Planarer Graph
Ein planarer Graph (auch plättbarer Graph) ist in der Graphentheorie ein Graph, der auf einer Ebene mit Punkten für die Knoten und Linien für die Kanten dargestellt werden kann, so dass sich die Kanten nur in den Knoten schneiden. Der Satz von Kuratowski gibt eine weitere Charakterisierung von planaren Graphen und erlaubt die Beantwortung der Frage nach der Plättbarkeit von Graphen.
Eine konkrete Darstellung eines Graphen in der Ebene wird auch Einbettung genannt. Durch die Einbettung wird die Ebene in zusammenhängende Gebiete geteilt, die von den Kanten des Graphen begrenzt werden. Die begrenzenden Kanten eines Gebietes bilden seinen Rand. Das Gebiet um den Graphen herum wird auch äußeres Gebiet genannt. Die Einbettung kann auch auf einer Kugeloberfläche stattfinden. Umgekehrt ist auch jeder auf einer Kugel kreuzugsfrei Darstellbare Graph planar.
Zwei Einbettungen sind äquivalent, wenn es isomorphe Abbildung zwischen den Rändern der ihrer Gebiete gibt. Es lässt sich zeigen, dass für jeden planaren Graph auch eine Einbettung existiert, bei der die Kanten Geraden sind.
Ein Graph heißt maximal planar oder Dreiecksgraph, wenn er planar ist und ihm keine Kante hinzugefügt werden kann, ohne dass dadurch seine Planarität verloren geht.
Die Planarität eines Graphen lässt sich mit verschiedenen Algorithmen in linearer Zeit testen. Allerdings sind diese Algorithmen nicht sehr einfach zu implementieren.
Verbindung zu anderen Graph-Eigenschaften
In einem zusammenhängenden planaren Graphen gilt nach dem eulerschen Polyedersatz stets:
- Knotenanzahl + Gebietsanzahl = Kantenanzahl + 2
Aus dieser Eigenschaft folgt, dass planare Graphen in Bezug auf die Knotenanzahl nur linear viele Kanten haben können.
Ist ein planarer Graph 3-fach zusammenhängend, so sind alle seine Einbettungen äquivalent.
Der Vier-Farben-Satz besagt, dass sich planare Graphen mit 4 Farben färben lassen. Dreiecksfreie planare Graphen sind 3-färbbar.
Ein planarer Graph kann höchstens 5-fach zusammenhängend sein.
siehe auch Topologische Graphentheorie
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