Flachheitsproblem

Das Flachheitsproblem ist ein kosmologisches Problem des Lambda-CDM-Modells, welches die Entwicklung des Universums beschreibt. Es entstammt der Beobachtung, dass in dem Lambda-CDM-Model eine Feinabstimmung des Dichteparameters auf einen besonderen, kritischen Wert postuliert werden muss, da eine geringe Abweichung von diesem Wert extremen Einfluss auf das heutige Universum hätte.

Die lokale Krümmung der Raumzeit des Universums hängt davon ab, ob die relative Dichte $\Omega$ größer, gleich, oder kleiner als eins ist. Von oben nach unten: Ein sphärisches Universum mit kritischer Dichte $(\Omega >1,k>0)$; ein hyperbolisches Universum mit $(\Omega <1,k<0)$; ein flaches Universum mit kritischer Dichte $(\Omega =1,k=0)$. Die Raumzeit ist, anders als in der Abbildung dargestellt, dreidimensional.

Im Fall des Flachheitsproblems ist der Parameter, die eine solche Feinjustierung erfordert die Dichte $\Omega$ von Masse und Energie in der Friedmann-Gleichung. Für ein flaches Universum, wie es beobachtet wird, muss zur Planck-Zeit eine Dichte von $|1-\Omega |/\Omega <10^{-58}$ angenommen werden. Jede Abweichung von diesem kritischen Wert, würde mit der Zeit stark anwachsen, sodass die heutige beobachtete Dichte, welche für ein flaches Universum erforderlich ist, nicht möglich wäre. Diese Feinjustierung steht zwar nicht im Widerspruch zum Lamda-CDM-Modell, jedoch erscheint die Notwendigkeit einer so genauen Festlegung der Anfangsbedingungen als unnatürlich. Die Frage, warum die Dichte so nah an dem kritischen Wert liegt, ist im Rahmen des Lambda-CDM-Modells unbeantwortet.

Das Problem wurde erstmals von Robert Dicke im Jahr 1969 erwähnt. Die derzeit in der Kosmologie am meisten akzeptierte Lösung des Problems ist die kosmologische Inflation, bei der es in den ersten Sekundenbruchteilen nach dem Urknall eine Phase sehr starker Expansion gab. Zusammen mit dem Horizontproblem und dem Monoproblem, ist das Flachheitsproblem eine der drei Hauptprobleme des Lambda-CDM-Modells, welche die Motivation für Inflationstheorien sind.

Energiedichte und Friedmann-Gleichung

Nach den Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relätivitätstheorie, wird die Raumzeit durch die Anwesenheit von Materie und Energie beeinflusst. Auf kleinen Skalen erscheint die Raumzeit flach. Auf größeren Skalen ist die Raumzeit durch die Gravitation vom Materie gekrümmt. Da die Relativitätstheorie die Äquivalenz von Masse und Energie annimmt, ist dies auch bei Anwesenheit von Energie (wie Licht oder andere elektromagnetische Strahlung) der Fall. Die Stärke der Krümmung hängt von der Dichte der Materie bzw. Energie ab.

Dieses Verhalten wird durch die erste Friedmann-Gleichung beschrieben. In einem Universum ohne Kosmologische Konstante, lautet sie:

$H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}$

wobei $H$ der Hubble-Parameter, ein Maß für die Rate, mit der sich das Univerersum ausdehnt, und $\rho$ die Gesamtdichte von Masse und Energie im Universum ist. Der Skalenfaktor $a$ bestimmt die „Größe“ des Universums und $k$ ist der Krümmungsparameter, der bestimmt, wie flach oder gekrümmt die Raumzeit ist. Die Fälle $k>0$, $k=0$ und $k<0$ entsprechen einem geschlossenen, flachen beziehungsweise offenen Universum. Die Konstanten $G$ and $c$ sind die Gravitationskonstante und Lichtgeschwindigkeit.

Die obige Gleichung lässt sich durch Definition einer kritischen Dichte $\rho _{\mathrm {c} }$ vereinfachen. Für einen gegebenen Wert von $H$ ist die kritische Dichte definiert als diejenige, welche für ein flaches Universum mit $k=0$ erforderlich ist:

$\rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$.

Die Gravitationskonstante $G$ ist bekannt und die Expansionsrate $H$ lässt sich durch Messungen der Geschwindigkeit mit der sich weit entfernte Galaxien von uns wegbewegen bestimmen. Dadurch lässt sich für die kritische Dichte $\rho _{\mathrm {c} }$ ein Wert von etwa 10⁻²⁶ kg m⁻³ berechnen. Das Verhältnis dieser tatsächlichen Dichte zu diesem kritischen Wert wird mit $\Omega$ bezeichnet. Die Abweichungen von $\Omega$ von dem Wert $1$ bestimmt daher die Geometrie des Universums: $\Omega <1$ ist ein offenes Universum mit geringer Dichte, $\Omega =1$ ein flaches Universum mit genau kritischer Dichte und $\Omega >1$ ein geschlossenes Universum mit hoher Dichte.

Die Friedmann Gleichung

${\frac {3a^{2}}{8\pi G}}H^{2}=\rho a^{2}-{\frac {3kc^{2}}{8\pi G}},$

lässt sich zu

$\rho _{\mathrm {c} }a^{2}-\rho a^{2}=-{\frac {3kc^{2}}{8\pi G}},$

sowie durch Ausklammern von $\rho a^{2}$, und Einsetzen von $\Omega =\rho /\rho _{\mathrm {c} }$ umformen zu

$(\Omega ^{-1}-1)\rho a^{2}={\frac {-3kc^{2}}{8\pi G}}.$

Die rechte Seite der letzten Gleichung enthält nur Konstanten, wesshalb die rechte und linke Seite der Gleichung während der ganzen Entwicklung des Universums konstant sein müssen.

Mit der Expansion des Universums wird der Skalenfaktor $a$ größer und die Dichte $\rho$ geringer, da sich die Materie (oder Energie) auf das größere Universum verteilt. Für das Lambda-CDM-Modell, bei dem das Universum die meiste Zeit überwiegend Materie und Strahlung enthält, nimmt der Wert von $\rho$ stärker ab als $a^{2}$ zunimmt, wesshalb der Faktor $\rho a^{2}$ mit der Zeit geringer wird. Seit der Planck-Ära, hat $\rho a^{2}$ um einen Faktor von rund $10^{60}$ abgenommen, wesshalb $(\Omega ^{-1}-1)$ um den gleichen Faktor zugenommen haben muss, damit ihr Produkt konstant bleibt.