Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik ist eine Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, der lokal einem "gewöhnlichen" Euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ gleicht.

Anschaulich kann man den Begriff anhand der Erdoberfläche, oder allgemeiner anhand der Oberfläche einer Kugel, verstehen: Für ein kleines Gebiet der Erde kann man eine Karte (d.h. eine Ebene) betrachten. Jedem Punkt auf der Karte entspricht ein Punkt in dieser Zone der Erde, d.h. die Karte kann stellvertretend für diese Gegend betrachtet werden. Nähert man sich dem Rand der Karte sollte man zu einer anderen Karte wechseln, die das angrenzende Gebiet darstellt. In diesem Sinne kann man eine Mannigfaltigkeit vollständig durch einen "vollständigen" Satz von Karten und so genannten Kartenwechseln (d.h. Regeln, die angeben, wie sich Karten überlappen) beschreiben. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte (alle Karten haben die gleiche Dimension).

Falls die lokalen Karten einer Mannigfaltigkeit in einem gewissen Sinne verträglich sind, kann man dort Tangentialrichtungen an Kurven und differenzierbare Funktionen definieren. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine M. mit einer zusätzlichen Struktur, die es erlaubt Längen und Winkel zu bestimmen.

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten kann man auf natürliche Art die Begriffe definieren, die aus der Analysis bekannt sind (z.B. Ableitung). In der Physik finden differenzierbare Mannigfaltigkeiten Verwendung als Phasenräume in der klassischen Mechanik und als vier dimensionale Pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten zur Beschreibung der Raum-Zeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Kosmologie. Im folgenden wird eine mathematisch präzise Beschreibung der Mannigfaltigkeit gegeben.

Topologische Mannigfaltigkeiten

Eine topologische $n$ -Mannigfaltigkeit ist ein parakompakter Hausdorff Raum, in dem jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Mannigfaltigkeiten behalten viele lokale Eigenschaften, die sie vom Euklidischen Raum erben: Sie sind lokal wegzusammenhängend, lokal kompakt und lokal metrisierbar.

Es ist nicht möglich alle Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren. Die zusammenhängenden $1$ -dimensionalen Mannigfaltigkeiten (ohne Rand) sind die reelle Zahlengerade $\mathbb {R}$ und der Kreis $\mathbb {S} ^{1}$ . Die Klassifikation der $2$ -Mannigfaltigkeiten ist ebenfalls bekannt, aber schon für die $3$ -Mannigfaltigkeiten ist das Problem ungelöst (für den Beweis der Poincaré-Vermutung ist 1.000.000$ ausgelobt worden). Die $4$ -dimensionalen Fälle können nicht klassifiziert werden (jede endlich-erzeugte Gruppe ist als Fundamentgruppe eines solchen Raumes realisierbar).

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Um differenzierbare Funktionen zu betrachten, reicht die Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit nicht aus. Es sei $M$ eine solche topologische $n$ -Mannigfaltigkeit ohne Rand. Eine offene Teilmenge von $M$ , auf der ein Homöomorphismus zu einer offenen Menge von $\mathbb {R} ^{n}$ definiert ist, nennt man eine Karte. Eine Sammlung von Karten, die $M$ überdecken, nennt man einen Atlas von $M$ . Sich überlappende Karten induzieren einen Homöomorphismus (einen so genannten Kartenwechsel oder Koordinatenwechsel) zwischen offenen Teilmengen von $\mathbb {R} ^{n}$ . Falls für einen Atlas ${\mathcal {A}}$ alle solche Abbildungen $k$ -mal differenzierbar sind, dann nennt man ${\mathcal {A}}$ einen $C^{k}$ -Atlas. Zwei $C^{k}$ -Atlanten (der selben Mannigfaltigkeit) nennt man genau dann miteinander verträglich, wenn ihre Vereinigung wieder einen $C^{k}$ -Atlas bildet. Diese Verträglichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Eine $C^{k}$ -Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einem $C^{k}$ -Atlas (eigentlich mit einer Äquivalenzklasse von $C^{k}$ -Atlanten). Glatte Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten vom Typ $C^{\infty }$ . Sind alle Kartenwechsel sogar analytisch, dann nennt man die Mannigfaltigkeit ebenfalls analytisch oder auch C^ω-Mannigfaltigkeit.

Auf einer $C^{k}$ -Mannigfatigkeit $M$ nennt man eine Funktion $f:M\to \mathbb {R}$ genau dann $s$ -mal differenzierbar ( $s\leq k$ ), wenn sie auf jeder Karte $s$ -mal differenzierbar ist.

Associated with every point on a differentiable manifold is a tangent space and its dual, the cotangent space. The former consists of the possible directional derivatives, and the latter of the differentials, which can be thought of as infinitesimal elements of the manifold. These spaces always have the same dimension n as the manifold does. The collection of all tangent spaces can in turn be made into a manifold, the tangent bundle, whose dimension is 2n.

If a C^∞ manifold also carries a differentiable group structure, it is called a Lie group. These are the proper objects for describing symmetries of analytical structures.

Once a C¹ atlas on a paracompact manifold is given, we can refine it to a real analytic atlas (meaning that the new atlas, considered as a C¹ atlas, is equivalent to the given one), and all such refinements give the same analytic manifold. Therefore, one often considers only these latter manifolds.

Not every topological manifold admits such a smooth atlas. The lowest dimension is 4 where there are non-smoothable topological manifolds. Also, it is possible for two non-equivalent differentiable manifolds to be homeomorphic. The famous example was given by John Milnor of wild 7-spheres, i.e. non-diffeomorphic topological 7-spheres.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Auf einer "nackten" differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist es nicht möglich Abstände, Winkel oder Volumen zu bestimmen. Die üblichste Art all diese Größen festzulegen, ist die Angabe eines Skalarproduktes an jedem Punkt des Raumes (oder äquivalent einer orthonormalen Basis von Tangentialvektoren). Eine solche Mannigfaltigkeit nennt man dann Riemannsche Mannigfaltigkeit.