Potentielle Energie

Die etwas einfachere Beschreibung: Eine Pumpe befördert Wasser in ein 200m höher gelegenes Reservoir. Nun könnte man das Wasser wieder ausfliessen lassen und zum antrieb einer Turbine benützen. Weil das Wasser höher liegt, als die Turbine, kann es den Weg von 200m selber überwinden, da es von der Schwerkraft angezogen wird. Eine Menge Wasser über eine bestimmte Strecke zu transportieren bedeutet aber Arbeit zu leisten. Das im Reservoir liegende Wasser besitzt, weil es höher liegt, die Fähigkeit, diese Arbeit zu verrichten ins sich aufgespeichert. Das Wasser im Reservoir hat diese Energie dank seiner erhöten Lage. Man nennet diese Energieform Lageenergie oder potenzielle Energie.

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Die Potenzielle Energie ist eine der Formen von Energie in der Physik. In der Mechanik versteht man unter der potenziellen Energie, die Lageenergie eines Körpers, gegenüber einem Bezugsenergieniveau. In der Mechanik sind die Begriffe Potential und Potentielle Energie nahezu gleichbedeutend, lediglich in der Elektrodynamik stehen sie für verschiedene Größen.

$V({\vec {r}})=-\int _{0}^{r}{\vec {F}}({\vec {r}}')d{\vec {r}}'$

In der Elektrodynamik ist das Potential des elektrischen Feldes ${\vec {E}}$

$\varphi ({\vec {r}})=-\int _{\infty }^{r}{\vec {E}}({\vec {r}}')d{\vec {r}}'$

Für eine Ladung q ist dann gerade $V({\vec {r}})=q\varphi ({\vec {r}})$

Die potentielle Energie entspricht in ihrer Größe der am Körper zu verrichtenden Arbeit, um vom Bezugsniveau die neue Lage zu erreichen. Bei reversiblen Vorgängen (keine Reibung) ist die potenzielle gleich der kinetischen Energie, die der Körper gewänne, wenn er der Kraft bis auf das Bezugsniveau folgen, das heißt, sich frei bewegen könnte.

Um potentielle Energie in einem Körper anzuhäufen, muss Arbeit gegen die Kräfte eines konservativen Kraftfeldes verrichtet werden. So besitzt jeder massebehaftete Körper in einem Gravitationsfeld potenzielle Energie. Diese kann jedoch nur erhöht oder vermindert werden, wenn der Körper gegen oder in Richtung der Gravitationskraft verschoben wird.

Befindet sich der Körper auf Bezugsniveau, ist die potenzielle Energie Null.

Beispiele

Ein Springer auf einem Sprungturm besitzt vor dem Absprung eine potenzielle Energie (im Gravitationsfeld) gegenüber der Wasseroberfläche. Das Bezugsniveau kann aber auch auf den Grund des Beckens gelegt werden, dann hat der Springer entsprechend mehr potenzielle Energie. Analog muss er mehr Arbeit aufwenden, um vom Grund auf das Sprungbrett zu kommen, als wenn er lediglich die Treppe am Turm hinaufläuft. Läuft er über das Sprungbrett an, verändert sich seine potentielle Energie nicht, da er keine Arbeit gegen die senkrecht nach unten wirkende Schwerkraft verrichtet.

Auch das in einem Stausee aufgestaute Wasser, ehe es durch Fallrohre hinabstürzt, oder eine Metallkugel zwischen zwei elektrisch geladenen Kondensatorplatten verfügen über potenzielle Energie.

Potenzielle Energie und der Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung und unter Vernachlässigung jedweder Reibung, gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz der klassischen Mechanik:

$E=V+T=const.$

• V - potenzielle Energie
• T - kinetische Energie
• E - mechanische Energie

In Worten: Die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, ist konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems

In einer höheren Formulierung der Mechanik, dem Hamilton-Formalismus, schreibt man auch

$H=\sum _{k}p_{k}{\dot {q}}_{k}-L=T+V$

wobei H die Hamiltonfunktion und L die Lagrangefunktion sind.

Potenzielle Energie in einem Gravitationsfeld

Für die Funktion $V(r)$ der potenziellen Energie eines Massepunktes $m$ und der Masse $M$ eines sphärischen Himmelskörpers gilt allgemein

$dV(r)=-F\cdot dr=-\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)\cdot dr={\frac {GMm}{r^{2}}}\cdot dr$

Wobei $F$ die von dem Himmelskörpers auf den Massenpunkt ausgeübte Gravitationskraft und $dr$ eine infinitesimale Verschiebung der Höhe des Systems seien.

Wenn der Massenpunkt von einer Höhe $r_{1}$ zu einer Höhe $r_{2}$ gebracht wird, so ändert sich seine potenzielle Energie um

$V(r_{2})-V(r_{1})=\int _{r_{1}}^{r_{2}}dV=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {GMm}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r={\frac {GMm}{r_{1}}}-{\frac {GMm}{r_{2}}}$

Die potenzielle Energie des Massenpunktes möge auf der Planetenoberfläche $R_{p}$, also $r_{1}=R_{p}$, gleich Null sein, womit

$V(r_{2})-V(R_{p})=V(r_{2})-0={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r_{2}}}$

ist.

Damit ergibt sich für eine beliebige Höhe $r$ mit $r>R_{p}$

$V(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}$

Schreiben wir die potenzielle Energie als Funktion einer Höhe $h=r-R_{p}$ über der Planetenoberfläche, so ist sie vergleichbar mit $mgh$.

Dann ist

$V(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {GMm}{R_{p}r}}\left(r-R_{p}\right)={\frac {GMm}{R_{p}r}}h$

Mit der Schwerebeschleunigung $g=GM/R_{p}^{2}\rightarrow GM=gR_{p}^{2}$ vereinfacht sich die Formel zu

$V(r)={\frac {GMm}{R_{p}r}}h=m\left({\frac {GM}{R_{p}^{2}}}\right)h{\frac {R_{p}}{r}}=m\left({\frac {gR_{p}^{2}}{R_{p}^{2}}}\right)h{\frac {R_{p}}{r}}=mgh{\frac {R_{p}}{r}}$

Die potenzielle Energie ist also ein $mgh$-faches von $R_{p}/r$. In unmittelbarer Nähe der Erdoberfläche sind $R_{p}$ und $r$ näherungsweise gleich, womit die potenzielle Energie in einem solchen Fall mit $mgh$ approximiert wird. Es ist zu beachten dass die potenzielle Energie mit steigendem $r$ nicht unendlich anwächst, sondern vielmehr aus

$V(r)={\frac {GMm}{R_{p}}}-{\frac {GMm}{r}}$

ersichtlich ist, dass der zweite Term der nämlichen Gleichung mit steigendem $r$ gegen Null strebt, weshalb sich die potenzielle Energie einem maximalen Grenzwert der Größe

$V_{max}={\frac {GMm}{R_{p}}}=mgR_{p}$, mit $GM=gR_{P}^{2}$

annähert.

Maximale potenziellen Energie

Um einen Massenpunkt $m$ um eine Strecke $dr$ anzuheben, muss die Arbeit $dW=F\cdot dr$ geleistet werden, wobei $F$ der Gravitationskraft des Planeten entspricht. Um den nämlichen Massenpunkt von einer Planetenoberfläche $R$ aus dem Gravitationsfeld heraus, also in die Unendlichkeit, zu befördern, muss die maximale potenzielle Energie des Gravitationsfeldes des Planeten gerade erreicht, oder übertroffen werden. Für diese gilt also

$W=V_{max}=\int _{R}^{\infty }dW=\int _{R}^{\infty }{\frac {GMm}{R^{2}}}\,\mathrm {d} R=GMm\int _{R}^{\infty }{\frac {1}{R^{2}}}\,\mathrm {d} R=GMm\left[-{\frac {1}{R}}\right]_{R}^{\infty }={\frac {GMm}{R}}=mgR$

Potenzielle Energie einer gespannten Feder

$V={1 \over 2}\cdot D\cdot s^{2}$

• D = Federkonstante
• s = Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Siehe auch

kinetische Energie, Rotationsenergie, Potential