Polstelle

Eine Polstelle ist ein Punkt einer rationalen Funktion, bei der der Wert der Funktion unendlich wird.

Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}$

Da beide Funktionen der Wert Null liefern können, entstehen drei Sonderfälle.

Eine Nullstelle, wenn gilt:

$u(x)=0\land v(x)\neq 0$

Eine stetig hebbare Definitionslücke liegt vor, wenn:

$\;u(x)=v(x)=0$

Eine Polstelle oder auch Unendlichkeitsstelle liegt dann vor, wenn:

$u(x)\neq 0\land v(x)=0$

Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an dieser Stelle also einen uneigentlichen Grenzwert, also +/- unendlich.

Der Graph besitzt an der Polstelle eine vertikale Asymptote.

Jenachdem, wie sich der Graph nach dem Überspringen der Polstelle verhält, unterscheidet man zwischen Polen ungerader Ordnung und Polen gerader Ordnung.

Bei einem Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus dem positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. Bei der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der Polstelle macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der beiden Ergebnisse deutlich.

Dieses Phänomen liegt vor bei Funktionen mit ungerader Vielfachheit, wenn also der Exponent einer Funktion ungerade ist.

Ein Pol gerader Ordnung liegt vor, wenn der Graph sowohl links als auch rechts der Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen erscheint. Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein identisches Vorzeichen.

Dieser Fall tritt bei gerader Vielfachheit auf, also Funktionen mit geradzahligem Exponent.

Die Zahl des Exponenten der Funktion f(x) gibt außerdem die Ordnung des Pols an.

Beispiele:

• Die Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$ hat einen einfachen ungeraden Pol bei $\;x=0$.
• Die Funktion $f(x)={\frac {1}{(x-5)^{3}}}$ hat einen dreifachen ungeraden Pol bei $\;x=5$.
• Die Funktion $f(x)={\frac {1}{\sin x}}$ hat einfache ungerade Pole bei allen ganzzahligen Vielfachen von $\;\pi$.