Tangens und Kotangens

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle.

Schreibweise:

Tangens:	$f(x)=\tan x\,$
Kotangens:	$f(x)=\cot x\,$

Definition

Definition am Einheitskreis

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem in Flensburg geborenen Thomas Fink (1561-1656), der sie 1583 einführte. „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.

Die Wahl des Namen Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

${\overline {DT}}=\tan b\qquad \qquad {\overline {EK}}=\cot b$

Ein rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels $\alpha$ das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

$\tan \alpha ={\frac {l_{\rm {GK}}}{l_{\rm {AK}}}}={\frac {a}{b}}\qquad \qquad \cot \alpha ={\frac {l_{\rm {AK}}}{l_{\rm {GK}}}}={\frac {b}{a}}$

Daraus folgt unmittelbar:

$\tan \alpha ={\frac {1}{\cot \alpha }}$

sowie

$\tan \alpha =\cot \beta =\cot(90^{\circ }-\alpha ).$

Eigenschaften

Verlauf

Datei:Tan.png Graph der Tangensfunktion

Datei:Cot.png Graph der Kotangensfunktion

Definitionsbereich

Tangens:	$-\infty <x<+\infty \,;\,x\neq \left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi ;n\in \mathbb {Z}$
Kotangens:	$-\infty <x<+\infty \,;\,x\neq n\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

Wertebereich

$-\infty <f(x)\,<+\infty$

Periodizität

Periodenlänge $\pi$ : $f(x+\pi )=f(x)\,$

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

$\tan(-x)=-\tan x\qquad \qquad \cot(-x)=-\cot x$

Nullstellen

Tangens:	$x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z}$
Kotangens:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

Polstellen

Tangens:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z}$
Kotangens:	$x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z}$

Wendepunkte

Tangens:	$x=n\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z}$
Kotangens:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \ ;\quad n\in \mathbb {Z}$

Weder die Tangensfunktion noch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen oder Extrema

Wichtige Funktionswerte

Tangens	Kotangens	Ausdruck	Wert
$\tan 0^{\circ }$	$\cot 90^{\circ }$	$0\,$	0
$\tan 30^{\circ }$	$\cot 60^{\circ }$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	≈ 0,577
$\tan 45^{\circ }$	$\cot 45^{\circ }$	$1\,$	1
$\tan 60^{\circ }$	$\cot 30^{\circ }$	${\sqrt {3}}$	≈ 1,732
$\tan 90^{\circ }$	$\cot 0^{\circ }$	$\infty \,$	$\infty \,$

Umkehrfunktion

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens

$\tan :\,(-\pi /2,\,\pi /2)\to \mathbb {R}$.

Ihre Umkehrfunktion

$\operatorname {arctan} :\mathbb {R} \to \,(-\pi /2,\,\pi /2)$

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens

$\cot :\,(0,\,\pi )\to \mathbb {R}$.

Ihre Umkehrfunktion

$\operatorname {arccot} :\mathbb {R} \to \,(0,\,\pi )$

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung

Tangens:

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x=0$ (MacLaurinsche Reihe) lautet

$\tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}\cdot \left(2^{2n}-1\right)}{(2n)!}}\cdot B_{n}\cdot x^{2n-1}$

Dabei sind mit $B_{n}$ die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens:

Der Anfang der Laurent-Reihe lautet:

$\cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\dots$ für $0<|x|<\pi$

Die so genannte Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet

$\pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+k}}+{\frac {1}{x-k}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}-k^{2}}}$ für $x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z}$.

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

Tangens

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

Kotangens

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-1-\cot ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x$

Integral

Tangens

$\int \tan(ax)\ \mathrm {d} x=-{\frac {\ln |\cos(ax)|}{a}}$

Kotangens

$\int \cot(ax)\ \mathrm {d} x={\frac {\ln |\sin(ax)|}{a}}$

Beziehungen zu anderen Funktionen

Tangens

$\tan x={\sin x \over \cos x}$

Kotangens

$\cot x={\cos x \over \sin x}$

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}\qquad \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}$

Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt

$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z\,$ bzw. $\cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1\,$

wenn $x+y+z$ ein Vielfaches von $\pi$ ist.

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist $t=\tan {\frac {\alpha }{2}}$, so ist

$\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}.$

Insbesondere ist

$\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes $(-1,0)$ (der dem Parameter $t=\infty$ entspricht). Einem Parameterwert $t$ entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von $(-1,0)$ und $(1,2t)$ mit dem Einheitskreis.

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto mx+c$ besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse entspricht genau der Steigung $m$ der Geraden, d. h. $m=\tan \,\alpha$

Bei negativer Steigung ($m<0$) gilt: $m=-\tan \alpha$

Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist der Tangens des Steigungswinkels.

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccatischen Differentialgleichung

$w'=1+w^{2}$.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

$w'=1+w^{2}=(w+\mathrm {i} )(w-\mathrm {i} )$

mit der imaginären Einheit $\mathrm {i}$. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Picardschen Ausnahmewerte $\mathrm {i}$, $-\mathrm {i}$: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen $\mathrm {i}$ und $-\mathrm {i}$ Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei Lösungen durch denselben Punkt gehen.

Siehe auch

• Umrechnungstabelle (Trigonometrie)
• Trigonometrische Funktion

Weblinks

Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus