Hüllkurve

Mathematik

Eine Hüllkurve ist eine Kurve, die jede Kurve einer Kurvenschar in einem Punkt berührt.
Diese Punkte müssen eine Kurve bilden, eine Kurvenschar aus Ursprungsgeraden oder aus parallelen Geraden z. B. hat keine Hüllkurve.

Beispiel

Hüllkurven entstehen unter anderem bei bewegten Objekten, z. B. beim Öffnen und Schließen eines Garagentores.

(Vergleiche hierzu: Garage.pdf oder als Kaustik in einer Kaffeetasse.

Definition

Eine Kurve $H$ ist Hüllkurve einer Kurvenschar $K_{t}$ , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(1) Mindestens eine Kurve von $K_{t}$ berührt $H$ an einer Stelle $x_{h}$ .
(2) Die Kurve $H$ berührt jedes Element der Kurvenschar $K_{t}$ an einer Stelle $x_{h}$ .
(3) Zwei infinitesimal benachbarte Elemente von $K_{t}$ müssen an einer Stelle $x_{h}$ einen gemeinsamen Punkt $P$ haben. $P$ ist ein Punkt der Hüllkurve $H$ .

Die Bedingungen (1) und (2) sind zusammen hinreichend, da durch die Bedingung (2) auch sichergestellt ist, dass benachbarte Elemente der Kurvenschar auch gemeinsame Punkte haben. Die Bedingung (3) ist auch alleine hinreichend.

Berechnung von Hüllfunktionen

Wir benutzen die 1. und die 2. Bedingung der Definition:

1. Man leitet die Funktion $f(x,t)$ nach $t$ ab und bestimmt die Nullstellen $t_{0}$ in Abhängigkeit von $x$ dieser Ableitung.
2. In $f(x,t)$ setzt man $t_{0}$ für $t$ ein und erhält einen Kandidaten $h(x)$ für die Hüllfunktion.
3. Man ermittelt alle $x_{h}$ , für die $H$ ein Element von $K_{t}$ berührt.
4. Man weist nach, dass alle Elemente von $K_{t}$ die Kurve $H$ an mindestens einer Stelle berühren.

Hüllkurven-Bestimmung durch Grenzwertbetrachtung

Wir benutzen die 3. Bedingung der Definition. Zwei infinitesimal benachbarte Elemente der Kurvenschar $K_{t}$ müssen an der Stelle $x_{h}$ einen gemeinsamen Punkt $P$ haben. Dieser Punkt $P$ ist ein Punkt der Hüllkurve $H$ . Um zwei infinitesimal benachbarte Kurven zu erhalten, wählen wir zwei beliebige Kurven und lassen den Scharparameter $t_{1}$ der einen Kurve gegen den Scharparameter $t_{2}$ der anderen laufen. Für $\Delta t\rightarrow 0$ nähert sich ihr Schnittpunkt P an den Punkt $P$ der gesuchten Hüllkurve $H$ an.

1. Aufstellen der Gleichung $f(x,t_{1})=f(x,t_{2})$ und nach $x$ auflösen.

2. Den Limes $x_{h}$ von $x$ für $t_{1}\rightarrow t_{2}$ berechnen.

3. $x_{h}$ in $f(x,t)$ einsetzen, um $y_{h}$ zu erhalten, $P(x_{h},y_{h})$ ist ein Punkt der Hüllkurve $H$ und alle Punkte von $H$ haben die gleiche Form wie $P$ , wir haben also die Funktion der Hüllkurve in Parameterdarstellung.

4. Von der Parameterdarstellung in eine Funktion der Form $h(x)=y$ umformen.

Anwendung

Hüllkurven eignen sich gut, um den benötigten Platz für bewegte Gegenstände zu beschreiben. Man kann also mit Hüllkurven feststellen, ob man einen Schrank um eine Ecke im Flur bekommt (Vergleiche hierzu: http://jan.orend.lg-bs.de/~jan.orend/Presentation/html/slide_15.html), oder wie schmal eine Straße in einer Kurve sein darf, und wie diese aussehen muss, damit ein LKW sicher auf ihr fahren kann. Für die meisten technischen Anwendungen eignen sich numerische Verfahren am besten.

Musik

Die Hüllkurve zeigt in grafischer Form den Verlauf des Pegels, eines Tons an. Anwendungen und entsprechende elektronische oder digitale Bauteile finden sich z.B. im Tonstudio.
Oftmals wird der Begriff ADSR-Hüllkurve oder kurz Hüllkurve synonym für den Hüllkurvengenerator eines Synthesizers verwendet, bei dem die einzelnen Abschnitte der Hüllkurve - Attack, Decay, Sustain und Release - vom Benutzer editiert werden können. Dabei können zusätzlich zu dem Pegel auch die Hüllkurven der Tonhöhe und des Filters beeinflusst werden. Bei einem analogen Synthesizer durchläuft der Klang nacheinander die Hüllkurvengeneratoren VCO für die Tonhöhe (die eigendliche Klangerzeugung), VCF für den Filter und VCA für den Pegel. Das VCF und der VCA sind Bestandteile der subtraktiven Synthese.

Akustik

Die Hüllkurve eines Spektrums ist die Verbindung der Spitzen der Spektrallinien.

Bei einem Linienspektrum etwa kann man in schematischer Form die Amplituden oder Schalldruckpegel der einzelnen Teilfrequenzen durch sogenannte Spektrallinien darstellen. Jede dieser Linien kennzeichnet durch ihre Lage auf der Frequenzachse die Frequenz des interessierenden Teiltons; ihre Länge ist ein Maß für die Stärke. Bei der Verbindung der Spitzen dieser Spektrallinien erhält man die sogenannte Hüllkurve (Umhüllende), die in übersichtlicher Form die Amplitudeverteilung bzw. die Pegelverteilung über der Frequenzachse angibt, ohne die Ordnungszahl der einzelnen Harmonischen (Teiltöne) zu berücksichtigen.

Bei Geräuschvorgängen hingegen liegen die als Signal konstituierenden Frequenzen in der Regel so eng beieinander, dass - zumal bei der meistens logarithmischen Teilung der Frequenzskala - eine Angabe einzelner Spektrallinien nicht möglich ist und man zur orientierenden Darstellung über den Pegelverlauf in Abhängigkeit von der Signalfrequenz ein kontinuierliches Spektrum in Anwendung bringt.

Nachrichtentechnik

Wird die Amplitude eines hochfrequenten Signals zeitlich verändert (moduliert), so entspricht das modulierende Signal der Hüllkurve des modulierten Signals.

Anschaulich erhält man die Hüllkurve, indem man alle Maxima der hochfrequenten Trägerschwingung verbindet.

Die Demodulation eines amplitudenmodulierten Signals erfolgt in einem Hüllkurvendetektor.