Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Quantile sind Punkte einer nach Rang oder Größe der Einzelwerte sortierten statistischen Verteilung und teilen diese Verteilung in gleichgroße Teile ein.

Wird die gesamte Verteilung in n gleichgroße Teile unterteilt, so gibt es (n-1) Quantile, also umgangssprachlich Schnittstellen. Je nachdem wie groß n gewählt wird, spricht man z. B. von Quartilen (n=4), Quintilen (n=5), Dezilen (n=10) und Perzentilen (n=100). Dabei ist der Wert eines bestimmten Quantils (z. B. des zweiten Quintils) nicht größer als jeder Wert unterhalb dieses Quantils (siehe auch „Beispiele“).

Definition

Als Quantil der Ordnung $p$ oder $p$ -Quantil ( $Q_{p}$ ; veraltet auch „Fraktil“) wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil $p$ aller Fälle der Verteilung liegt. Jeder Wert unterhalb von $p$ unterschreitet diesen vorgegebenen Anteil. Deshalb wird er auch als Unterschreitungsanteil bezeichnet. Dabei ist $p$ eine reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle oder 100% der Verteilung).

Beispiel

Das Quantil $Q_{.3}$ (oder 0,3-Quantil) ist der Wert des Punktes einer Verteilung, unterhalb dessen sich 30 % aller Fälle der Verteilung befinden.

Ein p-Quantil mit Unterschreitungsanteil

Besondere Quantile

Median

Der Median oder Zentralwert entspricht dem Quantil $Q_{.5}$ (0,5-Quantil). Es erfolgt also eine Einteilung der gesamten Verteilung in genau zwei gleichgroße Teile. Bei jeder Einteilung in eine ungerade Anzahl von Quantilen (was eine gerade Anzahl gleichgroßer Teile impliziert) entspricht der Median jeweils dem mittleren Quantil (beispielsweise dem 2. Quartil Q2 oder dem 50. Perzentil P50).

Quartil

Darstellung des Interquartilabstands einer Normalverteilung.

Quartile (lat. „Viertelwerte“) sind die Quantile $Q_{.25}$ (0,25-Quantil), $Q_{.5}$ (0,5-Quantil=Median) und $Q_{.75}$ (0,75-Quantil), die auch als Q1 („unteres Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“) und Q3 („oberes Quartil“) bezeichnet werden. Sie sind die in der Statistik mit am häufigsten verwendete Form der Quantile.

Der Quartilabstand (engl. interquartile range) bezeichnet die Differenz zwischen dem oberem und dem unterem Quartil, also $Q_{.75}-Q_{.25}$ und umfasst daher 50% der Verteilung. Der Quartilabstand wird als Streuungsmaß verwendet.

Quintil

Durch Quintile (lat. „Fünftelwerte“) wird die Verteilung in 5 gleichgroße Teile zerlegt. Unterhalb des ersten Quintils, d.h. des Quantils $Q_{.2}$ , liegen 20 % der Verteilung, unterhalb des zweiten Quintils (Quantil $Q_{.4}$ ) 40 % usw.

Dezil

Durch Dezile (lat. „Zehntelwerte“) wird die Verteilung in 10 gleichgroße Teile zerlegt. Entsprechend liegen dann z.B. unterhalb des dritten Dezils (Quantil $Q_{.3}$ ) 30 % der Verteilung.

Perzentil

Durch Perzentile (lat. „Hundertstelwerte“) wird die Verteilung in 100 gleichgroße Teile zerlegt. Perzentile teilen die Verteilung also in 1%-Segmente auf. Daher können Perzentile als Quantile betrachtet werden, bei denen $100\cdot p$ eine ganze Zahl ist. So entspricht das Quantil $Q_{.97}$ dem Perzentil P97: unterhalb dieses Punktes liegen 97 % aller Fälle der Verteilung.

Beispiele

In einer Schulklasse sind 11 Aufsätze geschrieben worden, mit der folgenden (sortierten) Notenverteilung:

   Aufsatz A B C D E F G H I J K
   Note    1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6

Die Noten der Aufsätze C („2“), F („3“) und I („4“) entsprechen jeweils Q1, Q2 (d.h. dem Median) und Q3.

Wird die Körpergröße eines Kindes als Perzentil ausgedrückt, bedeutet dies, dass die Körpergröße in Bezug auf die Körpergrößen der Altersgenossen angegeben wird. Eine Körpergröße auf dem 20. Perzentil bedeutet beispielsweise, dass 20% der Kinder gleichen Alters und gleichen Geschlechts nicht größer als das betreffende Kind sind.

Links

Walter Geiger, Dezember 2004: Vorstudie zur QZ-Kolumne Januar 2005 zum Begriff Quantil (PDF-Datei)

Siehe auch