Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch von-Neumann'sche Bewegungsgleichung genannt. Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. dass der Fluss durch den Phasenraum Volumen- und sogar Orientierungs-erhaltend ist.

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Für die zeitliche Entwicklung eines solchen Ensembles gilt

${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right]=0,$

wobei die $q_{i}$ und $p_{i}$ die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten des $i$-ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen. Unabhängig vom gewählten Ensemble verschwindet die totale zeitliche Ableitung, was bedeutet, dass sich entlang einer Phasenraumtrajektorie die Phasenraumdichte nicht verändert. Mit Hilfe der Poisson-Klammer lässt sich dasselbe kürzer ausdrücken:

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho (\tau ,t)=-\{\,\rho (\tau ,t),H\,\},$

wobei H die Hamilton-Funktion und $\tau$ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch "Liouville-Theorem" genannt).

Quantenmechanische Gleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]$

Hier bezeichnet H den Hamilton-Operator, $\rho$ die Dichtematrix und die eckigen Klammern den Kommutator.