Integrallogarithmus

Die Bezeichnung Integrallogarithmus wird für zwei verschiedene Funktionen benutzt, die wie folgt definiert sind:

${\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\,$

Wegen der Singulatirät an der Stelle $x=1$ kann er auch über einen Grenzwert definiert werden:

${\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\right)\,$.

Einige Werte:

li(0) = 0

li(1) = −∞

li(µ) = 0. µ ist die Ramanujan-Soldner-Konstante (≈ 1,4513692...)

li(2) ≈ 1,04516378...

Des Weiteren existiert eine zweite Funktion, die auch "Europäischer Integrallogarithmus" genannt wird, die wie folgt definiert ist:

${\rm {Li}}(x)={\rm {li}}(x)-{\rm {li}}(2)\,$

oder

${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}\,$

Für eine der wichtigsten theoretischen Verwendungen als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Siehe auch:

• Integralsinus
• Integralcosinus
• Integraltangens
• Integralexponentialfunktion