Kreinraum

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TeX-Unfall --igel+- 21:22, 16. Jun 2006 (CEST)

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Es sei $K$ ein komplexer Vektorraum. Unter einem Skalarprodukt oder inneren Produkt versteht man eine hermitische Sesquilinearform $[\cdot ,\cdot ]$ auf $K$. Dies ist eine Abbildung $[\cdot ,\cdot ]:K\times K\rightarrow \mathbb {C}$, so dass für alle $x,y,z\in K$ und $\lambda ,\mu \in \,\mathbb {C}$ die Beziehungen

$[\lambda x+\mu y,z]=\lambda [x,z]+\mu [y,z]$und$[x,y]={\overline {[y,x]}}$

erfüllt sind. Wir definieren die Teilmengen

$P{++}:=\{x\in K:[x,x]>0\},$
$P_{0}:=\{x\in K:[x,x]=0\},$
$P_{--}:=\{x\in K:[x,x]<0\},$
$P_{+}:=P_{++}\cup P_{0},$
$P_{-}:=P_{--}\cup P_{0}.$

Die in diesen Mengen liegenden Vektoren heißen positiv, neutral, negativ, nichtnegativ beziehungsweise nichtpositiv. Einen Unterraum $L\subset K$ mit $L\subset P_{++}\cup \{0\}$, $L\subset P_{0}$, $L\subset P_{--}\cup \{0\}$, $L\subset P_{+}$ bzw. $L\subset P_{-}$ nennt man positiv, neutral, negativ, nichtnegativ bzw. nichtpositiv. In allen diesen Fällen sagt man, $L$ sei semidefinit. Einen Unterraum, der nicht semidefinit ist, nennt man indefinit.

Es seien $L$, $L_{1}$, $L_{2}$ lineare Teilräume von $K$. Den Unterraum

$L^{[\perp ]}:=\{x\in K:[x,y]=0$ für jedes $y\in L\}$

nennt man den Orthogonalraum zu $L$, $L^{0}:=L\cap L^{[\perp ]}$ den isotropen Teil von $L$. Gilt $L^{0}=\{0\}$, so heißt $L$ nichtentartet, anderenfalls entartet.

Die beiden Teilräume $L_{1}$, $L_{2}$ heißen orthogonal, in Zeichen $L_{1}[\perp ]L_{2}$, falls $[x,y]=0$ für alle $x\in L_{1}$ und $y\in L_{2}$ gilt. Für $L=L_{1}+L_{2}$, $L_{1}[\perp ]L_{2}$ schreibt man abkürzend $L=L_{1}[+]L_{2}$. Falls die Summe außerdem noch direkt ist, schreibt man $L=L_{1}[{\dot {+}}]\,L_{2}$.


Es seien $K$ ein komplexer Vektorraum und $[\cdot ,\cdot ]$ ein inneres Produkt auf $K$. Dann heißt $(K,[\cdot ,\cdot ])$ ein Kreinraum, falls eine Zerlegung

$K=K_{+}[{\dot {+}}]\,K_{-}$

 existiert, so dass $(K_{+},[\cdot ,\cdot ])$ und $(K_{-},-[\cdot ,\cdot ])$ Hilberträume sind.

Eine Zerlegung des Raumes $K$ der obigen Gestalt wird Fundamentalzerlegunggenannt.

Im folgenden sei $(K,[\cdot ,\cdot ]\,)$ ein Kreinraum. Mit Hilfe der obigen Fundamentalzerlegung läßt sich auf <amth>K</math> ein positiv definites Skalarprodukt definieren

$(x,y):=[x_{+},y_{+}]-[x_{-},y_{-}],$ mit $x=x_{+}+x_{-},\;y=y_{+}+y_{-},\;x_{\pm },y_{\pm }\in K_{\pm }.$

Wie man leicht sieht (vgl.\ \cite[S.\ 15]{AI}), ist $(K,(\cdot ,\cdot ))$ ein Hilbertraum. $(K,(\cdot ,\cdot ))$ ist die orthogonale Summe der Hilberträume $(_{+},[\cdot ,\cdot ]\,)$ und $(K_{-},-[\cdot ,\cdot ]\,)$. Nun führen wir folgende Projektoren $P_{\pm }$ ein :

$P_{\pm }x:=x_{\pm },{\mbox{ falls }}x\in K\,,\,x=x_{+}+x_{-}\,,\,x_{\pm }\in K_{\pm }.$

Der Operator $J:=P_{+}-P_{-}$ heißt Fundamentalsymmetrie von $K<math>.Offenbargilt<math>J^{2}=I$ und $J=J^{*}=J^{-1}$, wobei mit $*$ die Adjungiertenbildung bezüglich des Hilbertraumskalarproduktes $(\cdot ,\cdot )$ bezeichnet wird. Ferner gilt

$[x,y]=(Jx,y)\;,\;(x,y)=[Jx,y]$ für $x,y\in K.$

Das Hilbertraumskalarprodukt $(\cdot ,\cdot )$ hängt von der gewählten Fundamentalzerlegung ab, die, mit Ausnahme des Falles, dass der ganze Raum positiv oder negativ ist, nicht eindeutig bestimmt ist. Aber es läßt sich zeigen (vgl. \cite[Proposition 1.1 und Proposition 1.2]{Lan}), daß für zwei Fundamentalzerlegungen

$K=K_{+}[{\dot {+}}]\,K_{-}$ und $K=K_{+}^{\prime }[{\dot {+}}]\,K_{-}^{\prime }$

von $K$ die Dimensionen der entsprechenden Unterräume übereinstimmen,

${\rm {dim}}\;K_{\pm }={\rm {dim}}\;K_{\pm }^{\prime },$

und die zugehörigen Hilbertraumskalarprodukte
$(\cdot ,\cdot )$ und$<br>(\cdot ,\cdot )^{\prime }$ äquivalente
Normen erzeugen. Alle topologischen Begriffe in einem Kreinraum wie Stetigkeit, Abgeschlossenheit, Spektrum eines Operators in $K$ usw.
beziehen sich auf diese Hilbertraumtopologie.

Falls $\kappa :=\min\{\dim K_{+},\dim K_{-}\}<\infty$ ist, so wird der Kreinraum $(K,[\cdot ,\cdot ])$ ein Pontrjaginraum oder auch $\Pi _{\kappa }$-Raum genannt. In diesem Fall wird $\dim K_{+}$ (bzw.
$\dim K_{-}$) die Zahl der positiven (negativen) Quadrate des inneren Produktes $[\cdot ,\cdot ]$ genannt.