Benutzer:JonskiC/Vektor- und Matrixdifferenzierung

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In der linearen Algebra ist die Vektor- und Matrixdifferenzierung oder auch kurz Matrixdifferenzierung die Ableitung von Matrizen und Vektoren.

Rechenregeln

Lineare Formen

Sei die Form $\mathbf {y} =\mathbf {A} \mathbf {x}$ gegeben, wobei $\mathbf {A}$ eine $m\times n$ Matrix und $x$ ein $n$-elementiger Spaltenvektor, dann gilt

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}=\mathbf {A}$.

Bilineare Formen

Sei $\mathbf {y} =\mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {x}$, wobei $\mathbf {z}$ ein $m\times 1$-Vektor und $\mathbf {A}$ eine $m\times n$-Matrix darstellt. Weiterhin sei $\mathbf {x}$ ein $n\times 1$ Vektor und A unabhängig von $\mathbf {z}$ und $\mathbf {x}$, dann gilt

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {z} }}=\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {A} ^{\top }$

und

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}=\mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A}$.

Quadratische Formen

Es sei die quadratische Form $\mathbf {y} =\mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {z}$, wobei $\mathbf {A}$ eine $n\times m$-Matrix, und $\mathbf {z}$ einen $n$-dimensionalen Vektor darstellt. Die Ableitung dieser quadratischen Form nach $\mathbf {z}$ ergibt

${\frac {\partial \mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {z} }{\partial \mathbf {z} }}=\mathbf {z} ^{\top }\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top }\right)$.

Beweis:

Per Definition gilt:

$\mathbf {y} =\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}z_{i}z_{j}$.

Wenn man nach dem $k$-ten Element ableitet, erhält man

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial z_{k}}}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj}z_{j}+\sum _{i=1}^{n}a_{ik}z_{i}\quad k=1,\ldots ,n$

und damit schließlich

${\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {z} }}=\mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A} ^{\top }+\mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A} =\mathbf {z} ^{\top }\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top }\right)$.

Falls $\mathbf {A}$ eine symmetrische Matrix, so gilt

${\frac {\partial \mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {z} }{\partial \mathbf {z} }}=2\mathbf {z} ^{\top }\mathbf {A}$.

Ableitung von Determinanten

Für Ableitungen von Determinanten gilt es vielfältige Rechenregeln. Die einfachste ist die Ableitung einer Matrix nach sich selbst. Sei A eine quadratische Matrix der Ordnung m, dann gilt für ihre Ableitung ihrer Determinante

${\frac {\partial |\mathbf {A} |}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {A} ^{*}$,

wobei $\mathbf {A} ^{*}$ die Kofaktormatrix ist.

Ableitung der Spur

Sei $\mathbf {A}$ $m\times n$, $\mathbf {X}$ $n\times m$ und $\mathbf {B}$ $m\times m$, dann gilt

${\frac {\partial \operatorname {Spur} (\mathbf {A} \mathbf {X} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {X} }}=\mathbf {A} ^{\top }\mathbf {B} ^{\top }$.

Weblinks

• MatrixCalculus.org: Online-Rechner für Vektor- und Matrixdifferenzierung