Dirichlet-Kern

Als Dirichlet-Kern wird in der Analysis die Sammlung folgender Funktionen bezeichnet:

$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$

Diese sind nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt.

Die Wichtigkeit des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von D_n(x) mit einer Funktion f der Periode 2π ist der n-te Grad der Fourierreihe seiner Näherung für f. Beispielsweise ist

$(D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},$

mit

${\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx$

ist der k-te Fourierkoeffizient von f. Daraus lässt sich schließen, dass es bei der Studie nach der Konvergenz der Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Außerdem ist der Umstand wichtig, dass die Norm des L^p-Raum von D_n gegen $n\to \infty$ geht. Das ist auch der Grund dafür, dass die Fourierreihen von stetigen Funktionen divergiert.

Beziehung zur Deltafunktion

Betrachtet man die periodische Dirac-Funktion, so erhält man das neutrale Element folgenderweise:

$f*(2\pi \delta )=f\,$

für jede Funktion f mit Periode 2π. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

$2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).$

Beweis der trigonometrischen Identität

Die trigonometrische Identität

$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}$

beweist man wie folgt. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$

Insbesondere gilt

$\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.$

Teilt man Zähler und Nenner durch r^−1/2, erhält man

${\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.$

Im Fall von r = e^ix erhält man

$\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}$

und kürzt schließlich durch "−2i".