
)
|
<
|
ψ
(
c
)
|
{\displaystyle |\psi (d)|<|\psi (c)|}
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad }
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0\qquad \qquad }
Addition von (*) und (**) liefert
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
+
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
(
ψ
(
d
)
)
2
−
(
ψ
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)+p(c)q_{2}(c)\left(\left(\psi (d)\right)^{2}-\left(\psi (c)\right)^{2}\right)<0}
oder
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
+
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
c
)
)
2
<
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}+p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0}
Da nun wegen der Voraussetzungen
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
c
)
)
2
<
0
{\displaystyle p(c)q_{2}(c)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(d)q_{2}(d)\left(\psi (c)\right)^{2}<0}
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
≤
0
{\displaystyle p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\leq 0}
Demzufolge gilt:
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
p
ψ
′
ψ
d
x
=
(
p
(
d
)
q
2
(
d
)
(
ψ
(
d
)
)
2
−
p
(
c
)
q
2
(
c
)
(
ψ
(
c
)
)
2
)
≤
0
{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right)\leq 0}
q
1
−
q
2
>
0
{\displaystyle q_{1}-q_{2}>0}
p
>
0
{\displaystyle p>0}
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
ψ
{\displaystyle \psi }
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
◻
{\displaystyle \Box }
Beispiel
Die Bessel-Funktionen erster Gattung für
J
0
,
J
1
{\displaystyle J_{0},J_{1}}
J
2
{\displaystyle J_{2}}
Betrachtet wird die Besselsche Differantialgleichung :
x
2
d
2
d
x
2
J
ν
+
x
d
d
x
J
ν
+
(
x
2
−
ν
2
)
J
ν
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}J_{\nu }+x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)J_{\nu }=0}
mit
x
>
0
{\displaystyle x>0}
ν
∈
N
0
{\displaystyle \nu \in \mathbb {N} _{0}}
J
ν
{\displaystyle J_{\nu }}
Bessel-Funktionen erster Gattung der Ordnung
ν
{\displaystyle \nu }
J
ν
(
x
)
=
∑
r
=
0
∞
(
−
1
)
r
Γ
(
ν
+
r
+
1
)
r
!
(
x
2
)
2
r
+
ν
{\displaystyle J_{\nu }(x)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2r+\nu }}
...
x
2
d
2
d
x
2
J
ν
+
x
d
d
x
J
ν
+
(
x
2
−
ν
2
)
J
ν
=
x
d
d
x
(
x
d
d
x
J
ν
)
+
(
x
2
−
ν
2
)
J
ν
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}J_{\nu }+x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)J_{\nu }=x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }\right)+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)J_{\nu }=0}
und daher:
d
d
x
(
x
d
d
x
J
ν
)
+
(
x
−
ν
2
x
)
J
ν
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }\right)+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)J_{\nu }=0}
Der Sturm-Liouville-Operator hat somit die Darstellung
d
d
x
(
x
d
d
x
J
ν
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}J_{\nu }\right)}
p
=
x
,
q
=
x
−
ν
2
x
{\displaystyle \textstyle p=x,q=x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}}
Mit den bewiesen Sätzen lassen sich daher ohne Mühe folgende Aussagen treffen (siehe Bild):
Wie durch den Oszilltionssatz vorhergesagt, zeichnen sich die Potenzreihen
J
0
{\displaystyle J_{0}}
J
1
{\displaystyle J_{1}}
x
{\displaystyle x}
[ 5] Es genügt gemäß Beweis zu zeigen:
∫
c
d
(
q
1
−
q
2
)
p
ψ
′
ψ
d
x
=
[
p
(
p
(
ψ
′
)
2
+
q
2
(
ψ
)
2
)
]
c
d
=
p
2
(
(
ψ
′
(
d
)
)
2
−
(
ψ
′
(
c
)
)
2
)
<
0
{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x={\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}+q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}=p^{2}\left(\left(\psi '(d)\right)^{2}-\left(\psi '(c)\right)^{2}\right)<0}
Es wird der Fall
ν
=
0
,
1
{\displaystyle \nu =0,1}
Für periodische (oszillatorische ) Funktionen
ψ
=
J
0
,
ϕ
=
J
1
{\displaystyle \psi =J_{0},\phi =J_{1}}
(
p
J
0
′
)
′
+
q
1
J
0
=
0
{\displaystyle \left(p\,J_{0}'\right)'+q_{1}J_{0}=0\qquad }
(
p
J
1
′
)
′
+
q
2
J
1
=
0
{\displaystyle \left(p\,J_{1}'\right)'+q_{2}J_{1}=0\qquad }
mit
q
1
>
q
2
{\displaystyle q_{1}>q_{2}}
sind, liegt im Intervall
(
c
,
d
)
⊆
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\subseteq (a,b)}
J
0
{\displaystyle J_{0}}
J
1
{\displaystyle J_{1}}
[ 6]
Mathematische Theorie
Der geeignete mathematische Rahmen ist der Hilbertraum
L
2
(
[
a
,
b
]
;
w
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x)}
⟨
f
,
g
⟩
:=
∫
a
b
f
(
x
)
¯
g
(
x
)
w
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,{\rm {d}}x}
In diesem Raum ist
L
{\displaystyle L}
selbstadjungierter Operator, wenn er auf der Menge der (im Sinne der schwachen Ableitung ) differenzierbaren Funktionen, die die Randbedingungen erfüllen, definiert wird:
D
(
L
)
=
{
f
∈
L
2
(
[
a
,
b
]
;
w
(
x
)
d
x
)
:
f
,
p
f
′
∈
A
C
[
a
,
b
]
,
L
f
∈
L
2
(
[
a
,
b
]
;
;
w
(
x
)
d
x
)
,
cos
(
α
)
f
(
a
)
+
sin
(
α
)
p
(
a
)
f
′
(
a
)
=
cos
(
β
)
f
(
b
)
+
sin
(
β
)
p
(
b
)
f
′
(
b
)
=
0
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {D}}({\mathcal {L}})=\{&f\in L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x):f,pf'\in AC[a,b],\,{\mathcal {L}}f\in L^{2}([a,b];\\&;w(x){\rm {d}}x),\,\cos(\alpha )f(a)+\sin(\alpha )p(a)f'(a)=\cos(\beta )f(b)+\sin(\beta )p(b)f'(b)=0\}.\end{aligned}}}
Hierbei bezeichnet
A
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle AC[a,b]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
absolut stetigen Funktionen. Da
L
{\displaystyle L}
Resolvente
(
L
−
z
)
−
1
,
z
∈
C
{\displaystyle (L-z)^{-1},\qquad z\in \mathbb {C} }
wobei
z
{\displaystyle z}
Green'sche Funktion des Randwertproblems) ist. Somit ist die Resolvente ein kompakter Operator , und die Existenz einer abzählbaren Folge von Eigenfunktionen folgt aus dem Spektralsatz für kompakte Operatoren.
Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von
L
{\displaystyle L}
(
L
−
z
)
−
1
ψ
=
α
ψ
{\displaystyle (L-z)^{-1}\psi =\alpha \psi }
L
ψ
=
λ
ψ
{\displaystyle L\psi =\lambda \psi }
λ
=
(
z
+
α
−
1
)
{\displaystyle \lambda =(z+\alpha ^{-1})}
Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem . Das Spektrum besteht dann im Allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil. Es gibt weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen, und die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist eine Integraltransformation (vergleiche Fouriertransformation anstelle von Fourierreihe ).
Wechseln
p
{\displaystyle p}
w
{\displaystyle w}
Vorzeichen , so spricht man von einem indefiniten Sturm-Liouville-Problem .
Anwendung
Einzelnachweise
↑ Charles-François Sturm : Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers terms sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre contenant un paramètre variable, Journal de mathématiques, 1836, bibnum ↑ Harro Heuser : Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 328−338, ISBN 978-3-8348-0705-2 ↑ Harro Heuser : Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 333, ISBN 978-3-8348-0705-2 ↑ Wolfgang Walter : Gewöhnliche Differentialgleichungen , Springer-Verlag 2000, Seite 287-290, ISBN 3540676422 ↑ Harro Heuser : Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 333, ISBN 978-3-8348-0705-2 ↑ Harro Heuser : Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 333, ISBN 978-3-8348-0705-2
![{\displaystyle [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f11bcf8248099c6f513f9a1a62aa578b755638)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle L^{2}([0,\pi ],\mathrm {d} x)}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e380d2c18c0b5c27906a822440b4dfa162ccc9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{n},\psi _{m}\rangle &=\int {\overline {\psi _{n}(x)}}\psi _{m}(x)\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi }{\overline {a_{n}\sin(nx)}}\;a_{m}\sin(mx)\,\mathrm {d} x=a_{n}a_{m}\int _{0}^{\pi }\sin(nx)\sin(mx)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {a_{n}a_{m}}{2}}\int _{0}^{\pi }{\bigg (}\cos {\big (}(n-m)x{\big )}-\cos {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg )}\,\mathrm {d} x\\\\&={\begin{cases}{\frac {a_{n}a_{m}}{2}}{\bigg [}{\frac {1}{n-m}}\sin {\big (}(n-m)x{\big )}-{\frac {1}{n+m}}\sin {\big (}(n+m)x{\big )}{\bigg ]}_{0}^{\pi }=0&&{\text{wenn}}\;n\neq m\\\\{\frac {a_{n}^{2}}{2}}{\Bigg [}x-{\frac {1}{2n}}\sin(2nx){\bigg ]}_{0}^{\pi }={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}&&{\text{wenn}}\;n=m\end{cases}}\\\\&={\frac {a_{n}^{2}\pi }{2}}\delta _{nm}.\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2dde480c8eca3979069abaf17c70c79a7d4da4d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)-\vartheta (x_{0})&=\int _{x_{0}}^{x}\vartheta '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\bigg (}{\frac {1}{p(t)}}\underbrace {\cos ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \alpha /2}+q(t)\underbrace {\sin ^{2}\vartheta (x)} _{\geq \beta /2}{\bigg )}\mathrm {d} t\\&\geq {\frac {\alpha }{2}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{p(t)}}\mathrm {d} t+{\frac {\beta }{2}}\int _{x_{0}}^{x}q(t)\mathrm {d} t\quad {\xrightarrow[{x\to \infty }]{\quad }}\infty \end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e03c4f293c18e5652c83e56474c7d7817b36fcd)
![{\displaystyle \xi _{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}x_{0},\xi _{n}\neq x_{0}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/f539990da9bde24d949aac357bd3428c351479f0)
![{\displaystyle \int _{c}^{d}{\big (}\phi {\mathcal {L}}_{2}\psi -\psi {\mathcal {L}}_{1}\phi {\big )}\mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}+\int _{a}^{b}(q_{2}-q_{1})\phi \psi \mathrm {d} x=0}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bf04d60f1f0beaa74c1c361916a18803567fd4)
![{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})\phi \psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}\qquad }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ab3493706bb7e3741b27600483dc4778654bb6)
![{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24d13f9443b4ecec65489353b415c3e460e340f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x&=-{\Big [}pW(\phi ,\psi ){\Big ]}_{c}^{d}=-{\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}-q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}={\Big [}pq_{2}\left(\psi \right)^{2}{\Big ]}_{c}^{d}\\&=\left(p(d)q_{2}(d)\left(\psi (d)\right)^{2}-p(c)q_{2}(c)\left(\psi (c)\right)^{2}\right).\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/de279fb7ecb054974e0e15fd14c8e2fc4092ae7d)
.svg?lang=de)
![{\displaystyle \int _{c}^{d}(q_{1}-q_{2})p\psi '\psi \mathrm {d} x={\Big [}p\left(p\left(\psi '\right)^{2}+q_{2}\left(\psi \right)^{2}\right){\Big ]}_{c}^{d}=p^{2}\left(\left(\psi '(d)\right)^{2}-\left(\psi '(c)\right)^{2}\right)<0}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/5358d852af9f8a80d0a1bceb2e20e83bd0c9c9dd)
![{\displaystyle L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x)}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/15700d87c65ed4debf6777a10640342924301de0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {D}}({\mathcal {L}})=\{&f\in L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x):f,pf'\in AC[a,b],\,{\mathcal {L}}f\in L^{2}([a,b];\\&;w(x){\rm {d}}x),\,\cos(\alpha )f(a)+\sin(\alpha )p(a)f'(a)=\cos(\beta )f(b)+\sin(\beta )p(b)f'(b)=0\}.\end{aligned}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/279c49dbb3c014ea16d0e9c21633d5ed53dc4699)
![{\displaystyle AC[a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2df890aa6c99027e1f42a359ef23c2d155809c9)
