Daniel5Ko

Begrüßung

Hallo Daniel5Ko, willkommen in der Wikipedia!
Danke für dein Interesse an unserem Projekt, ich freue mich schon auf deine weiteren Beiträge. Die folgenden Seiten sollten dir helfen, bitte nimm dir daher etwas Zeit, sie zu lesen.
	Wikipedia:Grundprinzipien Die grundlegende Philosophie unseres Projekts.		Wikipedia:Mentorenprogramm Persönliche Betreuung bei deinen ersten Schritten.
	Hilfe:Tutorial Schritt-für-Schritt-Anleitung für Einsteiger.		Wikipedia:Spielwiese Zum Testen der Wikipedia-Bearbeitungsfunktionen.
Bitte beachte, was Wikipedia nicht ist, und unterschreibe deine Diskussionsbeiträge durch Eingabe von --~~~~ oder durch Drücken der Schaltfläche über dem Bearbeitungsfeld. Artikel werden jedoch nicht unterschrieben, und wofür die Zusammenfassungszeile da ist, erfährst du unter Hilfe:Zusammenfassung und Quellen.    Hast du Fragen an mich? Schreib mir auf meiner Diskussionsseite! Viele Grüße,--Freedom Wizard 13:07, 8. Mai 2010 (CEST)

Hilfe?

Hallo Daniel5Ko,
offenbar gibt es Probleme mit einem deiner angelegten Artikel. Da du noch nicht so erfahren in der Wikipedia bist, will ich dir meine Hilfe anbieten beziehungsweise dich auf das Wikipedia:Mentorenprogramm aufmerksam machen. Dort kannst du mit erfahrenen Autoren zusammenarbeiten, um solche Diskussionen in Zukunft zu vermeiden. Am besten suchst du dir aus der Mentoren-Liste jemanden, der sich in deinem Themengebiet gut auskennt. Oder du setzt auf deine Benutzerseite gleich {{Mentor gesucht}}. Dann wird sich ein Mentor in kurzer Zeit bei dir melden. Viel Erfolg wünscht dir --Freedom Wizard 13:07, 8. Mai 2010 (CEST)

Mann, was für ein hassenswerter Meta-Quatsch. Falls es um Einheitstyp geht:

1. der Artikel schien mir notwendig,
2. ich sehe nicht, wo da eine unangenehme Diskussion sein soll, die es zu vermeiden gilt. Wer verbessern kann und will, soll dies tun. Ich sehe nicht, wie es effizient sein soll, mit einem perfekten Artikel zu starten, oder um Erlaubnis zu fragen, oder sich im Vorhinein auf die Suche nach Feedback zu begeben.

Als weiteres Beispiel meiner Herangehensweise: Monade (Typkonstruktion) ist gegenwärtig so ziemlich vollständig Grütze. Anstatt den Artikelersteller oder einen der letzten Editoren zu kontaktieren, versuche ich aber unabhängig eine bessere Strukturierung und Darstellung zu finden. Ganz konkret, direkt und konstruktiv. Roundtrips sind hemmend — gerade wenn man Latenzzeiten von Tagen hat. Man könnte natürlich auch einen Löschantrag stellen, um Interesse zu generieren, aber ich empfinde das als Missbrauch dieser Funktionalität und auch als Faulheit. --Daniel5Ko 23:43, 8. Mai 2010 (CEST)

Antwort zur Kenntnis genommen. -- Freedom Wizard 21:33, 9. Mai 2010 (CEST)

Gut. So lasst uns denn weiter Blödsinn entfernen. Usw. :) --Daniel5Ko 23:01, 9. Mai 2010 (CEST)

Ich habe den Artikel der Informatik-QS gegeben, da Void (Datentyp) praktisch das gleiche beschreibt. --mfb 11:45, 20. Mai 2011 (CEST)

Wie kann man denn auf so eine Abomination weiterleiten wollen? --Daniel5Ko 17:43, 20. Mai 2011 (CEST)

Herzlich willkommen

und danke für deine arbeit an der monade. gefällt mir gut, wie du die auf vordermann bringst - ich hab mich da nie rangetraut. wenn dir mal jemand metakram vom hals halten soll, sag bescheid! -- ∂ 00:46, 18. Mai 2010 (CEST)

Okay, alles klar :) --Daniel5Ko 00:51, 18. Mai 2010 (CEST)

Formale Grammatik

Hi Daniel5Ko, [hoffe, dir ist das nicht zu meta ;)]

deine Änderungen am Artikel sind interessant. Aber bei der Aussage 'Angabe von G als (N,\Sigma,S,P) ist auch üblich' muss ich nachhaken: Es ist natürlich blöd, für jede Konvention einen Beleg anzugeben und es gibt natürlich keine soziologischen Erhebungen über die Häufigkeit der Einhaltung von Konventionen (und deshalb Formulierungen wie diese zu vermeiden, fände ich auch übertrieben). Aber die Aussage unterstellt, dass die Angabe von G als (V,\Sigma,S,P) genauso üblich sei und das Gefühl hatte ich bisher nicht. Kannst du mir ein paar Beispiele nennen? --Zahnradzacken 22:16, 20. Jul. 2010 (CEST)

Das ist in der Reihenfolge eine Definition, die funktioniert (und die Aufzählung elegant macht — sie muss nicht syntaktisch vollständige Sätze enthalten und kann selber einen ordentlichen bilden ;) ), und daher sicher hundertfach belegbar sein dürfte. [hier 10 Minuten Pause vorstellen] Ich hab' mal ein altes Vorlesungsskript 'rausgekramt. Und siehe da: das macht es auch so, wohl aufgrund der eleganten kurzen Darstellungsmöglichkeit. Unbewusste Erinnerungen daran haben mich wohl in diese Richtung geleitet. Wie dem auch sei: das Skript ist das von "Grundlagen der theoretischen Informatik", gegeben im WS 01/02 von Prof. Peter Bachmann, LS Programmiersprachen & Compilerbau, BTU Cottbus. Mal schauen, ob's das dort noch online gibt. Hmm, scheinbar leider nicht. :( Vielleicht findet man das auch woanders — es war jedenfalls meines Wissens einige Jahre ohne große Updates "in Betrieb".

Wie auch immer. Man wird für alle Permutationen des Tupels irgendwo was finden, genauso wie für alle 2-elementigen Untermengen von {V, \Sigma, N} als 2 der Bestandteile des Tupels. (Chomsky-Hierarchie permutiert gegenwärtig gar innerhalb des Artikels ;) ) Entscheidend ist, dass es funktioniert. Die momentane Auswahl habe ich anhand ästhetischer Gesichtspunkte, nicht anhand von Benutzungsstatistiken getroffen. Ich sehe da auch keine Gefahr eines Theoriefindungsverdachts o.ä. . Es ist eine reine Darstellungssache. Was 'rauskommt, ist das selbe. --Daniel5Ko 22:54, 20. Jul. 2010 (CEST)

Übrigens, Meta: Warum führen wir die Diskussion nicht auf der Diskussionsseite des Artikels? Das wäre doch einigermaßen wichtig für seine Geschichte und Zukunft. --Daniel5Ko 23:13, 20. Jul. 2010 (CEST)

Vielen Dank für die Erleuchtung :) Hier aus zwei Gründen: 1. Du bekommst einen schönen, farbigen Balken als Benachrichtigung. 2. Ich sah auch keine Gefahr einer Theoriefindung und wollte nur meinen Horizont erweitern (zugegeben, keine besonders radikale Maßnahme). Die Inkonsistenz bei Chomsky-Hierarchie ist natürlich unfein. Umso schöner, dass ich nun eine elegantere Form kennengelernt habe.--Zahnradzacken 23:32, 20. Jul. 2010 (CEST)

:) --Daniel5Ko 23:50, 20. Jul. 2010 (CEST)

Hi, das Thema ist wieder aktuell geworden, siehe Diskussion:Formale Grammatik#Definition doppelt bzw mehr unter Diskussion:Produktionsregel. --Zahnradzacken 20:18, 8. Feb. 2011 (CET)

Hi. Jo, hab' schon gesehen, und werfe mal einen genaueren Blick drauf (bisher kaum mehr als die Info, die man per Beobachtungsliste bekommt, entgegengenommen). (Und mein Versprechen, da mal ein paar Zusammenhänge zu verwandten Themen herzustellen, habe ich auch nicht vergessen, falls das der eigentliche Grund für die Nachricht ist. ;) ) Gruß, --Daniel5Ko 20:48, 8. Feb. 2011 (CET)

Achso, habe jetzt erst, nach einer Antwort in Diskussion:Produktionsregel bemerkt, dass es um die Quelle geht. Tja! Was soll man machen?! Und egal ist es sowieso. Simple Formulierungsvereinfachung (a.k.a. Äquivalenzumformungen, vergleichbar mit Trivialitäten wie "Paris liegt in Frankreich") sollte nicht mit Quellen abgedeckt werden müssen. Oberstes Ziel ist die möglichst einfach verständliche Darstellung von Wissen. Wenn aus Tradition, oder weil die Lehrbuchschreiber voneinander abschreiben, unnötig komplizierter Kram die Mehrheit bildet, ist das kein Grund, das nachzuäffen. --Daniel5Ko 22:45, 8. Feb. 2011 (CET)

Lieber Daniel, Du meintest hier, "besser nicht vereinheitlichen". Allgemein ist mir beim Thema Formale Grammatik aufgefallen, daß sich für den damit noch nicht vertrauten Leser gerade durch nicht vereinheitlichte Benutzung der abstrakten Symbole gewisse unnötige Schwierigkeiten ergeben. Natürlich wäre es alternativ zur Vereinheitlichung möglich, im Mutterartikel eine Tabelle mit den üblichen Symbole anzulegen, mit Einträgen wie: | leeres Wort | ε | λ | p.p. - Ist Dir hoffentlich nicht zu meta. Gruß Friz -- 77.188.0.21 04:51, 7. Mär. 2011 (CET)

Ich habe nichts gegen sinnvolle Vereinheitlichungen. Die in Diskussion:Leeres Wort angeregte Vereinheitlichung ist keine sinnvolle, weil die Namen dort nicht viel miteinander zu tun haben. Wie dort schon geschrieben: der Text spricht über alle Epsilon-Transitionen (und das, obwohl ein Automat im Allgemeinen mehr als 2 Zustände hat!), das Bild zeigt einen konkreten Automaten mit einer Epsilon-Transition. Die implizit all-quantisierten q₁ und q₂ im Text können also für diesen Beispielautomaten mit p und q belegt werden, dann spricht der Text über diese spezielle Transition in diesem Automaten. --Daniel5Ko 09:52, 7. Mär. 2011 (CET)

Lieber Daniel, Die Formale Grammatik umfaßt etliche Lemmata, und da ist eine Vereinheitlichung natürlich so ein Unterfangen, darum die Idee der Tabelle auf dem Mutterlemma - oder lieber eine neue Site als MetaSyntaxCouch? Gruß Friz -- 77.12.222.70 19:35, 8. Mär. 2011 (CET)

Ja, sowas wäre vielleicht sinnvoll. Ich habe aber keine Ahnung, wo so etwas sinnvollerweise hingehören könnte. Ein neuer Abschnitt in Liste mathematischer Symbole wäre auch 'ne Option. Außerdem kann es sein, dass eine solche Tabelle schon irgendwo anders existiert. Ich habe aber auch keine rechte Lust, mich darum zu kümmern. Sei mutig! :D --Daniel5Ko 20:12, 8. Mär. 2011 (CET)

Denke, das könnte eine gute Idee sein, Friz -- 77.186.138.129 21:29, 11. Mär. 2011 (CET)

Andererseits ist es dafür eigentlich doch zu speziell, daher denke ich, könnte die Tabelle logischer Symbole ein Vorbild sein. Gruß, Friz -- 77.186.183.110 07:29, 12. Mär. 2011 (CET)

Kategorien

Hallo Daniel!
Ja das mit den Kategorien ist nicht so einfach, aber wie gesagt ( siehe scala programmiersprache - disskusion) besser als in der englischen wikipedia. Ich habe hier einmal ein Überblick über ein paar Kategorien, die mich jetzt mal ganz konkret interesieren (siehe Kategorienbaum Softwaretechnik ):
Softwaretechnik -> Programmiersprache -> Deklarative Programmiersprache -> Funktionale Programmiersprache

Softwaretechnik -> Programmierparadigma (dann als EINZIGE Unterkategorie)-> Objektorientierte Programmierung (und diese verzweigt dann wieder auf Sprache)-> Objektorientierte Programmiersprache

bzw.
Softwaretechnik -> Programmiersprache -> Objektorientierte Programmiersprache
Also Programmiersprache bzw. Programmierparadigma?! Wie sollte man das unterteilen?

20:38, 25. Jul. 2010 (CEST) wikiteste2501

Ähm, mir ist nicht ganz klar, was du tatsächlich wissen möchtest (Vielleicht mal mehr Verben in die Sätze einbauen!?). Aber um trotzdem so etwas wie eine Antwort zu geben, die zum Thema zu gehören scheint: "OOP" als Unterkategorie von "Programmierparadigma" einzuordnen, scheint mir auf den ersten Blick bollocks zu sein. --Daniel5Ko 21:26, 25. Jul. 2010 (CEST)

Stelligkeit

Warum hast Du meine Änderung rückgängig gemacht? -- Digamma 23:41, 4. Aug. 2010 (CEST)

Ach du Sch****. Versehen. Ich war wohl am Beschauen der Geschichte und wollte dann eine Kleinigkeitskorrektur vornehmen. Ich reparier's. --Daniel5Ko 23:56, 4. Aug. 2010 (CEST)

So, repariert. Ich glaub', die Warnhinweise (die es ja in einem solchen Fall durchaus gibt) müssten größer sein. Vielleicht sollte am besten der ganze Bildschirm blinken! ;) --Daniel5Ko 00:15, 5. Aug. 2010 (CEST)

Danke. Eine Warnung beim Abschicken wäre vielleicht nicht schlecht. Die Änderung wird nur ausgeführt, wenn sie nochmals bestätigt wird. Viele Grüße -- Digamma 10:10, 5. Aug. 2010 (CEST)

Gleichheit von Tupeln

Vielleicht möchtest Du einen Blick auf den Diskussionsbeitrag vom 17.Sep. auf der TupelDisk werfen und dort antworten? -- 80.134.199.40 12:03, 17. Sep. 2010 (CEST)

Blick geworfen. --Daniel5Ko 00:00, 18. Sep. 2010 (CEST)

Projektion uninteressant für Multimengen ??

Hallo Daniel5Ko,

Da kann ich jetzt nicht ganz mit:

1. definiert unser Autor von Projektion tatsächlich doch Projektion als Operation auf einer ganzen Tabelle,
2. finde ich es absolut interessant, wie aus Mengen mit ihrem allseits bekannten Mengenbegriff Multimengen werden können.

Dass unser obiger Autor Duplikate in der Ergebnisrelation sofort wieder eliminiert, ändert nichts an dem Fakt. (Abgesehen davon, dass die Elimination einen nicht zu vernachlässigenden Aufwand bedeutet.)

Ich habe vielleicht vergessen herauszuarbeiten, dass auch aus Multimengen durch Projektion wieder Multimengen entstehen?

Warum sollte das Wechselspiel zwischen Mengen und Multimengen uninteressant sein ? -- Nomen4Omen 16:50, 21. Sep. 2010 (CEST)

Hallo. Die Projektion hat halt nichts direkt mit Multimengen zu tun. Jede Funktion kann man auf eine Menge passender Werte anwenden — und wenn sie nicht injektiv ist, ist die Ansammlung der Funktionswerte eine Multimenge. Beispielsweise kann man $sin$ auf $\{0,\pi ,\pi /2\}$ anwenden und erhält $\{0,0,1\}$. Kann man vielleicht erwähnen, aber sicher nicht unter der Überschrift "Projektion". --Daniel5Ko 19:10, 21. Sep. 2010 (CEST)

Halten Sie die Kritik im letzten Beitrag in Diskussion:Mathematisches Objekt für angebracht?

Vielleicht kann ich dort eine Antwort von Ihnen auf diese Frage finden. -- 80.134.197.178 10:36, 7. Okt. 2010 (CEST)

Abbildungsmatrix

Wenn Du den Artikel überarbeiten möchtest: Matrix_(Mathematik)#Zusammenhang_mit_linearen_Abbildungen und Lineare Abbildung#Abbildungsmatrix könnten hilfreich sein. -- Digamma 22:04, 14. Okt. 2010 (CEST)

Jo, danke, hab' mich auch schon ein wenig umgesehen. Leider macht das Artikelgeflecht bisher den Eindruck eines ziemlichen Wirrwarrs von leicht abgeänderten Kopien. :) Na, mal sehen... --Daniel5Ko 22:13, 14. Okt. 2010 (CEST)

Eine Frage

Ich habe eine Frage auf der Diskussionsseite von Folge (Mathematik) gestellt. Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir diese beantworten könnten. -- 80.134.183.73 17:42, 16. Nov. 2010 (CET)

Danke ...

... für die Korrektur meiner Schreibfehler.--B-greift 20:25, 6. Feb. 2011 (CET)

Kein Problem. --Daniel5Ko 20:44, 6. Feb. 2011 (CET)

Kommutative Diagramme

Hallo Daniel,

nachdem Du für mich so schöne kommutative Diagramme zum Basiswechsel gemacht hast, hätte ich eine (bzw. zwei) Bitte(n). Ich weiß nicht, wie aufwendig das Anfertigen von kommutativen Diagrammen ist. Aber wenn es nicht zu aufwendig ist:

1. Ich habe im Artikel Abbildungsmatrix einen Abschnitt Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen eingefügt. Könntest Du dazu ein kommutatives Diagramm anfertigen?
2. Dein kommutatives Diagramm aus dem Abschnitt Basiswechsel im selben Artikel habe ich auch im Artikel Basiswechsel (Vektorraum) eingebaut, im Abschnitt Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen. Schöner fände ich es allerdings, wenn hier ein Diagramm stünde mit Vierecken statt Dreiecken, die oberen Seiten beschriftet mit $\operatorname {id} _{V}$ bzw. $\operatorname {id} _{W}$. Könntest Du ein solches anfertigen?
3. Zuletzt ist mir noch etwas zu dem andern Diagramm mit dem Basiswechsel eingefallen: Wäre es vielleicht möglich, den unteren Pfeil doppelt zu beschriften, die eine Beschriftung darüber, die andere darunter? Dann könnte z.B. darunter stehen $M_{B'}^{B}(\operatorname {id} _{V})$, und darüber $T_{B'}^{B}$. Das würde die unschöne Gleichung in der Beschriftung des Pfeils vermeiden und trotzdem beide Bezeichnungen unterbringen.

Noch eine kleine Anmerkung zu diesem Diagramm: Das "B'" am rechten Pfeil wird in der Miniatur-Ansicht abgeschnitten. Möglicherweise ragt es nach rechts über den definierten Bildrand hinaus. In der Vollansicht ist es ganz zu sehen. Viele Grüße und im Voraus vielen Dank! -- Digamma 18:39, 14. Feb. 2011 (CET)

Hier nummerierte Antworten:

1. Ja, kann ich machen. Falls ich Fragen zu den Beschriftungen habe, werde ich die hier stellen.
2. Würde mir, glaube ich, auch besser gefallen. Daher werde ich die Datei ersetzen, falls sie nicht inzwischen wider Erwarten noch woanders verwendet wird, und das da nicht passen würde. Diesen Fall kann ich mir zwar kaum vorstellen, aber man weiß ja nie.
3. Das ist eine gute Idee. Mache ich auch mal.

Zur Anmerkung: Oh, danke, ist mir gar nicht aufgefallen. Der Grund ist, dass SVGs aus welchem Grund auch immer vom Server vorgerendert und als PNG verschickt werden. Und dieser Vorrenderer ist ziemlicher Schrott und macht einiges falsch. Eine funktionierende Variante des SVG-Quelltextes zu finden verkommt zu einem Ratespielchen mit andauerndem Hochladen. Das macht überhaupt keinen Spaß!

Gruß, --Daniel5Ko 20:35, 14. Feb. 2011 (CET)

Danke. Ich möchte dich allerdings bitten, die Datei Change_of_basis.svg nicht zu ersetzen, sondern die neue unter anderem Namen hochzuladen. Im Artikel Abbildungsmatrix ist die alte Datei durchaus am Platz, da dort im Text nicht auf die Identitätsabbildung eingegangen wird und die Transformationsmatrix nicht als Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung identifziert wird. -- Digamma 21:16, 14. Feb. 2011 (CET)

Oh, richtig. Ein Glück, dass ich mir selbst beim Hochladen dann doch wieder nicht so sicher war und einen anderen Namen gewählt habe. Das Ding heißt Change_of_basis2.svg.

Die Variante des einfachen Quadrats mit einem zweifach beschrifteten Pfeil heißt Change_of_basis_squared2.svg.

Das für die Hintereinanderausführung bastele ich jetzt.

--Daniel5Ko 21:24, 14. Feb. 2011 (CET)

Ach ja, du fragtest ja auch, wie kompliziert das Erstellen der Diagramme ist. Das beantworte ich mal, denn vielleicht willst du das ja auch mal machen. [1] empfiehlt die Erstellung per LaTeX und dann Konvertierung nach SVG, und zeigt, wie das in einer Unix-Umgebung geht. Das hat den Vorteil, dass man z.B. bei der Beschriftung die volle LaTeX-Power hat. Nachteilig ist, dass das Ergebnis nicht mehr so einfach mit einem Text-Editor bearbeitet werden kann, weil selbst Texte als viele Polygone (also nahezu unendlich lange Koordinatenfolgen) ausgegeben werden. Ich bevorzuge es, wenn der SVG-Quelltext einigermaßen lesbar ist, und Text auch als Text dasteht. Daher schreibe ich auch gleich direkt mit einem Texteditor SVG. Allerdings hat man dann das Problem, dass selbst so etwas simples wie Hoch- und Tiefstellung nicht ausdrückbar ist und per Hand nachgebaut werden muss. --Daniel5Ko 23:13, 14. Feb. 2011 (CET)

Closures

Hallo!

Du hattest meinen Beitrag zum Artikel Closure mit folgendem Kommentar gelöscht: "Zielstellung zwar einigermaßen gut und nachvollziehbar, eigentlicher Inhalt aber nicht." Was konntest Du am Inhalt nicht nachvollziehen und warum? Von mir auf den Artikel und meinen Abschnitt verwiesene Kollegen fanden die Erklärung durchaus präzise und verständlich. Kann man vielleicht unterstellen, dass Dir einfach die Programmiersprache, in welcher die Beispiele gehalten waren, nicht hinreichend bekannt war, oder lagen irgendwelche inhaltliche Mängel vor?

Grüße

Stelle dir einen Java- oder C#-Programmierer vor, der wissen will, worum's geht. Dynamischer Scope à la emacs-Lisp ist nicht weit verbreitet und schon lange als viel zu ungünstig, weil unnachvollziehbar, erkannt. Ich sehe keinen Grund, dieses Konzept überhaupt zu erwähnen. Es ist lediglich leicht zu implementieren, ansonsten hat es keine nennenswerten Vorteile. Man kann auf die Idee kommen, dass es irgend etwas brächte, dynamischen Scope und statischen Scope gegenüberzustellen, wenn man erklären will, was Closures sind. Tatsächlich kam ich aber nach mehrmaligem Lesen zu dem Schluss, dass das nichts bringt. Es wird nur gewinnlos abgelenkt. Beachte, dass es auch im originalen Lambda-Kalkül keinen dynamischen Scope gibt. Das ist alles nur ein fauler/bequemer/u.U. ressourcenschonender Hack. :) --Daniel5Ko 00:15, 18. Mär. 2011 (CET)

Deine Ansichten über dynamischen Skopus sind eine Position, die man vertreten kann und die ich teilweise teile. Ja, dynamischer Skopus ist heutzutage die Ausnahme und zu den von manchen angeführten Vorteilen in einem dynamisch erweiterbaren System gibt es verschiedene Ansichten. Dass die von dir vertretene Bewertung des Nutzens dynamischen Skopus' nicht die einzige heutzutagene vertretene ist, zeigt unter anderem die in Clojure, einem rezenten, relativ verbreiteten Lisp-Dialekt, in dem die Beiseitigung von "Altlasten" sehr ernst genommen wird, vorhandene Möglichkeit, diesen optional zu nutzen.

Deine Position klingt in meinen Ohren insofern etwas extrem, als es meiner Ansicht nach hier zumindest nicht schadet, kontrastierende Erklärungen einzubringen, wodurch sich die Vorteile lexikalischen Skopus', nämlich u.A. lexikalische Closures, gegenüber anderer Ansätze klarer abzeichnen. Was Emacs-Lisp und Nachvollziehbarkeit angehen, so richten sich die wenigsten kritischen Bemerkungen über Emacs-Lisp gegen Specials im Allgemeinen, sondern vielmehr dagegen, dass diese dort die einzige (von diversen Krücken abgesehen) vorhandene Option sind. Wäre, wie in Common-Lisp, lexikalischer Skopus die Vorgabe und dynamischer auf Wunsch nutzbar, hätten wahrscheinlich die wenigsten ein Problem damit.

Wenn Du meine Ausführungen als gewinnlose Ablenkung empfindest, so kann ich Dir zwar Deinen Eindruck nicht nehmen, aber trotzdem darauf verweisen, dass es sich hier um eine subjektive Wahrnehmung handelt, die Du objektiv zu untermauern versuchst. Dabei lässt Du jedoch vollkommen außer Acht, dass Erklärungen die Dir, oder einem C++-Programmierer (vielleicht) nicht weiterhelfen, anderen Lesern jedoch sehr wohl die zu erklärenden Konzepte näher bringen können. Der Artikel heißt schließlich nicht "Einführung in lexikalische Closures für ...", sondern sollte, im Hinblick auf einzelne Programmiersprachen, möglichst neutral gehalten werden. Dabei ist es übrigens vollkommen ohne Belang, ob Du eine aus didaktischen Gründen angeführte, zugegebenermaßen selten gewordene, ältere Technik, gutheißt oder nicht. Um einen Vergleich einzubringen: Würdest Du auch in einem Artikel über Monaden eine Gegenüberstellung von veränderlichen Variablen und der State-Monade beanstanden, da erstere in Haskell nicht existieren und in der FP-Ecke einen schlechten Ruf genießen?

Was Deine Erwähnung des Lambda-Kalküls angeht so kann ich nur sagen, dass die anderen im Artikel verwendeten Sprachen wohl im Schnitt weiter vom ungetypten Lambda-Kalkül entfernt sind, als Lisps. Davon abgesehen sollte man nicht übersehen, dass mathematische Modelle in der Praxis recht selten in Reinform auftreten und man selbst in Sprachen wie Haskell nicht um Kompromisse, wie beispielsweise die Einführung von _|_ im getypten LK, herum kommt. Dass sich hieraus eine Konsequenz für die Tauglichkeit des Abschnitts ergeben soll ist bestenfalls ein non sequitur, schlechterenfalls reine Polemik.

Wie gesagt: Deine Position ist zwar nachvollziehbar, aber Vergleiche mit verwandten oder komplementären Konzepten kategorisch abzulehnen halte ich, gerade bei Konzepten, die erfahrungsgemäß einigen Probleme bereiten, für etwas übertrieben. Gerade bei solchen Themen ist es oft hilfreich, Erklärungen aus mehreren Perspektiven anzubieten. Deine Argumentation, die sich anscheinend maßgeblich auf die Nachteile und geringe Verbreitung dynamischen Skopus stützt, scheint mir nicht überzeugend. Der gelöschte Abschnitt enthält, zumindest meiner Ansicht nach, auch keine Fehler (was man jederzeit in einer CL-REPL überprufen kann) und hat sich darüber hinaus bei mehreren meiner Kommilitonen im Rahmen eines universitären Common-Lisp-Seminars (das übrigens nach Prog I (Java) und Skriptsprachen (Ruby) stattfand, also durchaus die von Dir angeführte "Zielgruppe" betrifft) als durchaus nachvollziehbar und hilfreich erwiesen.

Ich denke, dass ich jetzt insgesamt mit dem angesprochenen Abschnitt und dieser "Rechtfertigung" hier erstmal genug Zeit in WP investiert habe. Die Arbeit ist noch nicht verloren und ich würde es begrüßen, wenn Du Deine Ansichten vielleicht noch einmal überdenken würdest.

Grüße

Zu den Monaden: Ja, die genannte Gegenüberstellung würde ich beanstanden, weil sie nichts zum Verständnis beiträgt, sondern beim Leser vermutlich eher die Frage aufwirft: "Ja, was soll denn dann der ganze hochkomplizierte Apparat?". Das interessante ist nicht State, sondern das, was sich auf Typ- und Operationsebene monadenübergreifend abspielt.

Warum ich Lambda-Kalkül erwähnt habe: Dies lag daran, dass der entfernte Abschnitt "Lambda-Ausdrücke" erwähnt. Es erschien mir daher recht naheliegend, auf den Umstand hinzuweisen, dass im Lambda-Kalkül das Konzept dynamischer Scope nicht existiert.

Zum vorletzten Abschnitt: Es geht hier nun mal um Closures, nicht um dynamischen Scope. Ich kann letzteres auch nicht wirklich als verwandt oder komplementär erkennen. Es ist nach meinem Geschmack einfach nochmal etwas ganz anderes... Wieviele Perspektiven willst du denn anbieten? Mir scheint das in Richtung [2] zu gehen.

Nichts desto trotz kannst du den betreffenden Abschnitt auch einfach wieder einfügen, wenn du wirklich denkst, dass der Artikel dadurch besser wird. Ich glaub's nicht, aber das ist eben nur meine Meinung.

Grüße --Daniel5Ko 12:35, 18. Mär. 2011 (CET)

Was Monaden angeht, so hast Du zwar Recht, was deren Essenz anbelangt, aber viele Menschen haben dennoch Probleme, solch abstrakte Konzepte ohne einführende Beispiele, übliche Anwendungsfälle und Vergleiche mit bereits Bekanntem zu begreifen.

Dass dynamischer Skopus im LK nicht vorkommt, könnte man erwähnen, wenn wirklich darauf Bezug genommen würde. Im besprochenen Abschnitt ist das allerdings nicht der Fall. Es wird lediglich darauf hingewiesen, dass anonyme Funktionen in Lisps als Lambdas (bzw. Lambda-Ausdrücke) bezeichnet werden.

Der von Dir erwähnte Blog-Artikel ist mir bekannt. Obwohl die dort vertretene Ansicht auch mir schlüssig erscheint (jedenfalls nachdem ich Monaden, bzw. deren Ausprägung in Haskell, weitestgehend verstanden hatte) ändert es nichts daran, dass ich seinerzeit sehr viele Tutoriale durcharbeiten musste, bis mir schließlich ein Licht aufging. Letztenendes war für mich die Typeclassopedia die klärende Instanz (also der Ansatz, join nach Funktoren, punktierten Funktoren, applikativen Funktoren einzuführen) und die einzig wirklich passende Metapher die des "Kontextes". Das heißt aber nicht, dass anderen, zumindest eine Zeitlang, irgendeine Burrito-Metapher nicht weiterhelfen könnte. Sicher würde es, rein formal, genügen, die entsprechenden Typklassen und die einzuhaltenden Gesetze vorzustellen, aber so tickt nunmal nicht jeder. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob der Vergleich an dieser Stelle wirklich gerechtfertigt ist, da wir es hier nicht mit Dutzenden individueller Metaphern zu tun haben, die oftmals nur Teilaspekte des zu erklärenden Konzeptes verdeutlichen. Im hier besprochenen Abschnitt geht es nicht um Metaphern, sondern um eine konkrete, in existierenden Programmiersprachen bestehende, Dichotomie, die zum Verständnis beitragen kann, aber nicht muss.

Ich persönlich denke, dass der gelöschte Abschnitt, zumindest dem Ansatz nach, den Artikel verbessert. Es gibt, wie gesagt (auch moderne) Sprachen, in welchen die angesprochene Unterscheidung wichtig ist und auch ansonsten kann sie die Vorteile lexikalischen Skopus' verdeutlichen, oder diesen, zumindest historisch, genauer einordnen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob der Abschnitt in seiner Gesamtheit wieder eingefügt werden sollte, oder ob er einer Überarbeitung bzw. Kürzung bedarf. Am liebsten wäre es mir eigentlich, wenn ein Dritter, der sich mit der Materie auskennt, das übernehmen könnte, da ich glaube, dass wir beide in gewissem Sinne Extrempositionen vertreten. Ich werde es mir durch den Kopf gehen lassen und dann gegebenenfalls eine überarbeitete Version einstellen, was allerdings noch etwas dauern kann.

Grüße

Okay. Ich fasse mal meine Bedenken mal in zwei Punkten zusammen. Vielleicht hilft dir das beim Erstellen der neuen Version:

1. Wenn du die Vorteile von lexikalischem Scope gegenüber dynamischem nennen willst, ist Closure m.E. nicht der richtige Ort.
2. Was dem einen (gefühlt oder echt) beim Verständnis geholfen hat, kann den anderen verwirren. Hier: Arbeit mit dem nicht benötigten Konzept dynamischer Scope. Das ist eigentlich die einzige Gemeinsamkeit mit der "Monad tutorial fallacy", weshalb ich auch nur schrieb, das Problem ginge in diese Richtung .

Eine dritte Meinung kannst du übrigens hier erfragen. Vielleicht hat ja jemand eine gute Idee...

Möglich ist auch, dass ein erneutes Ping auf Wikipedia:Redaktion_Informatik/Qualitätssicherung/Knacknüsse#Closure mal ein sinnvolles Feedback ergibt.

Grüße, --Daniel5Ko 18:11, 18. Mär. 2011 (CET)

Ok, danke Dir! Es wird allerdings noch ein bisschen dauern, bis ich den Abschnitt ggf. überarbeiten, oder woanders unterbringen kann, da ich im Moment noch einiges zu tun habe.

Grüße

monaden

moin Daniel5Ko! ich hab auf [3] nochmal was geschrieben, was meinst du? -- ∂ 03:08, 4. Apr. 2011 (CEST)

Siehe dort. --Daniel5Ko 21:21, 4. Apr. 2011 (CEST)

C#

• Naja ob man die usings braucht - darüber lässt sich streiten oO jedenfalls spart man sich dadurch das System.Console.WriteLine - insgesamt macht die verlängerte Version von mir den Quelltext länger. Naja eigentlich werden oft Namensräume in der Programmierung mit C# verwendet - dient eig nur dem optischen Überblick oO Aber gut - ich will jetzt nicht stänkern, ich belasse deinen Rollback mal, denn ich möchte keinen Editwar anzetteln. Schönen Abend noch. --Leonardo Branco 19:41, 3. Jun. 2011 (CEST)

Der namespace war das einizige, was einigermaßen sinnvoll war. Kannst du gerne wieder 'reinschreiben. Zum Sparen von "System.Console.WriteLine": du sparst lediglich das "System.", und das ist kürzer als "using System;"... --Daniel5Ko 20:16, 3. Jun. 2011 (CEST)

Ackermannfunktion

Deinen Revert vermag ich fachlich nicht zu beurteilen. Ich hatte nur eine unerläuterte Änderung einer IP zurückgesetzt. Bitte lasse Deine Änderung doch sichten --Ottomanisch 19:56, 8. Jun. 2011 (CEST)

Ich könnte die Änderung auch selber sichten, unterlasse es aber, weil ich bisher noch nicht so ganz davon überzeugt bin, dass die Änderungen vom 30. April gut waren - "frei von offensichtlichem Vandalismus" reicht mir persönlich nicht. --Daniel5Ko 20:07, 8. Jun. 2011 (CEST)

ist mir zu rätselhaft...--Ottomanisch 20:12, 8. Jun. 2011 (CEST)

Was ist daran rätselhaft? Die heutige Änderung durch eine IP ist die Vervollständigung einer größeren Änderung vom 30. April, die ich zwar gesehen, aber bisher nicht eingehend geprüft habe; und wenn ich etwas sichte, stelle ich meist größere Anforderungen als Vandalismusfreiheit: zumindest ich muss überzeugt sein, dass die Änderung gut war. --Daniel5Ko 20:32, 8. Jun. 2011 (CEST)

Da doch ein seltsamer und schwer zu interpretierender Zustand eingetreten war, hab' ich mir nun mal die Zeit genommen, und mir die ältere größere Änderung genauer angeschaut. ...und meinen Segen erteilt. :) --Daniel5Ko 21:26, 8. Jun. 2011 (CEST)

Klinge (Lausitz)

Hallo Daniel5Ko,

der Widerspruch zwischen dem Bahnhofsschild (Glinka) und dem Namen auf dem Ortsschild (Klinka) ist mir auch schon aufgefallen. Das Ortsschild ist aber amtlich und deshalb habe ich mich für "Klinka" entschieden. Auch in der aufgeführten Literatur wird stets "Klinka" geschrieben. Gibt es im Lausitz-Portal keinen Sorbischkundigen? Die Erläuterungen zur Entstehungsgeschichte des Namens sagen, dass er von dem sorbischen Begriff für Lehm oder Ton hergeleitet sei.--lutki 18:33, 24. Jun. 2011 (CEST)

Hallo.

Hier [4] kann man nachlesen, dass die Klinger selber mit der neuen Ortsbeschilderung nicht zufrieden sind/waren und sie für falsch halten/hielten. Wieso ein Wörterbuch festlegen sollte, wie ein Ort geschrieben wird, ist mir auch ein wenig schleierhaft. Wie auch immer, mir ist das relativ Wurscht, es fiel mir nur sofort als "falsch" auf, weil ich es anders in Erinnerung hatte. Dass im Zuge der Erfindung von Wiesengrund (und damit verbunden neue Ortsschilder) eine andere sorbische Schreibung eingeführt wurde, habe ich jetzt erst durch oben verlinkten Artikel erfahren.

Diverse Online-Deutsch-Niedersorbisch-Wörterbücher, die ich mal eben gefunden habe, spucken "glina" als Übersetzung für "Lehm" aus. Hmmm... Keine Ahnung, was da los ist. Aber besonders viel spricht aus meiner Sicht immer noch nicht für "Klinka". --Daniel5Ko 19:32, 24. Jun. 2011 (CEST)

Ja, bei der Herleitung von "Lehm", die im Ortsnamenbuch erwähnt wird, erscheint mir "Glinka" logisch. Allerdings kommt der Autor dann aber trotzdem zu "Klinge". Ich habe jetzt auch noch mal im Wörterbuch sorbischer Ortsnamen nachgesehen Wörterbuch, dort steht für Klinge "Klinka". Das ist schon einigermaßen verwirrend. Ich lasse es erst einmal so stehen.--lutki 22:06, 24. Jun. 2011 (CEST)

Die Rolle der Sprache in der Arithmetik

Hallo, finde es nicht so schön, dass du das aus der Arithmetik rausgelöscht hast. Zumal ich das aus einem Buch habe, was nachweislich existiert. Es steht halt so drin in dem Buch unter Arithmetik, wollte das halt hinzufügen. Mit freundlichen Grüßen -- qweet 18:40, 5. Jul. 2011 (CEST)

Hi. Wenn das in dem Buch wirklich so und in einem annähernd gleichen Kontext drinsteht (was ich bezweifle), ist das halt ein schlechtes Buch...

Gruß, --Daniel5Ko 18:58, 5. Jul. 2011 (CEST)

Die Kundenrezessionen bei Amazon sagen, dass das Buch in Ordnung ist. Und ich möchte mich nun auch nicht wirklich hinstellen und urteilen ob das nun ein "gutes" oder ein "schlechtes" Buch ist. Autor des Buches ist Prof.Dr.-Ing. Hans Kreul, der auch bei der Algebra in den Quellen zu finden ist. Ich würde es gern wieder mit aufnehmen. -- qweet 20:22, 5. Jul. 2011 (CEST)

Ich bin nicht der erste, der den Text entfernt hat. Meinen Grund für die Entfernung habe ich in der Zusammenfassungszeile angegeben: Er passt kaum zum Thema.

Stelle den Text auf der Artikel-Disk.-Seite zur Diskussion. Begründe, warum er geradezu rein muss, und nicht eine Sammlung sachfremder Allgemeinplätze ist. (Danach kannst du ihn auch erstmal wieder in den Artikel selbst schreiben, ohne als Edit-Warrior dazustehen. Ich empfehle das auch ausdrücklich, da man leider oft lange auf Diskussions-Feedback warten muss. Vielleicht überzeugt dich ein dritter Revert durch eine dritte Person davon, dass der Text überhaupt nicht gut ist. Oder vielleicht wird jemand ermutigt, auf deinen Diskussionsbeitrag zu antworten.)

Gruß, --Daniel5Ko 20:44, 5. Jul. 2011 (CEST)

Ok, das ist doch ein Vorschlag. Gruß -- qweet 18:45, 6. Jul. 2011 (CEST)

Formeln

Danke für den Hinweis mit den Einstellungen, jetzt klappt es auch bei mir mit der durchgehenden Darstellung als mathematische Zeichen. --Wikilaser 13:35, 8. Jul. 2011 (CEST)

Seltsam ist, daß diese Einstellungen bei nur funktionieren, wenn ich als User angemeldet bin. Ohne Abmeldung bleibt das Durcheinander. Ich habe mal geschaut, aber nichts gefunden: Kann man das auch allgemein entsprechend einstellen? --Wikilaser 13:41, 8. Jul. 2011 (CEST)

Als unangemeldeter Benutzer hat man die Grundeinstellungen. Und die lauten in dem Fall halt: Wenn möglich, HTML. Da führt kein Weg dran vorbei. --Daniel5Ko 14:12, 8. Jul. 2011 (CEST)

Kellerautomat

Danke! Ich war immer zu faul, was über Konfigurationen zu schreiben. Ich habe noch ein, zwei Sachen nachgetragen. -- UKoch 18:40, 31. Jul. 2011 (CEST)

Okay, alles klar. Die $\gamma '\in \Gamma ^{*}$ hatte ich aber extra weggelassen, weil die Zeilen schon recht länglich waren, und diese Aussagen sich aus den $(z',\gamma ')\in \delta (...)$ ergeben... :) --Daniel5Ko 19:28, 31. Jul. 2011 (CEST)

'

Alter Charmeur. --Leif Czerny 00:11, 27. Sep. 2011 (CEST)

Charmeur? Ich? --Daniel5Ko 00:20, 27. Sep. 2011 (CEST)

Dein Hausaufgabenauftrag inklusive der Ermahnung, ja nichts kaputt zu machen haben mir das Gefühl gegeben, wieder sehr jung zu sein. Liebe Grüße --Leif Czerny 09:33, 27. Sep. 2011 (CEST)

Fixpunktsatz von Tarski und Knaster

Hallo und Danke für das Erstellen des genannten Artikels. Ich wollte mal anfragen, ob du noch einen weiteren Ausbau planst (zumindest in naher Zukunft)? Falls nein, so würde ich zumindest anregen, einen "Überarbeiten-Baustein" in den Artikel zu setzen, da dieser mMn nicht so wirklich viele allgemeinverständliche Aussagen (also Dinge für die Oma ;-)) enthält. Grüße, -- KMic 13:51, 30. Sep. 2011 (CEST)

Ja, natürlich habe ich noch vor, am Artikel zu arbeiten. Das sieht man ja u.a. an den TODO-Kommentaren ;) . Einen genauen Plan habe ich zwar noch nicht, aber ich denke, das wird in den nächsten paar Tagen schon.

Ich hab' ihn trotzdem schonmal in den ANR entlassen, da möglicherweise jemand ein paar gute Ideen hat, sich aber von einem Artikel im BNR fernhalten würde...

Gruß, --Daniel5Ko 14:59, 30. Sep. 2011 (CEST)

Wieder Kellerautomat

Hallo Daniel5Ko, Zahnradzacken und ich diskutieren auf Diskussion:Kellerautomat über eine Neuformulierung der Funktionsweise des PDA. Vielleicht hast Du ja Lust, Dich zu beteiligen? -- UKoch 15:48, 7. Nov. 2011 (CET)

Wenn mir etwas beitragenswertes in den Sinn kommt, werde ich meinen Senf dazugeben. Bisher habe ich keine Meinung oder nette Idee oder Einwände oder ähnliches. Gruß --Daniel5Ko 21:13, 7. Nov. 2011 (CET)

Diskrete Topologie

Hallo,

Ist der Artikel über die diskrete Topologie von Dir geschrieben?

Da es um die Definition(!) der diskreten Topologie geht, bin ich mit folgendem nicht einverstanden: Ich finde,dass man aus Deinem Text (wenn von Dir geschrieben) vermuten kann, was die diskrete Toplogie ist, aber die Formulierung der Definition der diskreten Topologie ist "einbisschen" kompliziert/verwirrend. Wenn man genauer sieht, dann ist sie sogar falsch. Du benutzt in der Definition im Prinzip zwei Sätze, wobei der zweite Satz mit "das heisst" beginnt ("das heisst" bedeutet eigentlich normalerweise eine äquivalente Umformulierung von dem Satz zuvor). Man kann das z.B so interpretieren (für einen , der sich wenig mit dem Thema auskennt und nach einer Definition im Internet sucht): Der erste Satz ist die vollständige Definition und der zweite Satz ist eine Erklärung (mit "das heisst") dieser Definition. Aber (!) der erste Satz ist keine Definition der diskreten Topologie. Die Definition von der Topologie und Deiner Definition der diskreten(!) Topologie unterscheiden sich nicht. Die diskrete Topologie zeichnet sich dadurch aus, dass alle Teilmengen von X in der Topologie enthalten sind. Da die diskrete Topologie eine Topologie ist , sind "automatisch" alle Mengen darin offen. Deshalb muss/soll man nicht explizit schreiben, dass alle Mengen in der diskreten Topologie offen sind!! Sonts wird es tautologisch. Wichtig ist, dass die diskrete Topologie die Potenzmenge von X ist . Das hast Du im ersten Satz nicht erwähnt. Du hast im nächsten Satz nur gesagt, was der erste Satz bedeutet ( mit der äquivalenten Umformulierung (mit "das heisst" am Anfang des Satzes)). Da aber der erste Satz nicht äquivalent zum zweiten Satz ist , soll man "das heisst" nicht verwenden, oder besser schon im ertsen Satz die Potenzmenge zu erwähnen (also: diskrete Topologie ist eine Topologie,wenn in ihr alle Teilmengen von X enthalten sind (oder noch kürzer : die diskrete Topologie ist eine Topologie , wenn sie der Potenzmenge von X gleich ist).Ich habe zuvor (in der "Versionsgeschichte" ) den Text verändert und nun würde ich diesen nochmal umändern ( umändern auf : die diskrete Topologie ist eine Topologie , wenn sie der Potenzmenge von X gleich ist).

Gruss Igor

Der Artikel ist nicht von mir; und von mir aus kann der "das heißt"-Satz auch weg. Er verwechselt Formulierungs-Akzidenz mit eigentlichem Inhalt.

Wichtig ist, dass die Topologie eines Raumes festlegt, welche Mengen offen sind (oder dazu äquivalente Information bereitstellt). Das kann nun durch Angabe der Menge der offenen Mengen geschehen, oder durch Angabe der Menge der abgeschlossenen Mengen, oder durch entsprechende Prädikate, oder durch einen Hüllenoperator, oder, oder, oder. Ich stehe auf dem Standpunkt, eine Topologie ist nicht eine Menge von offenen Mengen, genauso wenig wie eine Funktion eine Menge von Paaren ist.

Gruß, --Daniel5Ko 22:18, 9. Jan. 2012 (CET)

Hallo,

Eine Topologie erfüllt definitionsgemäß drei Axiome. Ausserdem gilt , dass jede Menge in der Topologie offen ist!Diskrete Topologie ist aber nicht bloß nur eine Topologie, sondern sie besitzt eine Eigenschaft extra und zwar: die diskrete Topologie (als Menge betrachtet)bzgl X ist gleich der Potenmenge von X.

Gruss Igor

Ich weiß. Es besteht aber kein Grund dafür, zur Beschreibung, was die diskrete Topologie auf der Punktmenge X ist, anstelle von "jede Teilmenge von X ist offen" zu sagen: "Die Menge aller offenen Teilmengen von X ist die Potenzmenge von X". Zumal letzteres eben nur eine mögliche Kodierung ist. Zwar steht im Artikel nur "jede Menge ist offen", aber es ist ja eigentlich einigermaßen klar, welche Mengen gemeint sind, denn das ist das Wesen einer Topologie über X: Für jede Teilmenge von X wollen wir wissen, ob sie offen ist. (Dieses Prädikat muss nebenbei noch ein paar Axiome erfüllen). Unglücklich ist vielleicht auch, dass im Artikel "eine Topologie, in der alle Mengen offen sind" steht, was den Leser in Richtung der unwesentlichen Mengenformulierung leitet - und über diese eben auch als eine Falschaussage interpretiert werden kann. Wie wär's mit "eine Topologie, unter der alle Teilmengen von X offen sind"? Der darauffolgende Satz wäre dann erst die selbe Charakterisierung mit der oft verwendeten, aber eben nicht wesentlichen, Mengenkodierung des Offenheitsprädikats.

Gruß, --Daniel5Ko 16:02, 11. Jan. 2012 (CET)

Wenn ich meinen Senf dazu geben darf: Wie wär's mit "eine Topologie, bei der jede Teilemnge von X offen ist"? --Digamma 22:37, 11. Jan. 2012 (CET)

Klar darfst du. :) Hmm, also "bei" kommt mir sehr falsch vor, ohne das besonders gut begründen zu können. Das hört sich so nach am Rande danebenstehen an. Mein "unter" finde ich zwar auch nicht soo berauschend, u.a. passt das gut mit "Topologie auf" zusammen. Vielleicht findet man auch eine Formulierung ganz ohne Präposition an dieser Stelle, oder mit einem "in", das sich nicht auf die Topologie bezieht. Etwa "Ist $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, in dem jede Teilmenge von $X$ offen ist, so ist ${\mathcal {T}}$ die diskrete Topologie auf $X$." --Daniel5Ko 00:29, 12. Jan. 2012 (CET)

Hallo,

Ich denke, dass man den Begriff "offen" gar nicht erwähnen muss. Der Begriff "offen " soll in der Definition von Topologie vorkommen! Diesbezüglich kann ich nochmal wiederholen :

Dass alle Mengen in einer Topologie offen(!) sein müßen, ist naturgemäß so (im Analysis 2 Buch von Otto Forster steht folgendes: Eine Menge in einem topologischen Raum heißt offen, wenn sie in der Topologie enthalten ist.)

Diskrete Topologie ist eine Topologie(!), die der Potenzmenge (von X) gleich ist. Mit diesem Satz ist alles gesagt, was man sagen muss. Alles andere ist überflüßig für eine offizielle Definition von der diskreten Topologie. Etwas längere Version (die ich auch am Anfang gemeint habe ) ist: Diskrete Topologie ist eine Topologie(!), in der alle Teilmengen von X enthalten sind. Hier ist nur Potenzmenge als die Menge aller Teilmengen von X ausdrücklich erwähnt.

Gruss Igor

Ich weiß, was du meintest. Das hast du ja auch in den Artikel geschrieben. Mir ist "alle offen" wichtig, denn darum geht's. Dass eine Topologie eine Menge sei, darum geht's überhaupt nicht. Das geht in Richtung überflüssiges, nicht mit Gewinn behaftetes und, mit ein wenig Pech, irreführendes "Implementationsdetail". Gruß --Daniel5Ko 00:29, 12. Jan. 2012 (CET)

Hallo,

Topologie ist eine Menge ! Also: "in" der Topologie hört sich schon logisch ( bzgl. Mengenbegriff sehr natürlich/ Definitions nah) an.

Nach wie vor bin ich dafür, dass man Reihenfolge bei Definitionen (allgemein gesehen) nicht verwechselt. Damit meine ich folgendes: Wenn zuerst der Begriff Topologie definiert werden soll und dann der Begriff der diskreten Topologie, dann soll es auch so gemacht werden. Wenn man also zuerst "Topologie" definiert, dann ist das sehr sinnvoll dort zu erwähnen, dass die Elemente einer Topologie immer offen sind (das ist die "Essenz" der Topologie, dass alle Elemente davon offen sind). Eigentlich habe ich in wikipedia unter dem Begriff "Topologie" nichts explizites über offene Mengen gesehen, sondern über offene Umgebungen; wobei diese wirklich in einer relativ komplizierten Form (zumindest für mich) erwähnt werden. Man kann "Topologie" viel einfacher definieren (siehe z.B Analysis 2 Forster). Und wenn man diese einfache Definition hat, dann kann man in die Tiefe gehen und einige Bemerkungen, die interessant sein können, weiter unten anfügen.

Ich wiederhole letztes Mal(nur zur Sicherheit, dass es Euch wirklich klar ist, was ich meine. Ich habe das Gefühl, dass wir verschiedene Vorstellungen von der Topologie bzw. diskrete Topologie haben) :

DEFINITION Eine diskrete Topologie auf X ist eine Topologie(!!) (in der alle Mengen offen sind !! ), die der Potenzmenge von X gleich ist.

(was in Klammern steht gehört natürlich nicht zur Definizion selbs, sondern meine Bemerkung/Erklärung)

Ansonsten: Wenn Dir "offene Mengen" wichtig ist und Du das wirklich so meinst, dann mache , wie Du es willst. (kein Thema, ich will nichts aufzwingen, obwohl das vielleicht so aussehen mag. Ich wiederhole mich, weil ich nach wie vor mit der Definition nicht 100% einverstanden bin. Wie sie jetzt steht, ist nicht falsch, aber auch nicht ganz clever formuliert. Ich bin mir ziemlich sicher, dass man das besser machen kann. Ich habe ja meinen Vorschlag (und dazu Begründung ) schon abgegeben).

/(nebenbei bemerkt: ich habe nicht gesagt, dass es (bzgl Definition) wichtig ist, zu erwähnen,dass Topologie eine Menge ist, sondern es kann hilfreich sein, einfach bei der Formulierung guter Definition für den Definitionsschreiber daran sich zu erinnern, dass Topologie eine Menge ist. Damit kann man vielleicht bequemer Definitionsgehalt formulieren.)/

...Nur, meiner Meinung nach , ist dann wikipedia kein wirklich ausgezeichneter Platz , um Definitionen nachzuschauen. Sie verwirrt durch unordentliche Reihenfolge und komplizierte Formulierungen. Es ist besser richtig und einfacher, als richtig und kompliziert.

Aber , wie gesagt, es kann sein ,dass wir einfach verschiedene Vorstellungen haben, was in wikipedia stehen soll.

Meine Vorstellung ist: Es soll ein systematischer, Ordnungs einhaltender, unkomplizierter Aufbau von Definitionen darbieten.

Gruss Igor

Wenn du eine andere Meinung als meine hören willst, warum sprichst du dann nur mich an? Benutze die Diskussionsseite des Artikels. Im übrigen erhebe ich natürlich auch keinen Besitzanspruch o.ä. auf den Artikel. Mit meinem Revert habe ich ledigich verkündet, dass ich nicht völlig damit einverstanden war, dass die Charakterisierung der diskreten Topologie auf X als "alle Teilmengen von X gelten als offen" (okay, das stand nicht so da, war aber so gemeint), die man durchaus auch als Definition nehmen kann, ohne Notwendigkeit in Mengensprech kodiert worden ist.

Lass' dich bitte nicht durch mich davon abhalten, den Artikel zu ändern. Das gibt dann vielleicht auch Feedback von mehr Leuten.

Gruß, --Daniel5Ko 02:05, 14. Jan. 2012 (CET)

Hallo, ich habe auch dort die Diskussion gestartet. Jedoch, es gibt noch keine Antwort darauf.Ich weiß nicht, ob Du die Diskussion(einen Beitrag von mir, den ich auch Dir geschrieben habe) dort schon gesehen hast. Ansonsten kann ich nur sagen, dass wenn sich dort jemand meldet, ist gut; wenn nicht, dann ist auch nicht schlimm. Ich kann es überleben.;)Ich habe ja mit einwenig Mühe(durch den Artikel in wikipedia hervorrufen) endlich verstanden, was die diskrete Topologie ist. Andere Definitionen werden mich hoffentlich(!) nicht verwirren.Dann sagen wir Prost! auf Wikipedia und belassen erstmal die Diskussion hier.(Wenn Du möchtest,kannst in der "Diskussion" über "diskrete Topologie" weiterschreiben) Wenn jemand möchte, werde ich die Diskussion dort mit jemandem führen.

Gruss Igor

Satz über monotone Klassen

Hallo, ich weiß leider nicht wer Recht hat - du mit der Rückänderung oder der Vorgänger mit der Ergänzung einer Bedingung. Ich weiß nur, dass deine Begründung für das Rückgängigmachen nicht schlüssig ist. Beispielsweise ist ohne die Forderung, dass $f$ beschränkt ist, der Raum aller beschränkten Funktionen auf ]0,1] kein monotoner Vektorraum (betrachte $f_{n}(x)={\tfrac {n}{nx+1}}$, deren punktweiser Limes $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ nicht beschränkt ist); mit dieser einschränkenden Forderung dagegen ist es einer (wenn der punktweise Limes beschränkt ist, dann ist er beschränkt). Hilfreich zur Entscheidung wäre Literatur - hab ich hierzu jetzt leider nicht.--Hagman 23:27, 27. Jan. 2012 (CET)

Ich ging einfach vom Start der Def. aus: "Eine Menge ${\mathcal {H}}$ von beschränkten [...]". Wenn also $f\in {\mathcal {H}}$ gefordert wird, ist dieses dann auch beschränkt. Aber nun, da ich das hier hingeschrieben habe, merke ich auch selber, dass das für sich ja gar nicht reicht, um die eingängliche Forderung der Beschränktheit von f weglassen zu können. Der Grund für meinen Revert ist also nicht gegeben. Revert revertiert. --Daniel5Ko 00:08, 28. Jan. 2012 (CET)

Nachtrag: Die angegebene Literatur Protter "Stochastic integrals and differential equations" ist auf Google Books einsehbar und fordert in ihrer Def. von monotonen Vektorräumen die Beschränktheit von f. Ergo: Änderung war wohl gut. --Daniel5Ko 00:20, 28. Jan. 2012 (CET)

Anmerkung in Diskussion: Würfelverdoppelung

Hallo Daniel5Ko, ich bin leider enttäuscht von deinem "Kommentar" in Diskussion:Würfelverdoppelung zu "Angenäherte zeichnerische Lösung mittels Bleistift, Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung" . Meist machst du m. E. fachlich sehr gute und vorurteilsfreie Anmerkungen. Ersetze bitte die Zahlenkolonne durch einen, deinem Können angemessenen, Kommentar. Danke und Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 23:28, 8. Mär. 2012 (CET)

Hallo. Also ich weiß nicht genau, was man da wirklich antworten soll. Der Punkt ist ja, dass man ${\sqrt[{3}]{2}}$ beliebig genau annähern kann. Die "Zahlenkolonne" ist eine beste Näherung (in dem Sinn, dass jede rationale Zahl, die näher am Ziel liegt, einen größeren Nenner hat), und zwar jene, die die mit dem kleinsten Nenner ist, der mit der (dezimalen) Ziffernfolge "10000" beginnt. (Jedenfalls, wenn ich mich nicht vertan hab'...) --Daniel5Ko (Diskussion) 23:38, 8. Mär. 2012 (CET)

Hallo, ob dein Bruch die beste Näherung von ${\sqrt[{3}]{2}}$ ist, habe ich nicht überprüft. Du weißt sicher auch, in einer Konstruktion ist dieser Bruch nicht darstellbar. Mein Ziel war, in die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine möglichst sehr große konstruierbare Annäherung von ${\sqrt[{3}]{2}}$ einzubringen. Überprüfe doch dahingehend die Konstruktion, schreibe deine Meinung, aber lösche bitte die "beste Näherung" aus dem betreffenden Abschnitt, sie trifft nicht das Thema. Danke, Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 01:48, 9. Mär. 2012 (CET)

Du gehst mit deiner Konstruktion einfach von einer bestimmten rationalen Näherung aus. Von dort aus ist es eigentlich im Prinzip nur eine Streckenverlängerung per Strahlensatz. Du hast nun ein paar ad-hoc-Tricks dabei, die es ermöglichen, die Konstruktion mit weniger benötigtem Platz auszuführen. Das ist aber wegen der ad-hoc-Natur nicht besonders interessant. Hättest du einen allgemeingültigen Algorithmus angegeben, der für jede rationale Näherung eine Konstruktion liefert, sähe es vielleicht anders aus. Aber das gibt's sicher schon (jetzt nicht für annähernde Würfelverdoppelung, sondern eben allgemein für platzsparende rationale Streckenskalierung). Beste Näherungen findet man extrem leicht z.B. anhand des Stern-Brocot-Baumes oder mit Kettenbrüchen o.ä.. In Mikrosekunden findet man damit etwa ${\frac {96389}{76504}}$. Die Näherung zu ermitteln, die ich angab, dauerte auf dem Rechner, an dem ich saß, ca. 5 Sekunden. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:12, 9. Mär. 2012 (CET)

Danke für deine sachliche Kritik und hilfreichen Infos, ich werde die Hinweise bald ausprobieren! Den Bruch ${\frac {96389}{76504}}$ und den Teiler von 76.504 habe ich mittels Excel ermittelt. Nun, da ich noch keine theoretisch genauere Konstruktion bezüglich Würfelverdoppelung im Internet gefunden habe, wollte ich einfach mal meine zur Diskussion stellen. Mir ging es weniger darum ob das Werkzeug Strahlensatz in der angewandten Form bekannt oder allgemein anwendbar ist, sondern, wie gesagt, um das Ziel eine theoretisch sehr genaue Annäherungslösung des Problems bzw. ähnlicher Probleme (siehe auch [[5]] und [[6]]) zu erreichen. Vielleicht kannst du mir noch meine an dich gerichtete Bitte ("Zahlenkolonne") erfüllen. Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 11:45, 9. Mär. 2012 (CET)

Ich verstehe immer noch nicht, was "theoretisch sehr genau" heißen soll. Mit einem besseren Näherungsbruch wird's genauer... Darauf weist die Zahlenkolonne hin, und lustig für nachfolgende Leser ist sie sicher auch, denke ich mal. Deshalb kann sie ruhig stehenbleiben. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:18, 9. Mär. 2012 (CET)

Spät, aber doch noch umgesetzt... Kannst du darin einen allgemeingültigen Algorithmus erkennen? http://www.geogebratube.org/student/m46837 Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 20:00, 29. Dez. 2013 (CET)

Hmm, aus dem, was ich da sehe, kann ich keinen Algorithmus ableiten.

Zum einen ist nicht genau genug beschrieben, was er leisten soll (etwa: zu einer gegebenen beliebigen positiven rationalen (oder doch nur mit Zehnerpotenzen im Nenner? größer 1? kleiner 2?) Zahl q soll eine Strecke der länge q konstruiert werden, wobei eine mit Länge 1 gegeben ist; das ganze auf möglichst kleinem Raum, sonst wär's ja trivial; was "auf möglichst kleinem Raum" bedeutet, müsste aber auch noch spezifiziert werden).

Zum anderen sehe ich auch nicht, wie er das dann macht. Optimal wäre so etwas wie ein Stück Pseudocode für ein Programm, das aus einer rationalen Zahl eine Folge von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionsschritten generiert. Hätte man das, wüsste man sehr genau, worüber man eigentlich spricht, und man kann dem Ziel nachgehen, zu beweisen, dass der Algorithmus funktioniert oder halt nicht (relativ zur bisher nicht sehr genauen Spezifikation).

Zu guter letzt es eigentlich völlig irrelevant, dass man damit näherungsweise eine Würfelverdoppelung vornehmen kann. Der größte Teil von dem, was man in dem Sheet sieht ist daher hauptsächlich Platzverschwendung.

Gruß, Daniel. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:07, 30. Dez. 2013 (CET)

Danke für deine konstruktiven Anmerkungen. Pardon, du hast recht, aus dem angegebenen Beispiel ist die angewandte Methodik mit den sich wiederholenden Schritten nicht erkennbar.

Ich hoffe mit den folgenden Beschreibungen / Hinweisen wird es verständlicher:

- Problem-/Aufgabenstellung: Stelle eine Zahl (Vorzeichen + oder - ) konstruktiv mittels Zirkel und Lineal auf einem Zahlenstrahl dar.

- Für Zahl steht: Unechter Bruch, z. B. Ganze Zahl mit 1 als Nenner z. B. 355/1 (die „konstruierte“ 1 wird benützt um einen Parallele einzeichnen zu können, die ergebnisbildend den Zahlenstrahl schneidet) oder 355/113 etc.; echter Bruch und Dezimalzahl (siehe Beispiele)

- Konstruktionsschema: siehe geogebratube.org/material/show/id/51266

- Methodik bzw. die sich wiederholenden Schritte an einem Beispiel: siehe geogebratube.org/student/m51274

- Ein Beispiel mit ähnlicher Methodik und spezieller Beschreibung zeigt die Seite udo-brechtel.de

- zu "auf möglichst kleinem Raum": „möglichst“ bezieht sich auf noch optisch gut erkennbaren Abstand zweier Punkte (konstruierte Zahlen, Zirkeleinsatz).

Bleibt die Frage: Kannst du darin einen allgemeingültigen Algorithmus erkennen? Wenn nicht, was würde dazu noch fehlen? Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 20:15, 30. Dez. 2013 (CET)

Nein, ich erkenne keinen allgemeinen Algorithmus. Was fehlt, merkst du am besten, indem du einfach versuchst, ein entsprechendes Programm zu schreiben (nicht mehrere für verschiedene rationale Zahlen, sondern eins für alle).

Das PDF-Dokument http://www.udo-brechtel.de/mathe/quadratur/355_113_beschreibung.pdf geht ja schon ein Stück in die richtige Richtung, aber ist insgesamt viel zu vage und erfordert einen intelligenten Ausführungsagenten. Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 23:54, 30. Dez. 2013 (CET)

Nun, das mit "... indem du einfach versuchst, ein entsprechendes Programm zu schreiben ... " wird wohl nichts mehr. Mein letztes Programm schrieb ich für eine Min-Max-Rechnung in FOCAL-69 (!). Daniel, jetzt etwas viel Wichtigeres: Prosit Neujahr!

Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 14:57, 1. Jan. 2014 (CET)

Prosit Neujahr! :) --Daniel5Ko (Diskussion) 23:07, 1. Jan. 2014 (CET)

Vektorraum, bzgl. [7]

Hallo,

Es stimmt, dass diese Einschränkung nicht ganz richtig war, im Polynomring etwa die Faktoren vor den xⁿ zu betrachten, ist nicht ganz unüblich. Aber: Nimm einen typischen Funktionenraum, wer würde da auf die Idee kommen, Funktionen als Linearkombinationen von Basiselementen und lineare Funktionale als dünn besetzte Matrizen anzusehen? Vllt. kommt das sogar in einzelnen Überlegungen vor, aber konkret rechnen wird man damit bestimmt nicht, weil sich eine solche Basis auch gar nicht ohne weiteres angeben lässt. Oder eine Basis von ℝ als ℚ-Vektorraum, die wird einem auch nur in theoretischen Erwägungen begegnen. Meinung? Formulierungsvorschlag? Grüße --Chricho ¹ ² 09:15, 18. Apr. 2012 (CEST)

Hallo.

Der Punkt ist eben, dass "Basis für V angegeben / gewählt" nicht das selbe ist, wie "V endlichdimensional". Hätte ich einen guten, kurzen und verständlichen Ersatz gekannt, so hätte ich den reingeschrieben, statt einfach nur "endlichdimensional" zu entfernen.

Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 11:04, 18. Apr. 2012 (CEST)

Körper (Algebra)

Hallo Daniel,

warum hast du diese Änderung gesichtet? Viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 21:23, 21. Apr. 2012 (CEST)

Oops, keine Ahnung. Mein Hirn war wohl nicht richtig in Betrieb. Danke für die Richtigstellung. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:47, 21. Apr. 2012 (CEST)

Trivialerweise erfüllbar

Hallo, mal abgesehen davon, dass dein Revert genau richtig war: Wieso sollte es denn sonst trivialerweise möglich sein? Falls P=NP wäre das doch sogar äquivalent. --Chricho ¹ ² 23:47, 26. Mai 2012 (CEST)

Mir ist ein paar Minuten später auch aufgefallen, dass ich da Blödsinn schrieb. Leider kann man Änderungskommentare nicht ändern! :D Die Idee, die in mir rumgeisterte, und die ich nicht zuende gedacht habe, war: Eingabe lesen, dabei nichtdeterministisch den Pfad wählen, der am Ende das richtige Ergebnis liefert → O(n). Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 00:17, 27. Mai 2012 (CEST)

Du wurdest auf der Seite Vandalismusmeldung gemeldet (12:45, 29. Mai 2012 (CEST))

Hallo Daniel5Ko, Du wurdest auf der o. g. Seite gemeldet. Weitere Details kannst du dem dortigen Abschnitt entnehmen. Wenn die Meldung erledigt ist, wird sie voraussichtlich hier archiviert werden.
Wenn du zukünftig nicht mehr von diesem Bot informiert werden möchtest, trage dich hier ein. – SpBot 12:45, 29. Mai 2012 (CEST)

Operationsverstärker

Aufaddieren ist eine Stilblüte, die m.E. in einem seriösen Artikel vermieden werden soll. Addieren heißt zusammenzählen. Und was soll dann 'aufaddieren'? Gibt es auch 'abaddieren'? Dann bitte 'kumulieren' benutzen. Gruß --Gruenschuh (Diskussion) 20:55, 21. Jun. 2012 (CEST)

Unsinn. "Addieren" hat je nach Kontext viel mehr Bedeutungen als "aufaddieren". Dies kann dazu führen, dass eine Passage missverständlich oder unverständlich wird, wenn man "addieren" statt "aufaddieren" schreibt. Wenn dir "aufaddieren" nicht gefällt, ersetze es durch etwas adäquates. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:12, 21. Jun. 2012 (CEST)

Worin besteht der Unterschied zwischen Aufaddieren und Zusammenzählen (= Addieren)?
Könnte vielleicht 'Kumulieren' gemeint sein?
Ich bin Sprachpurist und halte 'aufaddieren', 'zusammenaddieren', 'auseinanderdividieren' u.ä. für unzulässige Vergewaltigungen der Sprache. Ich weiß, über Stil lässt sich trefflich streiten, aber Wikipedia sollte eigentlich eine möglichst seriöse Enzyklopädie sein. Ich kann jedoch nicht in dem einem Artikel lesen, dass Pleonasmen vermieden werden sollen und andererseits darüber hinwegsehen.
'Aufaddieren' heißt Aufzusammenzählen. Klingt irgendwie lustig. [Siehe auch hier.] Und demnächst gibt es die Rechenarten Aufaddition, Wegsubtraktion, Zusammenmultiplikation und Auseinanderdivision.
Aber bitte, wenn es in den Artikel hineingehört und der mathematisch-korrekten Logik dient, bitte sehr. Mir wurde in meinem Studium etwas anderes beigebracht. Außerdem möchte ich einem erfahrenen Wikipedianer nicht widersprechen wollen und gerne die Fach-Autoren weiterhin 'aufzusammenzählen' lassen.
Auf jeden Fall produzieren solche Stilfehler hämische Lacher und erhöhen nicht gerade die Reputation von Wikipedia, es sei denn, dieser Artikel gehört zur Belletristik und der Pleonasmus ist als Stilmittel gewollt..
Ich für meinen Teil freue mich jedenfalls bei meinen erstellten Artikeln immer über freundliche Korrekturen, falls ich aus Dummheit oder Versehen Fehler gemacht habe. Gruß --Gruenschuh (Diskussion) 23:23, 21. Jun. 2012 (CEST)

Du darfst gerne Sprachpurist sein, wenn du dadurch Artikel nicht schlechter machst, als sie schon sind. Hier Nachhilfe:

• Wird von "Aufaddieren" gesprochen, kann man sich ziemlich sicher sein, es mit einer Operation zu tun zu haben, die beliebig viele Operanden gleichen Typs entgegennimmt. Wenn die Operanden als Folge vorliegen, kann das Ergebnis die Gesamtsumme sein, oder die Folge der Partialsummen.
• Mit "Addieren" kann daneben eine von ggf. mehreren möglichen Operationen gemeint sein, die exakt zwei Operanden verarbeitet, die darüberhinaus vielleicht nicht mal gleichen Typs sind (z.B. in der Geometrie so etwas wie (Vektor, Vektor) → Vektor, und (Vektor, Punkt) → Punkt). Auch möglich ist, dass zwei Folgen addiert werden und im Ergebnis eine Folge entsteht.

Beim OPV-Artikel bedeutet das: "Aufaddieren" kann eigentlich fast nur Kumulieren/Integrieren heißen, "Addieren" hingegen kann (wenn das überhaupt jemand versteht) auch als eine zweistellige Operation interpretiert werden, wobei der Autor aber scheinbar vergessen hat, den zweiten Operanden anzugeben (der erste ist die Eingangsspannung). --Daniel5Ko (Diskussion) 00:08, 22. Jun. 2012 (CEST)

Stack-Address

Ich bitte um die Rückgeängigmachung dieses Unsinns. Es handelt sich nicht um eine "Adresse" die auf "Stack" eingeschränkt ist, sondern um einen eigenständigen Fachbegriff "Stack-Address" oder auch "Stackaddress". Das Vermischen mit deutschen falschen Freunden bringt hier keine Verbesserung. Falls irgendwann aufgrund der Rechtschreibregeln §37 (E4) ein Begriff "Stackadresse" nachweisbar wäre, dann kann dieser auch verwendet werden. Ich kann so einen Begriff aber nirgends finden. Ich bitte dich das Revert rückgängig zu machen, oder Nachweise für diese Denglischkreation in ernstzunehmender Literatur zu liefern.--Boshomi (Diskussion) 12:56, 9. Jul. 2012 (CEST)

Doch, es handelt sich um eine "Adresse", die auf "Stack" eingeschränkt ist. Dafür kann ich doch nichts. "Adresse" ist auch kein falscher Freund. Früher war es auch im Informatik-Bereich üblich, Worte einzudeutschen. Von dort kommt das Wort Adresse. "Stapel" für "Stack" wurde auch mal verwendet, oder zumindest propagiert. Heute ist das jedenfalls wieder weitgehen außer Mode. Dass "Adresse" genauso wieder aus der Mode gekommen sein soll, wäre mir neu.

Verwendungsbeispiele lassen sich zu Hauf finden. --Daniel5Ko (Diskussion) 13:19, 9. Jul. 2012 (CEST)

Mag sein, das man füher irgendwelche Varianten von Stapeladressen in der Literatur verwendet hat. Bei mir liegt vor allem englische Literatur, und in den wenigen deutschen Büchern wird vermutlich um Verwechlsungen zu vermeiden der direkte Import verwendet wie von mir verwendet. Ich denke, dass die Denglisch-Eindeutschung für diesen Begriff eine recht üble Idee war und ist. So etwas ist eine der typischen Ursachen für Programmierfehler.--Boshomi (Diskussion) 15:10, 9. Jul. 2012 (CEST)

Es besteht kein Grund, "Adresse" unzuetablieren. Wenn bei dir nur englische Literatur liegt, wirst du da natürlich keine "Stapeladressen" finden.

Außerdem bitte nicht technical manuals mit Fachbüchern verwechseln. Schonmal "Drei-Adress-Code" gesehen? --Daniel5Ko (Diskussion) 15:45, 9. Jul. 2012 (CEST)

So etwas wäre für mich ein plausibler Grund ein Buch *nicht* zu kaufen. Ich würde mich nach einem Buch umsehen, in dem ich "three address code" zu lesen bekomme.--Boshomi (Diskussion) 16:04, 9. Jul. 2012 (CEST)

Wenn das Buch eine Übersetzung aus dem Englischen ist, dann spricht gerade die Verwendung von üblichen deutschen Vokabeln für die Fachkompetenz des Übersetzers. Nur Hilfsverben und Präpositionen zu übersetzen ist trivial. --Daniel5Ko (Diskussion) 16:26, 9. Jul. 2012 (CEST)

Ein wirklich guter Übersetzer übersetzt nicht die Wörter und Sätze des Autors, sondern formuliert den Gedanken in der eigenen Sprachen, den der Autor zu Papier brachte. Guten Übersetzungen ist die Herkunftssprache nicht mehr anzuerkennen, weder im Satzbau noch im Vokabular. Dabei besteht gar nicht die Notwendigkeit, jedes Wort zu übersetzen, wenn es dafür keinen besseren Ausdruck in der Zielsprache gibt, und die Leser den Begriff einwandfrei verstehen. Die Unterschiede zwischen dem Deutschen und Englischen sind oft größer als man gemeinhin annimmt. Im Deutschen wird massiv von Passivsätzen Gebrauch gemacht, häufig in stark verschachtelten Variationen. Im Englischen werden hingegen kurze S-P-O Sätze bevorzugt, wobei gerne Subjekte erfunden werden, wo eigentlich gar keine sind.--Boshomi (Diskussion) 20:25, 9. Jul. 2012 (CEST)

Ach was. Wie das jedoch dazu führen soll, dass "address" eine bessere Übersetzung von "address" ist als "Adresse", vermag ich nicht zu erkennen. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:45, 9. Jul. 2012 (CEST)

Bollox

Hallo Daniel5Ko, ich lerne ja gerne dazu. Was genau ist denn an dem Absatz, den du in Mathematisches Objekt gelöscht hast, „Bollox“? Ich denke, der Absatz spricht wichtige Punkte an. Selbst wenn irgendwas nicht ganz korrekt ist, kann man ihn bestimmt verbessern. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:04, 29. Jul. 2012 (CEST)

Hallo. Aus meiner Sicht hätte eine vernünftige Version eines Abschnitts mit den genannten Buzzwords einen ganz anderen Inhalt. Beispielsweise spielen philosophische Wurzeln gar keine Rolle in moderner intuitionistischer und konstruktiver Mathematik. Der letzte Satz, der die größere Wichtigkeit der Beziehungen zwischen Dingen gegenüber den Dingen selbst ist zwar schön und gut, allerdings wird nicht klar, was er mit dem davor gesagten zu tun hat.

Ich glaub', man sollte das Thema jemandem überlassen, der sich auch damit befasst hat.

Als erste Maßnahme, die verhindern soll, dass sich jemand mit Ahnung, der zufällig vorbeikommt, mit Grausen gleich wieder abwendet, entschloss ich mich, den Abschnitt zu löschen. Gruß, --Daniel5Ko (Diskussion) 19:34, 29. Jul. 2012 (CEST)

Natürlich soll sich niemand mit Grausen abwenden, aber die Erfahrung zeigt, dass Verbesserungen und Ergänzungen vor allem dann stattfinden, wenn schon ein gewisser Inhalt (der natürlich nicht falsch sein sollte) vorhanden ist. Lass uns gerade mal kurz den Text durchgehen, vielleicht finden wir ja eine akzeptable Lösung. Der erste Satz ist meiner Meinung nach unkritisch und hat auch Bezug zum Lemma. Auf den zweiten Satz mit der Ontologie kann ich gut verzichten, den habe ich ohnehin nur aus Konstruktive Mathematik übernommen. Der dritte Satz ist an sich ein Faktum und letztendlich der Grund, warum der Konstruktivismus heute nur noch eine Nebenrolle spielt. Der vorletzte Satz ist dann die Überleitung zum letzten Satz, den du offenbar in Ordnung und wichtig findest. Die Klammer zum Vorangegangenen wird letztendlich in der Einleitung ja auch schon angedeutet. Wäre es für dich ok, wenn man als zweite Maßnahme einfach den zweiten Satz rausstreicht? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:20, 29. Jul. 2012 (CEST)

Oh, nur den zweiten Satz zu streichen ist eigenartigerweise auch eine Möglichkeit, die den Gesamttext mE. einigermaßen stimmig macht. Hab' ich nicht gesehen. ;)

Das Ende des Intuitionismus (als für Mathematik relevantes philosophisches Ding) sehe ich aber nicht in den 1920ern, sondern eher in seiner späteren Formalisierung durch Heyting.

Aber wie gesagt, da sollte man besser jemanden fragen, der sich wirklich auskennt, also einen Mathematikphilosophie-Historiker oder so. ^^ --Daniel5Ko (Diskussion) 21:55, 29. Jul. 2012 (CEST)

Einen Mathematikphilosophie-Historiker habe ich jetzt leider nicht zur Hand, ich werde mich aber selbst noch etwas schlau machen. Ich habe nun den Absatz bis auf den zweiten Satz wiederhergestellt und die 1920er um die 1930er Jahre ergänzt, damit Heyting sicher auch noch mit drin ist. Die ontologisch-philosophischen Fragestellungen sind natürlich in diesem Kontext auch wichtig, da muss aber echt ein Experte ran (dafür steht die Ontologie jetzt wieder in Siehe auch). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:15, 30. Jul. 2012 (CEST)

Okay. Alles klar. Daniel5Ko (Diskussion) 10:25, 30. Jul. 2012 (CEST)

Bollox

Mir ist gerade dieses Wort das erste Mal begegnet. Urban Dictionary hilft weiter – zumindest weiter als dieses Gesellschaftsspiel. Aber zu welchen Gelegenheiten benutzt man es im Deutschen? Wird dabei schlicht die Vulgarität bewusst dahinter verschleiert, dass das Wort dem deutschsprachigen Wikipäden kaum bekannt ist, oder hat sich im Deutschen eine nicht-vulgäre Verwendungsweise etabliert? --Chricho ¹ ² ³ 23:10, 29. Jul. 2012 (CEST)

Für einen Augenblick dachte ich, es hätte tatsächlich schon jemand anders dasselbe gefragt, aber die Diskussion hierüber zielt ja weniger aufs Sprachliche ab. Der Vollständigkeit halber. --Chricho ¹ ² ³ 23:12, 29. Jul. 2012 (CEST)

Ich glaub' nicht, dass es überhaupt im Deutschen benutzt wird. Ich war nur zu faul, für meinen Gedanken (wenn man das denn einen "Gedanken" nennen will!) eine passende deutsche Vokabel auszusuchen. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:05, 30. Jul. 2012 (CEST)

Danke, ach schade, so profan. --Chricho ¹ ² ³ 17:35, 31. Jul. 2012 (CEST)

Loop unrolling

Hoppla, da war ich wohl blind. Danke & Gruß -- Plankton314 (Diskussion) 17:56, 13. Aug. 2012 (CEST)

Kein Problem. :) --Daniel5Ko (Diskussion) 18:02, 13. Aug. 2012 (CEST)

BTW, hälst du das für anschaulicher?

for (int i=0; i<4; ++i) {
    dest[2*i]   = src[2*i];
    dest[2*i+1] = src[2*i+1];
}

Dann wärs wieder so wie in meinem Kopf :) -- Plankton314 (Diskussion) 18:08, 13. Aug. 2012 (CEST)

Das ist auch meiner Ansicht nach anschaulicher, ja. Außerdem ist es auch geschwindigkeitsmäßig vermutlich sinnvoller (kommt natürlich extrem auf den Compiler und den Prozessor an), da keine unnötige Pipeline-aufhaltende Datenabhängigkeit eingeführt wird (das ++i mitten in der Schleife). --Daniel5Ko (Diskussion) 18:17, 13. Aug. 2012 (CEST)

Mmmhh, Datenabhängigkeit... ja, da war was. Okay, dann ist das wohl das bessere Beispiel. -- Plankton314 (Diskussion) 18:22, 13. Aug. 2012 (CEST)

Mathematik Chat

Hallo Daniel,

es ist die Idee aufgekommen, dass die Teilnehmer des Portals Mathematik wieder einmal einen Chat abhalten, bei dem etwaige Probleme live besprochen werden könnten. Der Termin ist nächster Donnerstag, 13. September 2012, um 20:00. Wär schön, wenn du mitmachst. Melden kannst du dich hier. Viele Grüße --Chricho ¹ ² ³ 22:01, 9. Sep. 2012 (CEST)

Danke für den Hinweis. Werde wahrscheinlich da sein. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:00, 9. Sep. 2012 (CEST)

Bewertungsfunktion (Formale Sprachen)

Hi Daniel, magst Du mal hierhin gucken? Ich habe hier etwas dazu gefragt und Benutzer Diskussion:SirJective kontaktiert, der aber anscheinend inaktiv ist. -- UKoch (Diskussion) 16:51, 7. Feb. 2013 (CET)

Antwort dort. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:10, 7. Feb. 2013 (CET)

Dein Revert in Turingmaschine

Wenn du Humor hast findest du hier was zu lachen. Und damit du nicht stängig aufgefordert wirst über den selben Witz zu lachen solltest du dir den ersten Satz dieses Abschnitts durchlesen. Einen Satz zu lesen ich doch nicht zu viel verlangt - oder findest du das auch "doof"? -- 84.59.76.203 15:23, 5. Mai 2013 (CEST)

Es tut mir sehr leid, für "unpraktisch, sinnlos und nervend" war das Eingabefeld zu kurz. Mit "doof" dachte ich, eine passende Zusammenfassung gefunden zu haben. Du solltest übrigens den zweiten Satz des verlinkten Abschnitts lesen und beim ersten das Wort "normalerweise" nicht ignorieren. --Daniel5Ko (Diskussion) 15:53, 5. Mai 2013 (CEST)

Fixpunktsatz von Lawvere

Hallo Daniel5Ko!

Der von dir angelegte Artikel Fixpunktsatz von Lawvere wurde zum Löschen vorgeschlagen, da es ihm möglicherweise an Qualität mangelt und/oder die enzyklopädische Relevanz nicht eindeutig im Artikel erkennbar ist. Ob der Artikel tatsächlich gelöscht wird, wird sich im Laufe der siebentägigen Löschdiskussion entscheiden. Bedenke bei der argument- und nicht abstimmungsorientierten Diskussion bitte, was Wikipedia nicht ist. Um die Relevanz besser erkennen zu lassen und die Mindestqualität zu sichern, sollte primär der Artikel weiter verbessert werden. Das wiegt als Argument deutlich schwerer als ein ähnlich aufwändiger Beitrag in der Löschdiskussion.

Du hast gewiss einiges an Arbeit hineingesteckt und fühlst dich vielleicht vor den Kopf gestoßen, weil dein Werk als Bereicherung dieser Enzyklopädie gedacht ist. Sicherlich soll aber mit dem Löschantrag aus anderer Sichtweise ebenfalls der Wikipedia geholfen werden. Grüße, Xqbot (Diskussion) 06:57, 24. Jul. 2013 (CEST) (Diese Nachricht wurde automatisch durch einen Bot erstellt. Falls du zukünftig von diesem Bot nicht mehr über Löschanträge informiert werden möchtest, so trage dich hier ein.)

Lass Dich bitte nicht von diesem Unfugs-LA verunsichern. Selbstverständlich entsprach der Artikel bereits beim Einstellen unseren Richtlinien. Danke für das Erstellen dieses informativen Artikels. --Asturius (Diskussion) 00:26, 26. Jul. 2013 (CEST)

Stetigkeit und Monotonieforderung

Daniel5Ko, bzgl. deiner Änderung in Stetigkeit#Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff.

Zwei weitere Definitionen, die mir hier vorliegen, lauten anders:

1. J. Roger Hindley, Jonathan P. Seldin, Introduction to Combinators and $\lambda$-Calculus, Cambridge University Press 1986, ISBN 0-521-26896-6 definieren auf S. 134 so, wie von mir ursprünglich angegeben.

1. B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press 2008, ISBN 978-0-521-78451-1 fordern auf S. 177 zusätzlich zu Hindley, dass das Abbild wieder gerichtet ist.

Nun bildet eine monotone Funktion eine gerichtete Menge wieder auf eine gerichtete Menge ab, so dass das Supremum des Abbilds gewiss existiert. Entsprechend weist Hindley in Anmerkung 12.14 darauf hin, dass der Nachweis der Stetigkeit einer Funktion einfacher ist, wenn man bereits weiß, dass $\bigsqcup f(X)$ existiert. Umgekehrt ist jede in diesem Kontext stetige Abbildung monoton. Manche Autoren drehen sich dann auf dem Absatz um und fordern grundsätzlich Monotonie, so Amadio und Curien. Ich hatte letztere aber vor allem darum referenziert, da sie ihre Definition bereits auf Seite 2 bringen.

Die Experten schwanken also in der Definition und diskutieren ggfls. wie Hindley oder Davey die Beziehung von Monotonie und Stetigkeit. Andere, wie Amadio nicht, womit man, folgt ihrer Definition, in jedem Fall die Monotonie nachzuweisen hätte, wenn man die Stetigkeit zeigen will. Ich tendiere darum zur Definition Hindleys. Wenn du es lieber so lassen willst, wie du es geändert hast, sollte man dann aber m.E. einleitend neben Supremums- auch Ordnungsverträglichkeit fordern.

Ansonsten danke, dass du den Abschnitt so schnell gesichtet hast. -- Lowtec (Diskussion) 18:00, 10. Aug. 2013 (CEST)

Von mir aus kannst du das "monoton" auch wieder 'rausnehmen. Ich hielt es für ein Problem, dass man ohne Antisymmetrie nicht stetig => monoton zeigen kann. Jetzt stelle ich aber fest, dass scheinbar niemand Scott-Stetigkeit in so einem Szenario definiert.

Es handelte sich wohl um eine falsche Erinnerung. Grüße, --Daniel5Ko (Diskussion) 18:37, 10. Aug. 2013 (CEST)

Hilbertsche Probleme

Hi Daniel, ich hab' ein Problem mit Hilberts zehntem Problem. Guck doch mal auf Diskussion:Hilbertsche Probleme und gib Deinen Senf dazu, wenn Du magst. -- UKoch (Diskussion) 21:53, 1. Nov. 2013 (CET)

Nunja, durch die Entfernung des Unfugs ist das Problem ja gelöst, wenn auch nicht 100%-ig zufriedenstellend. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:44, 1. Nov. 2013 (CET)

Ah ja, Chricho war schneller. Ja, das Problem ist erstmal gelöst. Für eine zufrieden stellende Lösung müsste sich jemand Arbeit machen, der mehr von der Materie versteht als ich. -- Ansonsten mein Beileid für den unsinnigen LA gegen den Fixpunktsatz von Lawvere. Anscheinend werden solche LA aber wenigstens schnell entfernt. -- UKoch (Diskussion) 19:54, 2. Nov. 2013 (CET)

C# - XNA keine IDE

Hallo Daniel,
ich habe wegen der Zeile, die du wiederhergestellt hast, eine Diskussion im C#-Artikel gestartet. Dachte mir du willst vielleicht auch etwas dazu sagen/schreiben -> Diskussion:C-Sharp#XNA_keine_IDE
Gruß --Maxkhl (Diskussion) 15:56, 27. Jan. 2014 (CET)

Siehe dort. --Daniel5Ko (Diskussion) 18:24, 27. Jan. 2014 (CET)

Debatte auf WP:AA

Du hast natürlich völlig recht. Das Problem ist eben, dass mindestens die eingeschworenen Tacuisses-Feinde ihre Motivation und Befriedigung aus der Mission ziehen, "den dauergesperrten Troll zu bekämpfen". Da hängt zu viel dran, was rein gar nichts mit der Erstellung einer Enzyklopädie zu tun hat. Und ich fürchte, es kann bei einem solchen Dauerkonflikt nicht anders sein: Auch Tacuisses zieht seine Motivation und Befriedigung daraus, es den anderen zu zeigen. Entsperrung wär immerhin endlich mal ein Schritt in die richtige Richtung, nämlich aus dem automatisierten Konfliktmuster raus. --Mautpreller (Diskussion) 15:13, 5. Apr. 2015 (CEST)

Ich weiß nicht, was ein Königsweg sein könnte, aber ich meine, es kann keiner sein, der 1. normal mitarbeitende Benutzer aus einem Themenbereich heraustreibt (sei es durch den Missbrauchsfilter oder durch den Dauerkonflikt oder durch Tacuisses oder durch Reverts, die zu Artikelverschlechterungen führen, oder durch wochenlang ungesichtete Edits, die auf der Spezialseite der ungesichteten Versionen stehen bleiben, weil die ungesichteten Versionen von JD – der das anscheinend als Einziger so macht – vollgeschützt wurden und sie niemand nachsichten kann), 2. dazu animiert, sinnvolle Edits zu revertieren und dadurch Artikel zu verschlechtern, 3. irgendjemanden dazu animiert, sich gegenüber anderen Benutzern mies zu verhalten und zu beleidigen, egal, wer das ist.

Aus 3. folgt, dass jeder richtige PA, der auf der VM gemeldet wird, auch sanktioniert gehört, bei neuen Konten unbegrenzt, bei IPs entsprechend und bei anderen Benutzern in normal üblicher Länge, egal wer meldet. Wenn Beleidigungen in Versionsgeschichten auffallen, kann auch ohne VM direkt gesperrt bzw. zu geeigneten Maßnahmen wie einer Ansprache von Benutzern gegriffen werden. Tacuisses wird jeweils mit IP oder Neukonto gesperrt, wenn „Sperrumgehung, keine Besserung erkennbar“ vorliegt (unbequellte, umstrittene Änderungen oder PAs oder Proxy-Edits), aber nicht bei völlig sinnvollen und PA-freien Edits mit normaler IP. Blindes Revertieren bequellter Edits oder von Rechtschreibkorrekturen führt genauso zu Sperren (weil wahrscheinlich Artikel verschlechternd und damit Vandalismus) wie unbegründete Änderungen oder Ergänzungen von Tacuisses. Dann wäre man einen Schritt weiter. Wenn Edit-Wars vorliegen, werden die Artikel halbgeschützt, wenn das nicht reicht, nur für Sichter. Dann muss diskutiert werden, wie üblich mit geeigneten Quellen. Wenn die Quellen etwas anderes belegen als den aktuellen Artikelstand, wird der Artikel geändert, sonst nicht. So wie jetzt funktioniert es garantiert nie, es fördert Edit-Wars und treibt normale Benutzer aus dem Bereich heraus. Dann werden sich aber auch nie andere Leute dort einfinden, die sich gut mit der Materie auskennen. Ist hier ein bisschen falsch, aber die Diskussion auf AAF ist wie üblich nach Lagern aufgeteilt und führt auf die Weise dort sowieso nicht viel weiter. Wenn man allerdings nur so weitermacht wie bisher, dann wird man auch in 10 Jahren noch dieselbe Diskussion regelmäßig immer und immer wieder führen. @Micha L. Rieser, Mautpreller: Auf dieser Seite sind noch mindestens 5 in diesem Fall ungeschützte Artikel mit derselben 3-Großbuchstaben-Zahlen-Kombination und seit 1 knappen Monat ungesichteten, teils strittigen Versionen, die geprüft werden müssten, welche Version dabei jeweils die richtige ist. --Winternacht in Wikimedias supergeschützten Wikis 04:13, 6. Apr. 2015 (CEST)

vieles in deinem kommentar ist völlig korrekt und muss nicht weiter kommentiert werden. durch die neue "editeditorprotected"-schutzstufe mag sich das problem womöglich an sich schon lösen, da tacuisses keine unbegrenzten sichter-socken vorrätig haben wird. voraussetzung: derart "3/4"-geschützte seiten werden nicht per revert-button trotzdem rückgesetzt unabhängig vom inhalt - wie eben vorgestern mal wieder massiv geschehen. sonst käme das lediglich einem versuch des "aussperrens" von tacuisses-bearbeitungen gleich, wofür es keinen konsens gibt. ich würde dann zu user-sperren greifen, wie angekündigt [8][9]. in meinem Benutzer:JD/leitfaden muss ich das ganze noch entsprechend festhalten. --JD {æ} 11:11, 6. Apr. 2015 (CEST)

Genau dafür wurde dieses faschistoide editeditorprotected unter anderem konstruiert, mit der kalkulierten Absicht und absehbaren Konsequenz, es im grossen Stil zu missbrauchen, um in inhaltlichen Auseinandersetzungen ohne Diskussion die eigenen Bearbeitungen bzw. die von Buddies zu schützen und/oder um vandalierende Edits mit der einzigen Absicht zu stören, wie die von Andy und CC jüngst, ohne jesdes inhaltliche Interesse, zu decken. Dass das Instrument wie von JD oben angedacht differenziert eingesetzt würde - und nicht, um einen Benutzer oder eine inhaltliche Position zu bevorteilen - ist gar nicht beabsichtigt und war es nie.

Ich beschwöre Euch: Sorgt dafür, dass dieses faschistoide Ding nicht gegen mich eingesetzt wird. Das würde zu Konsequenzen führen, die niemand will.

@Winternacht: "Wenn die Quellen etwas anderes belegen als den aktuellen Artikelstand, wird der Artikel geändert, sonst nicht." ist im klaren Widerspruch zu WP:Q. In häufiges Missverständnis in den wenigen Ausnahmen, wo tatsächlich inhaltlich begründeter Dissens betreffend die Substanz meiner Edits besteht. -- 2A02:1203:ECB3:33C0:BDD9:BF0E:E456:C816 12:42, 6. Apr. 2015 (CEST)

Potenzieren in Haskell

Im Artikel Funktionale Programmierung hast Du diesen Beitrag gesichtet (ich war drauf und dran das abzulehnen). Ich sehe, daß Du wohl kompetent in Haskell bist, aber war das nicht doch ein Fehler? (**) ist für Floating (was hier angesagt ist) und (^) ist es nicht (siehe z.B. http://zvon.org/other/haskell/Outputglobal/index.html). Was übersehe ich? --H.Marxen (Diskussion) 19:05, 27. Mai 2015 (CEST)

(**) ist vor allem dafür da, Floats und ähnliches im Exponenten zu haben. Dies wird dort nicht benutzt. Stattdessen ist der Exponent da eine Konstante 2. Darum scheint mir (^) bei weitem sinnvoller. --Daniel5Ko (Diskussion) 19:11, 27. Mai 2015 (CEST)

Ja, schon klar, aber es geht nicht um den Exponenten, sondern um die Basis. Immerhin steht davor die Zeile
sq :: (Floating a) => a -> a -- optionale explizite Typangabe
was mir nicht zu (^) zu passen schien, der Num als Basis haben will, aber nun habe ich gerade gesehen, daß Double, Float, Int, Integer sind Instances von Num. Also alles (wohl) wunderbar. Sorry für meinen Alarm (habe keine Übung in Haskell). --H.Marxen (Diskussion) 20:21, 27. Mai 2015 (CEST)

Okay. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:49, 27. Mai 2015 (CEST)

Einladung zum Artikelschreiben bei "Mathe für Nicht-Freaks"

Hallo Daniel5Ko,

du hast dich ja bereits durch Korrekturen und Überarbeitung am Wikibook „Mathe für Nicht-Freaks“ beteiligt (Danke an dieser Stelle dafür!). Wir haben nun eine Aktion gestartet, bei der jeder Autor für jeden neuen Artikel 50€ bekommt (siehe Mathe für Nicht-Freaks: Aktion: 50€ für neue Artikel). Es wäre super, wenn du mit dabei bist! Wenn du Interesse hast, kannst du mal unsere Übersichtsseite aller Artikel besuchen. Hier siehst du was noch fehlt. Du kannst aber zu allen Themen schreiben, zu denen aus deiner Sicht Kapitel fehlen und die zu „Mathe für Nicht-Freaks“ gehören (Zum Beispiel aus dem Bereich der linearen Algebra). Bei Fragen kannst du mich jederzeit kontaktieren.

Viele Grüße, Stephan Kulla (Diskussion) 11:27, 18. Jun. 2015 (CEST)

Unterverband

Hi Daniel5Ko, wenn der Unterverband leer sein darf, ist das nicht mehr konsistent mit der Def. Verband als nichtleere Menge. In der Literatur (die ich so kenne) wird der Verband auch als nicht leere Menge definiert. Lg

Hallo, ja, dann sollte man die Definition ändern. Mag sein, dass einige Nichtleerheit fordern, das macht aber nicht jeder (in "Domain Theory" von Abramsky und Jung, sowie in "Continuous Lattices and Domains", von Gierz, Hoffmann, Keimel, Lawson, Mislove und Scott, wird es z.B. nicht gefordert), und unsinnig ist es allemal.

--Daniel5Ko (Diskussion) 14:45, 7. Dez. 2016 (CET)

Peano-Axiome

Hallo Daniel5Ko,

zunächst einmal danke für Dein Gesprächsangebot hinsichtlich unserer unterschiedlichen Auffassung über die Peano-Axiome. Bin ich hier für ein solches Gespräch richtig, oder gibt es noch einen Bereich, der nur für uns beide sichbar ist?--Wikilaser (Diskussion) 21:01, 21. Aug. 2017 (CEST) vor

Hallo Wikilaser,

du bist hier richtig. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:41, 21. Aug. 2017 (CEST)

Gut. Dann würde ich zunächst gern die Frage klären, welchen Zweck eigentlich eine mathematische Definition erfüllen soll: Soll sie einen bereits vorhandenen Sachverhalt präzise beschreiben, oder soll sie einen noch nicht vorhandenen (oder als noch nicht vorhanden gedachten) Sachverhalt erstmals erschaffen?--Wikilaser (Diskussion) 10:12, 22. Aug. 2017w (CEST)

Eine Definition legt fest, welche Eigenschaften ein Ding haben muss, damit man ihm einen bestimmten Namen geben darf. Ob die Zusammenstellung der Eigenschaften vorher schon da ist, ist eher eine philosophische Frage. Ob der Name vorher schon da war, ist ebenfalls egal: Im Geltungsbereich der Definition wird mit dem Namen der neue Eigenschaftensatz assoziiert. Im Fall der Peano-Axiome wird festgelegt, unter welchen Umständen eine Menge "'die' Menge der natürlichen Zahlen" genannt werden darf. (Streng genommen handelt es sich dabei nicht nur um bloße Mengen, sondern um Mengen zusammen mit Operationen.) --Daniel5Ko (Diskussion) 15:00, 22. Aug. 2017 (CEST)

Nun, da jedoch nur eine einzige Menge die Menge der Natürlichen Zahlen sein kann, beschreiben die Peano-Axiome genau diese Menge, und keine andere. Zumindest sollen sie dies tun. Denn im Falle des 4. Axioms bin ich der Auffassung, daß es überflüssig sei, genauso wie im Falle des 5. Axioms (auf welches ich jedoch in dieser Diskussion zunächst nicht weiter eingehen möchte). Meiner Ansicht nach beschreiben bereits die ersten drei Axiome ausreichend die Menge der Natürlichen Zahlen (mit Ausnahme des exakten Abstands zwischen einer Zahl und ihrem Nachfolger, der wird von Peano nicht mit 1 beziffert). Zunächst bestimmt Axiom 1, daß 0 eine Natürliche Zahl sei, während Axiom 3 präzisiert, daß 0 die erste Natürliche Zahl sei. Und Axiom 2 bestimmt, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger habe, der seinerseits ebenfalls eine Natürliche Zahl sei. Durch Anwendung dieser drei Axiome läßt sich die Menge der Natürlichen Zahlen bereits komplett aufstellen (wohlgemerkt nicht definieren, da Peanos Definition ja eine praktische Handlungsanweisung darstellt, der man nur zu folgen braucht). Warum braucht man nun Axiom 4 nicht? Ganz einfach: Durch die Nachfolgeregel wird als erstes ein Nachfolger der 0 aufgestellt. Die 0 und ihr Nachfolger stehen nun in einer direkten beidseitigen Beziehung zueinander, die es nach meiner Auffassung unmöglich macht, als Nachfolger des Nachfolgers der 0 erneut den Nachfolger der 0 aufzustellen (sprich: 0;1;1 ist unmöglich, da die 1 nicht gleichzeitig Nachfolger der 0 und Nachfolger der 1, also ihrer selbst sein kann). Das ist genauso wie bei einem Reihenhaus: A wohnt im Haus 1, B wohnt im Haus 2. Damit ist sowohl A Nachbar von B als auch B Nachbar von A. Damit kann B nicht auch noch in Haus 3 wohnen, da B in Haus 3 dann gleich B in Haus 2 wäre, und als dieser hätte B in Haus 3 auch A in Haus 1 als Nachbar, was jedoch ausgeschlossen ist, da A definitionsgemäß nur einen Nachbarn hat, nämlich B in Haus 2. Also kann als Nachfolger der 1 nur eine andere Zahl in Frage kommen, sinnvollerweise die 2, die sich aus der Operation 1 + 1 ergibt (genauso wie sich die 1 aus der Operation 0 + 1 ergibt, womit auch klar ist, daß die Menge nur zusammen mit mindestens einer Operation existieren kann).--Wikilaser (Diskussion) 03:11, 23. Aug. 2017 (CEST)

Nein, es gibt immer viele solche Mengen (also wenn man z.B. mit ZFC startet).

Axiom 1 sagt nicht, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Von welcher "0" soll denn hier gesprochen werden? Es sagt viel mehr, dass es ein ausgezeichnetes Element gibt, das als 0 bezeichnet wird. Es ist keine "globale" 0, die in jeder Menge der natürlichen Zahlen enthalten ist. Wenn man eine Menge bastelt, die "die" Menge der natürlichen Zahlen sein soll, muss man u.a. angeben, welches Element die 0 sein soll.

Dafür gibt's natürlich viele Möglichkeiten: Man kann als Grundmenge z.B. die Menge der endlichen Worte über einem einelementigen Alphabet nehmen. Die 0 ist jeweils das leere Wort, Nachfolgerbildung das Anhängen des Buchstaben. Oder man nimmt Binär-Worte. Auf die übliche Art wäre die Grundmenge $\{1\}\bullet \{0,1\}^{*}\cup \{0\}$. Wenn man nicht auf führende Nullen achtgeben müssen will, bietet es sich an eine leicht andere Kodierung zu nehmen, deren Ziffern man suggestiverweise mit 1 und 2 bezeichnet. Grundmenge wäre $\{1,2\}^{*}$, die ersten paar Zahlen wären $\varepsilon ,1,2,11,12,21,22,111$.

Des weiteren ist es ein leichtes, aus einer gegebenen "Menge der natürlichen Zahlen" eine weitere zu basteln, insbesondere durch Hinauswerfen von Elementen aus der originalen Grundmenge (gefolgt von entsprechender Modifikation, was 0 und Nachfolger sein soll, natürlich).

Nimmt man nur die Axiome 1,2,3, wäre die 2-elementige Menge $\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$, wobei $\emptyset$ die 0 sein soll, und die Nachfolgerfunktion alles auf $\{\emptyset \}$ abbildet, offenkundig geeignet. Ich betone es gerne nochmal: die Axiome beziehen sich nicht auf eine extern gegebene 0 oder Nachfolgerfunktion. Die "Menge der natürlichen Zahlen" bringt diese mit.

--Daniel5Ko (Diskussion) 09:51, 23. Aug. 2017 (CEST)

Moment mal, da steht eindeutig:

0 ∈ N

Dieser Ausdruck lautet in Worten: "0 ist ein Element der Menge der Natürlichen Zahlen." Das bedeutet, daß Axiom 1 aussagt, daß die 0 überhaupt erst einmal irgendein Element der Menge der Natürlichen Zahlen sei, jedoch noch nicht, welches genau. Das schrieb ich auch. Wie kannst Du da behaupten, Axiom 1 sage nicht, daß 0 eine Natürliche Zahl sei?

Wenn man nun, wie Du sagst, eine Menge bastelt, die "die" Menge der Natürlichen Zahlen sein solle, und man angeben müsse, welches Element die 0 sein solle, dann bezieht sich dies bereits auf Axiom 3, welches aussagt, daß die 0 nicht Nachfolger einer Natürlichen Zahl sei, und somit wird durch Axiom 1 festgelegt, daß die 0 eine Natürliche Zahl sei, und durch Axiom 3, welches Element genau (nämlich das erste) sie sei. Das ist unbestreitbar!

Und nochmal: Wieviele Mengen der Natürlichen Zahlen gibt es denn in der Mathematik? Doch wohl eindeutig nur eine einzige! Und bitte laß diese Nebelkerzen mit einelementigen Alphabeten weg, darüber reden wir hier gar nicht.

Mit Deinen Ziffern 1 und 2 bist Du bereits bei dem Schritt, ein Stellenwertsystem aufzubauen bzw. ein solches zu nutzen.

Was nun Deinen letzten Satz angeht, so wiederhole ich nochmal aus der Diskussion: Die Menschen hatten bereits ein "natürliches" Verständnis der Natürlichen Zahlen, bevor sich irgendjemand erstmals Gedanken über eine mathematische Definition der Natürlichen Zahlen gemacht hat. Die Natürlichen Zahlen waren also schon da, und zwar nicht extern, sondern intern.--Wikilaser (Diskussion) 11:25, 23. Aug. 2017 (CEST)

Man kann (ZFC oder ähnliches gegeben) unendlich viele Tupel $(N,0,S)$ angeben, die alle die Peano-Axiome erfüllen, und deren Nullen alle verschieden sind. Die Stellenwertsystem-Beispiele sollten das besonders deutlich machen. Die Peano-Axiome legen nicht fest, welches der Tupel das "richtige" ist. Wenn man "die" Menge der natürlichen Zahlen benutzen will, ist das aber nicht schlimm, denn es ist im Endeffekt egal, welches von den Tupeln man nimmt, da man ohnehin nur das abstrakte Interface benutzt, und aus dieser Sicht sehen sie alle gleich aus: nämlich so, wie die Peano-Axiome es vorgeben: man hat ein Element namens 0 und eine Nachfolgerfunktion, das Element namens 0 ist kein Nachfolger, die Nachfolgerfunktion ist injektiv, Induktion.

Dass dies genau die Vorstellung einfängt, die man intuitiv von den natürlichen Zahlen hat, ist eine unbeweisbare These, die aber so ziemlich jeder einfach pragmatisch glaubt. --Daniel5Ko (Diskussion) 12:22, 23. Aug. 2017 (CEST)

Dann gib doch mal ganz konkret zwei verschiedene Tupel an, die beide die Peano-Axiome erfüllen. Und bitte nicht einfach nur unterschiedliche Stellenwertsysteme benutzen, denn dabei handelt es sich lediglich um unterschiedliche Zahlendarstellungen, und um die geht es hier auf keinen Fall.

Die Peano-Axiome legen überhaupt nicht fest, daß zwischen n und n' der Abstand 1 gelten soll, er kann also genausogut Pi sein. Hier würde ich gern nochmal Deinen angeblichen Beweis hierfür präzise erläutert haben, den Du in die Diskussion eingebracht hattest. Insbesondere die Stelle, aus der angeblich letztendlich hervorgeht, daß k = 1 sei.--Wikilaser (Diskussion) 02:44, 24. Aug. 2017 (CEST)

Natürlich darf ich hierfür irgendwelche Konstruktionen mit Stellenwertsystemen benutzen. Denn sie erfüllen die Axiome.

Dass der Abstand zwischen n und seinem Nachfolger (die mitgebrachte!) 1 ist, habe ich schon bewiesen. Du hast nur behauptet, ich hätte das nicht getan.

Eine sinnvolle externe 1 gibt es einfach nicht -- ebenso wie eine externe 0 oder eine externe Nachfolgerfunktion.

Das wäre ja auch sinnlos: Willst du $\mathbb {N}$ definieren, indem du sagst, es sei eine Kopie von einem schon gegebenen $\mathbb {N}$?

Hier trotzdem nochmal eine Kopie des Beweises. Kannst ja mal ansagen, was du nicht verstehst

Ich beweise: $\forall k,n\in \mathbb {N} .\ n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$.

Hierzu sei $k\in \mathbb {N}$ beliebig. Zu zeigen: $\forall n\in \mathbb {N} .\ n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$.

Dazu definiere ich $X:=\{n\in \mathbb {N} \mid n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)\}$. D.h. für $n\in \mathbb {N}$ ist $n\in X$ äquivalent zu $n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$. Wenn ich $\mathbb {N} \subseteq X$ beweisen kann, ist das gerade die gewünschte Aussage. Nach Axiom 5 reicht es dazu aus, $0\in X$ und $\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X$ zu zeigen. Also machen wir das. Der erste Teil ist einfach: Wenn $0+k={\mathsf {S}}(0)$, dann ist wegen der Def. von + auch $k={\mathsf {S}}(0)$. Für den zweiten Teil sei $n\in \mathbb {N}$ beliebig und gelte $H\colon n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$. Zu zeigen: ${\mathsf {S}}(n)+k={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(n))\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)$. Nehmen wir also $G\colon {\mathsf {S}}(n)+k={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(n))$ an. Nun ist $k={\mathsf {S}}(0)$ zu zeigen. Hierzu wenden wir $H$ an, und haben nun zu zeigen: $n+k={\mathsf {S}}(n)$. Wegen der Injektivität von ${\mathsf {S}}$ reicht ${\mathsf {S}}(n+k)={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(n))$. Dies ist aufgrund der Definition von + aber äquivalent zur Annahme $G$, also sind wir fertig.

--Daniel5Ko (Diskussion) 22:09, 24. Aug. 2017 (CEST)

Unter einer präzisen Erläuterung eines angeblichen Beweises verstehe ich mehr als nur das Einfügen einer Kopie! Ich kann hier nur erkennen, daß Du gezeigt hast, daß k = S(0) ist. Meine Frage diesbezüglich war bereits in der Diskussion präzise genug gestellt: Aus welchem Vorgang ergibt sich in Deinem angeblichen Beweis, daß k = 1 sei? Beispielsweise durch Kürzung der Formel, so daß k = 1 übrigbleibt.--Wikilaser (Diskussion) 23:46, 24. Aug. 2017 (CEST)

1 ist eine Abkürzung für ${\mathsf {S}}(0)$. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:31, 25. Aug. 2017 (CEST)

Das geht nicht aus Deiner Definition hervor, S(0) erkenne ich lediglich als Variable, die genauso gut gleich Pi sein könnte. Ferner solltest Du nicht die Definition von Giuseppe Peano durch Deine Definition "$X:=\{n\in \mathbb {N} \mid n+k={\mathsf {S}}(n)\Rightarrow k={\mathsf {S}}(0)\}$" erweitern, sondern auf der Grundlage von Peanos Axiomen beweisen, daß der Abstand zwischen n und n' bereits im Rahmen der Peano-Axiome gleich 1 sei.--Wikilaser (Diskussion) 09:26, 25. Aug. 2017 (CEST)

Von mir aus kannst du ${\mathsf {S}}(0)$ auch $\pi$ nennen. Ich rate aber davon ab, da das verwirrend sein könnte. Die 1 ist genauso wie 0 und S relativ zu dem gerade benutzten $\mathbb {N}$ zu sehen.

Ich habe Peanos Definition nicht erweitert, sondern das Induktionsaxiom benutzt. Dabei kann ich mir eine Teilmenge $X$ von $\mathbb {N}$ ausdenken, wie ich will. Ich habe sie natürlich so gewählt, dass sie sinnvoll für den Beweis zu gebrauchen ist. Du hältst Axiom 5 wahrscheinlich deshalb für überflüssig: Weil du nicht verstehst, was es sagt. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:43, 25. Aug. 2017 (CEST)

Ich wollte eigentlich nicht darauf eingehen, welche Bedeutung Axiom 5 hat, aber gut, wenn es der Diskussion hilft: Ich sagte bereits, daß Axiom 5 lediglich die Einbettung der Menge $\mathbb {N}$ in eine andere Menge (beispielsweise in die Menge $\mathbb {Z}$) ausdrückt. Jedoch ist diese Einbettung für die Definition der Elemente der Menge $\mathbb {N}$ und damit für die gesamte Menge $\mathbb {N}$ nicht erforderlich. Diese Einbettung kann man durch Vergleich der Eigenschaften der fraglichen Mengen erkennen. Die Induktion ergibt sich bereits aus Axiom 2, welches besagt, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist.--Wikilaser (Diskussion) 10:15, 28. Aug. 2017 (CEST)

Die Wiederholung deiner Vorurteile wird nicht dazu beitragen, dass du mehr verstehst. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:05, 28. Aug. 2017 (CEST)

Dein Vorwurf, ich hätte Vorurteile, wird nicht dazu beitragen, daß ich etwas verstehe, das Du nicht erklärst. Also los, was genau sagt Axiom 5 Punkt für Punkt aus? Bzw. was konkret hältst Du an meiner Einschätzung von Axiom 5 für falsch?--Wikilaser (Diskussion) 23:13, 28. Aug. 2017 (CEST)

Es steht im Artikel, was es sagt:

Wenn $X$ eine Menge ist, und $0\in X$ und für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt $n\in X\implies {\mathsf {S}}(n)\in X$, dann ist $\mathbb {N} \subseteq X$.

Insbesondere kann man hier für $X$ auch beliebige Teilmengen von $\mathbb {N}$ nehmen, und noch insbesonderer solche, die man als $\{n\in \mathbb {N} \mid \phi \}$ angibt, wobei $\phi$ eine Formel sein soll, in der u.a. $n$ frei vorkommen darf.

Im letztgenannten Spezialfall beweist man per Axiom 5, dass $\mathbb {N} \subseteq \{n\in \mathbb {N} \mid \phi \}$, was äquivalent zu $\forall n\in \mathbb {N} .\ \phi$ ist.

Bei den Peano-Axiomen geht es nicht darum, zu definieren, welche Elemente in $\mathbb {N}$ sind, sondern darum, zu definieren, welche Tupel $(\mathbb {N} ,0\colon \mathbb {N} ,{\mathsf {S}}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} )$ als "Menge der natürlichen Zahlen" gelten dürfen.

Dinge per Induktion beweisen zu können, ist eine ganz charakteristische Eigenschaft der natürlichen Zahlen, und nicht überflüssig. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:29, 29. Aug. 2017 (CEST)

Moment mal, wenn man für $X$ nur eine Teilmenge von $\mathbb {N}$ verwendet, dann kann $\mathbb {N}$ keine Teilmenge von $X$ sein. Denn eine Teilmenge einer Menge hat normalerweise weniger Elemente als die Menge selbst. Also muß in Axiom 5 mit $X$ eine umfangreichere Menge als $\mathbb {N}$ gemeint sein, beispielsweise $\mathbb {Z}$. Und da sind wir dann genau bei meiner Einschätzung, daß es bei Axiom 5 lediglich um die Einbettung von $\mathbb {N}$ in eine andere Menge (beispielsweise $\mathbb {Z}$ oder auch $\mathbb {R}$) geht, was jedoch nichts zur Vollständigkeit von $\mathbb {N}$ beiträgt.--Wikilaser (Diskussion) 23:19, 29. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal: X ist beliebig wählbar. Falls $X\subseteq \mathbb {N}$, beweist man mit Hilfe von Axiom 5 eben auch $X=\mathbb {N}$. Um Vollständigkeit (du meinst wohl: Sicherstellung, dass keine Elemente fehlen, bzw. dass genug Elemente vorhanden sind) geht es bei dem Axiom nicht, sondern eher ums Gegenteil. $\mathbb {N}$ ist die kleinste Menge, die 0 enthält und mit jedem n aus $\mathbb {N}$ auch dessen Nachfolger. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:02, 30. Aug. 2017 (CEST)

Wenn X frei wählbar wäre, wie Du behauptest, dann könnte man auch eine endliche Menge X wählen. In diesem Falle wäre die Behauptung, N wäre eine Teilmenge von X, nicht wahr. Also muß man (sinnvoller- und logischerweise) eine unendliche Menge X wählen. Sollte diese Menge jedoch trotzdem weniger Elemente enthalten als N, wäre N eben keine Teilmenge von X, sondern eher umgekehrt X eine Teilmenge von N. Es muß sich also um eine Menge X handeln, die mindestens genausoviele Elemente umfasst wie N, damit N eine Teilmenge von X werden kann. Wenn X also die 0 enthält und mit der 0 jeden ihrer Nachfolger, dann enthält X mindestens genausoviele Elemente wie N, oder sie enthält sogar mehr Elemente als N. Wenn N die kleinste Menge ist, die die 0 und jeden ihrer Nachfolger enthält, welche Menge außer Z, Q oder R ist denn größer als N, wo doch N kein größtes Element enthält? Es kann nur eine Menge sein, die entweder auch negative ganze Zahlen enthält (wie z.B. Z), oder die auch nichtnatürliche Rationale oder Reelle Zahlen enthält (wie eben Q+ oder Q bzw. R+ oder R). Und welches Element müßte in einer solchen Menge enthalten sein, das nicht in N enthalten ist? Ich kenne keine solche Menge. Ich bleibe also erst einmal dabei, daß es bei Axiom 5 um die Einbettung in eine höhere Menge (z.B. Z, Q oder R) geht, auch wenn das von Peano nicht so beabsichtig war.--Wikilaser (Diskussion) 22:45, 30. Aug. 2017 (CEST)

X ist frei wählbar. Das Ergebnis der Anwendung von Axiom 5 ist aber erstmal bloß eine Implikation. Nehmen wir beispielsweise $X:=\{0,7\}$. Dann erhalten wir

$0\in \{0,7\}\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in \{0,7\}\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in \{0,7\})\implies \mathbb {N} \subseteq \{0,7\}.$

Glücklicherweise ist die Voraussetzung falsch. Es gilt nämlich $0\in \{0,7\}$ und ${\mathsf {S}}(0)\notin \{0,7\}$. Denn, angenommen ${\mathsf {S}}(0)\in \{0,7\}$, dann ist ${\mathsf {S}}(0)=0$ oder ${\mathsf {S}}(0)={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$. Der erste Fall wird von Axiom 3 verboten, der zweite ergibt mit Axiom 4, dass $0={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0))))))$, was wiederum von Axiom 3 verboten wird.

Im Übrigen ist es ein wenig sinnlos zu sagen, man könne Axiom 5 nur auf Mengen $X$ anwenden, von denen man schon weiß, dass $\mathbb {N} \subseteq X$. Denn dann wäre es wirkungslos.

Ein schon genanntes Beispiel für X, bei dem man Axiom 5 benötigt, um $\mathbb {N} \subseteq X$ zu zeigen, ist $X=\{n\in \mathbb {N} \mid n\neq {\mathsf {S}}(n)\}$. Dass man für dieses $X$ gerne hätte, dass $\mathbb {N} \subseteq X$, ist aber klar, oder? --Daniel5Ko (Diskussion) 13:10, 31. Aug. 2017 (CEST)

Es geht in Axiom 5 darum, ob N eine Teilmenge von X ist oder nicht. Und In Deinem Beispiel ist N nicht Teilmenge von X = {0, 7}, da N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...unendlich}. Nur wenn X alle (!) Elemente von N enthält und ggf. (da ich jetzt erst nachlesen müßte, ob zwei identische Mengen jeweils gegenseitig zueinander Menge und Teilmenge sein können oder nicht) darüber hinaus mindestens noch ein weiteres Element, welches nicht in N enthalten ist, ist N eine Teilmenge von X. Ist das nicht der Fall, ist N keine Teilmenge von X. Aber wozu soll das gut sein, wenn wir lediglich wissen wollen, welche Elemente zu N gehören bzw. welche Elemente N überhaupt erst ausmachen?--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

Klar geht es um Axiom 5. Dort kann man eine beliebige konkrete Menge für X einsetzen und erhält eine Implikation der Form ${\mathsf {Foo}}\implies \mathbb {N} \subseteq X$. Erst wenn wir jetzt noch ${\mathsf {Foo}}$ beweisen, haben wir $\mathbb {N} \subseteq X$ bewiesen. Im Fall $X=\{0,7\}$ ist ${\mathsf {Foo}}$ glücklicherweise falsch, und daher hoffentlich nicht beweisbar.

Wir wollen nicht nur wissen, welche Elemente zu $\mathbb {N}$ gehören, denn das wissen wir bei jedem Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$ schon: das sind einfach die Elemente von $\mathbb {N}$, welche auch immer das sind. Was wir tatsächlich wollen, ist, dass sich das Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$ so verhält, wie wir es von den natürlichen Zahlen intuitiv erwarten. Dazu gehört unter anderem, dass man Dinge per Induktion beweisen kann. Und dafür wiederum sorgt Axiom 5. Dass etwa jede natürliche Zahl ungleich ihrem Nachfolger ist, ist eins dieser Dinge, die sich mit den Axiomen 1 bis 4 allein nicht beweisen lassen. --Daniel5Ko (Diskussion) 15:05, 31. Aug. 2017 (CEST)

Klar kann man eine beliebige Menge X definieren, um sie dann (wohlgemerkt hinterher!) mit der Menge N zu vergleichen. Dann erhält man je nach Definition von X ein Ergebnis, welches mit N übereinstimmt oder eben nicht. Aber nochmal: Dieser Vergleich (sprich die Anwendung von Axiom 5) findet erst dann statt, wenn man die Menge N durch die Axiome 1 bis 3 (Axiom 3 in meiner Variante, nicht daß Du mir wieder auf die Idee kommst, mit das Fehlen von Axiom 4 vorzuwerfen) aufgestellt hat. Er ist für die Definition der Menge N selbst überhaupt nicht von Belang.--Wikilaser (Diskussion) 18:36, 31. Aug. 2017 (CEST)

Die Peano-Axiome sprechen über ein Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$, das irgendwie gegeben ist. Die Menge ist also jeweils schon gegeben, und die Frage ist nur noch, ob sie zusammen mit 0 und S sich so verhält, wie man es von "den natürlichen Zahlen" erwarten würde. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:57, 31. Aug. 2017 (CEST)

Weder im Artikel über die Peano-Axiome noch im darin verlinkten Artikel über die Peano-Arithmetik ist von Tupeln die Rede. Wenn man überhaupt irgendetwas in den Peano-Axiomen als Tupel bezeichnen kann, dann n und n'. Zunächst ist die 0 das erste n, welches einen Nachfolger n' hat. Dieses n' ist jedoch wieder eine Natürliche Zahl, die man aufgrund von Axiom 2 auch gleich wieder als ein n auffassen muß, welches seinerseits erneut einen Nachfolger n' hat. Es handelt sich also nicht einfach nur um ein (in Ziffern gesprochen um 1) Tupel, sondern wenn überhaupt, dann um unendlich viele Tupel, letztlich eben eine unendliche Folge Natürlicher Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 23:02, 31. Aug. 2017 (CEST)

Die Menge und die zwei Operationen gehören zusammen. Man kann das deutlich machen, indem man Tupel verwendet, muss man aber nicht. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:52, 31. Aug. 2017 (CEST)

Wir waren jetzt aber eigentlich bei Axiom 5 und der Frage, was dieses bewirkt. Wie bereits zwei Beiträge weiter oben gesagt handelt es sich dabei meines Erachtens nach um einen Vergleich zweier Mengen X und N, insbesondere welche Menge nun Teilmenge der anderen sei. Um diesen Vergleich anstellen zu können, müssen beide Mengen erst einmal sauber definiert worden sein. Im Falle von N geschieht dies mittels der Axiome 1 bis 3 (oder nach Deiner Vorstellung 1 bis 4). Erst dann (!) kann Axiom 5 ausgeführt werden, vorher nicht. Also ist Axiom 5 für die Aufstellung der Menge N nicht erforderlich.--Wikilaser (Diskussion) 09:29, 1. Sep. 2017 (CEST)

Wenn du den Anfang nicht verstehst, ist es eh müßig. Die Peano-Axiome sprechen über eine Menge $\mathbb {N}$, ein darin ausgezeichnetes Element $0$ und eine Funktion ${\mathsf {S}}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$. Wie diese drei Dinge aussehen, ist für die Formulierung der Axiome egal. Sie sind zunächst gänzlich unbekannt. (Genauer gesagt: Axiome 1 und 2 gelten jetzt schon; es geht nur noch um die anderen.) Insbesondere kann man jederzeit auch sagen, dass nur Axiom 5 gilt, und Axiome 3 und 4 nicht. Da wird nichts ungenau. Und erst recht nicht aus dem Grund, dass man nicht weiß, welche Elemente $\mathbb {N}$ konkret hat. Und die Menge $X$ in Axiom 5 ist, wie schon ca. 42 mal gesagt, bei der Benutzung des Axioms frei wählbar. Da haben die Axiome nichts zu definieren. Die Definition geschieht da, wo man das Axiom benutzt. --Daniel5Ko (Diskussion) 12:03, 1. Sep. 2017 (CEST)

Also du hast jetzt die Axiome 1 und 2 in deiner Formulierung woanders hin verlagert, so wie es Peano formuliert, wird eben nur vorausgesetzt, dass 0 eine Individuenkonstante und der Sukzessor eine (ich glaub partielle, bin mir mit seiner Notation aber nicht ganz sicher) einstellige Funktion ist, deren Wertebereich noch nicht festgelegt ist. --Chricho ¹ ² ³ 12:33, 1. Sep. 2017 (CEST)

Klar kann man die Menge X frei wählen. Nur erfüllt sie dann eben nicht sicher Axiom 5. Und wenn X Axiom 5 nicht erfüllt (wenn also beispielsweise die 5 in X fehlt), entspricht X nun einmal nicht N, bzw. kann N nicht Teilmenge von X sein. Und wenn Du Axiom 3 wegläßt, wird es sehr wohl ungenau, weil dann nämlich die 0 nicht nur einen Nachfolger hätte, sondern auch selbst ein Nachfolger wäre. Zweiteres schließt Axiom 3 aus, also darf man es nicht weglassen, wenn man die Menge der Natürlichen Zahlen definieren will. Und jetzt nochmal: Wenn X = Z (oder Q oder R) wäre, dann wäre Axiom 5 ebenfalls erfüllt, weil Z, Q und R allesamt sowohl die 0 als auch jeden ihrer Nachfolger beinhalten. Aber die Feststellung, daß Z, Q und R die Menge N beinhalten, ist nicht notwendig, um die Menge N zu definieren. Ist das wirklich so schwer zu verstehen?--Wikilaser (Diskussion) 00:53, 2. Sep. 2017 (CEST)

Die Menge X soll gar nicht das Axiom 5 erfüllen (was auch immer das heißen mag, das Axiom 5 soll schlichtweg gelten und es macht eine Aussage über $\mathbb {N} ,0$ und die Nachfolgefunktion, über deren Beziehung zueinander, nicht jedoch über ein $X$, das $X$ ist nur ein Variablenname, den das Axiom intern verwendet). Die Menge X wählt man erst frei, wenn man das Axiom 5 anwendet. Dann kann diese Menge $X$ die Bedingung vor dem $\Rightarrow$ erfüllen und in dem Fall sagt uns das Axiom, dass auch die Aussage hinter dem Pfeil gilt, sonst sagt es uns nichts.

Das Axiom macht in der Tat auch eine Aussage für die Wahl $X=\mathbb {Z}$ etc. (dann gilt die Bedingung der Implikation und d), diese Aussagen über $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ sind in der Tat nicht notwendig, du könntest sie herausnehmen und das Axiom auf die folgende Weise „abschwächen“:

$\forall X((X\neq \mathbb {Z} \wedge X\neq \mathbb {Q} \wedge X\neq R)\Rightarrow (0\in X\land \forall n(n\in \mathbb {N} \Rightarrow (n\in X\Rightarrow n'\in X))\Rightarrow \mathbb {N} \subseteq X))$

Oder eine ein bisschen elegantere Alternative:

$\forall X(X\subseteq \mathbb {N} \land 0\in X\land \forall n(n\in X\Rightarrow n'\in X)\Rightarrow \mathbb {N} =X)$

Das heißt aber beides nicht, dass du das Axiom 5 ganz weglassen könntest, du kannst es bloß umformulieren (und wie du siehst, wird es nicht unbedingt kürzer). --Chricho ¹ ² ³ 02:44, 2. Sep. 2017 (CEST)

Was soll denn das jetzt? Die Menge X soll Axiom 5 doch nicht erfüllen? Du willst, daß die Peano-Axiome für alle Mengen gilt, die deren Bedingungen erfüllen. Dagegen spricht nichts. Aber es gibt nur eine einzige Menge der Natürlichen Zahlen, und genau diese soll ebenfalls durch die Peano-Axiome definiert werden. Und darüber diskutieren wir hier gerade. Alle anderen Mengen, die diese Axiome erfüllen, sind lediglich Entsprechungen. Und in Axiom 5 geht es genau um solche Entsprechungen. Die Induktion geschieht bereits durch die Axiome 2 (hauptsächlich) und 3 (um einen Beginn zu definieren).--Wikilaser (Diskussion) 11:04, 2. Sep. 2017 (CEST)

Du missverstehst mich: Die Rede davon, dass „die Menge X“ (von welcher Menge X redest du?) das Axiom 5 erfüllen soll, ist unsinnig (ich habe die Aussage nicht verneint, sie ist bei wohlwollendster interpretation belanglos (heißt nur, dass das Axiom 5 gilt, hat mit dem X nichts zu tun), sonst eher sinnlos, wenn nicht gar ungrammatisch). Das Axiom 5 macht gar keine Aussage über eine Menge $X$. $X$ ist nur ein Variablenname, der innerhalb der Formulierung des Axioms eingeführt wird, wenn wir über die Geltung des Axioms als Ganzes sprechen, hat das mit einem X nichts zu tun. --Chricho ¹ ² ³ 12:36, 2. Sep. 2017 (CEST)

Was soll denn dieses wirre Zeug, das Du jetzt daherbringst? Jetzt gib mal eine klare Antwort: In Axiom 5 ist von einer Menge X die Rede, für die gilt, daß N eine Teilmenge von X ist, wenn die Bedingung erfüllt ist, daß in X die 0 sowie jeder ihrer Nachfolger enthalten ist. Ist das so? Ja oder nein?--Wikilaser (Diskussion) 23:18, 2. Sep. 2017 (CEST)

Wenn du mit „In Axiom 5“ meinst, dass ein Teilausdruck von Axiom 5 dies tut – über eine Menge $X$ etwas aussagen – dann ja: dies macht der Teilausdruck „(0\in X \and \forall n (n \in \N \Rightarrow (n\in X \Rightarrow n'\in X)) \Rightarrow \N \subseteq X)“. Das Axiom 5 selbst jedoch macht keine Aussage über eine Menge $X$ (auf eine solche bezieht sich das Axiom gar nicht, jdf. nicht explizit), sondern eine Aussage über jede beliebige Menge. Es gibt immer eine Frage von Kontext: Für den Teilausdruck ist eine Menge $X$ gegeben, über die er eine Aussage machen kann, dem Axiom 5 selbst hingegen, dem ganzen Satz, ist eine Menge mit dem Namen $X$, auf den (den Namen) sich auch andere Sätze beziehen könnten, nicht bekannt, es bezieht sich nicht auf einen solchen Namen. --Chricho ¹ ² ³ 02:12, 3. Sep. 2017 (CEST)

Vielleicht bekommen wir ja Klarheit in unsere Diskussion, wenn Du einfach mal Symbol für Symbol das ganze Axiom 5 (oder noch besser alle 5 Axiome) wortwörtlich in Deutsche Sprache übersetzt, ohne etwas hineinzuinterpretieren oder sprachlich in kürzere Sätze zu fassen?--Wikilaser (Diskussion) 09:09, 3. Sep. 2017 (CEST)

In einem klaren deutschen Satz: Jede Menge, die die 0 enthält und für jede natürliche Zahl, die sie enthält, auch deren Nachfolger enthält, ist eine Obermenge der natürlichen Zahlen.

„Symbol für Symbol“: Für jede Menge $X$ gilt, dass, falls $X$ die $0$ enthält und für jede natürliche Zahl $n$, die in $X$ enthalten ist, auch der Nachfolger von $n$ in $X$ enthalten ist, dann $X$ eine Obermenge von $\mathbb {N}$ ist.

Peanos Umschreibung: « Soit s une classe ; supposons que 0 appartienne à cette classe ; et que toutes les fois qu’un individu x appartient à cette classe, son suivant y appartienne aussi ; alors tous les nombres appartiennent à cette classe. » --Chricho ¹ ² ³ 10:57, 3. Sep. 2017 (CEST)

Na wunderbar, da haben wir es doch: Um eine beliebige Menge X mit der Menge N vergleichen zu können, um herauszufinden, ob X eine Obermenge zu N darstellt oder nicht, ist es doch ganz eindeutig und ohne wenn und aber erforderlich, zuerst (!!!) separat voneinander die Mengen X und N aufzustellen bzw. deren Elemente anhand ihrer jeweiligen Definition zu konstruieren. Dann erst kann man den Vergleich anstellen. Womit zweifelsfrei bewiesen ist, daß das Axiom 5 zur Aufstellung der Menge N überhaupt nicht erforderlich ist. Was bitte ist daran so schwer zu verstehen?--Wikilaser (Diskussion) 20:52, 3. Sep. 2017 (CEST)

Nein, die Axiome bedürfen nicht zuvor irgendwelcher Konstruktionen, um dann über diese Aussagen zu treffen. Sie springen direkt ins kalte Wasser und machen Aussagen, ohne dass eine Bedeutung einzelner Ausdrücke festgelegt ist. Das Axiom ‚stellt auch keinen Vergleich an‘, wie du das ausdrückst, es setzt die Obermengenbeziehung als gültig, ohne dafür irgendetwas über diese Mengen wissen zu müssen (außer, dass die enthaltene Bedingung für $X$ gilt). --Chricho ¹ ² ³ 21:46, 3. Sep. 2017 (CEST)

Bitte lies ganz genau, was ich schreibe! Das Axiom 5 bedarf erst der Konstruktion der Mengen X und N. Diese Konstruktion geschieht mittels der Axiome 1 bis 3 (oder nach Deiner Lesart 1 bis 4). Und zu behaupten, Axiom 5 würde keinen Vergleich anstellen, ist wirklich starker Tobak. Selbstverständlich tut es das!--Wikilaser (Diskussion) 06:17, 4. Sep. 2017 (CEST)

Dass das Axiom 5 keinen Vergleich ‚anstellt‘ meine ich nur in dem Sinne, dass es nicht fertig konstruierte Mengen nimmt und dann mal sieht, was rauskommt – es setzt den Vergleich und bestimmt so auch erst Eigenschaften von $\mathbb {N}$ mit. Axiom 5 bedarf der Konstruktion von $\mathbb {N}$ genauso wenig wie die Axiome 1–3 oder Axiom 4. All diese Axiome machen Aussagen über $\mathbb {N}$, ohne dass irgendeine Art vollständiger Konstruktion vorausgesetzt wird. Die Axiome haben alle denselben Status und sie machen alle Aussagen über $\mathbb {N}$ – warum sollten denn dann deiner Meinung nach die Axiome 1–3 keine Konstruktion von $\mathbb {N}$ voraussetzen? --Chricho ¹ ² ³ 11:30, 4. Sep. 2017 (CEST)

Ich rücke den Text mal wieder etwas weiter nach links.

Weiter im Text:

Bei den Axiomen 1 bis 3 setze ich keine Konstruktion voraus, sondern im Gegenteil, die Axiome 1 bis 3 ermöglichen erst die Konstruktion. Lediglich Axiom 5 setzt voraus, daß die beiden Mengen bereits konstruiert sind (oder sich nach Deiner Lesart in Konstruktion befinden).

Wie schon gesagt, es ist unbestreitbar, daß man die Axiome 1 bis 3 als Handlungsanweisung zur Konstruktion auffassen kann, und genau das tue ich.--Wikilaser (Diskussion) 13:58, 4. Sep. 2017 (CEST)

Was ist denn der Unterschied zwischen den Axiomen 1 bis 3 und dem Axiom 5? Woran soll man diesen unterschiedlichen Status erkennen? Peano hat die 5 Sätze gleichberechtigt als Axiome formuliert, nicht die einen als Konstruktionsanweisungen und die anderen als irgendetwas anderes. Die Voraussetzungen sind für alle Axiome dieselben – nämlich die prädikatenlogische Sprache und die Symbole $\mathbb {N} ,0,'$ als Klasse, Individuum und einstelliger Funktion auf $\mathbb {N}$. --Chricho ¹ ² ³ 16:15, 4. Sep. 2017 (CEST)

Peano mag die Axiome als gleichberechtigt betrachtet haben, allein ihre Aussagen machen den Unterschied. Das ist wie mit der Sprache selbst: Du verwendest für alle Sätze dieselbe Grundlage (Alphabet, Grammatik, etc.), aber die ersten vier Sätze sind beispielsweise Behauptungen, der fünfte Satz ist dagegen eine Frage.--Wikilaser (Diskussion) 23:50, 4. Sep. 2017 (CEST)

Nein, ein Axiom ist niemals eine Frage (auch in der Übersetzung ins Deutsche siehst du das übrigens, dass es keine Frage ist). --Chricho ¹ ² ³ 01:07, 5. Sep. 2017 (CEST)

Da hast Du mich jetzt gründlich mißverstanden. Was für die Axiome deren Zeichen sind, sind für die Sprache das Alphabet und die Grammatik. Das mit Behauptung und Frage meinte ich zunächst gar nicht übertragen auf die Axiome, sondern im Rahmen der Sprache selbst. Überträgt man das Sprachbeispiel auf die Axiome, so kann man feststellen: Die Axiome 1, 3 und 4 setzen keine Kenntnis über die Natürlichen Zahlen voraus, die Axiome 2 und 5 kann man jedoch ohne Kenntnis der Natürlichen Zahlen im Grunde gar nicht beantworten, sie lassen also Fragen offen.--Wikilaser (Diskussion) 21:25, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich behaupte einfach das Gegenteil, da du ja auch keine Argumente bringst: Nein, alle der Axiome 1-5 haben denselben Status und sagen einfach, was zu gelten hat. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:35, 5. Sep. 2017 (CEST)

Die Axiome müssen nicht beantwortet werden, es reicht, sie zu setzen. Den grammatischen Unterschied, den du zwischen den Axiomen behauptest, kann ich nicht erkennen (Daniel5Ko: dito) – beschreib ihn doch mal? --Chricho ¹ ² ³ 21:40, 5. Sep. 2017 (CEST)

Sag mal, willst Du Dich jetzt mit Absicht dumm stellen, oder begreifst Du es wirklich nicht? So, wie es bei der Sprache einen Unterschied zwischen Behauptung und Frage gibt, unterscheiden sich die genannten Axiome darin, daß die Axiome 2 und 5 auf Kenntnisse der Menge der Natürlichen Zahlen berufen, die laut Deinem Hinweis auf die Prädikatenlogik als nicht vorhanden zu gelten hätten. Die Axiome 1, 3 und 4 tun dies nicht. Man kann also mittels einer Sprache sowohl eine Behauptung formulieren als auch eine Frage, und man kann sich im Rahmen von Axiomen auf Vorkenntnisse beziehen (was fehlerhaft ist) oder dies vermeiden.--Wikilaser (Diskussion) 16:08, 6. Sep. 2017 (CEST)

Ich beschreib dir mal, wie die Grammatik hier grundsätzlich aussieht: Man kann Beziehungsaussagen durch Gebrauch der Zeichen $=$ (mit zwei Termen links und rechts, die wiederum Variablen, Funktionen und die 0 enthalten dürfen), $\in$, $\subseteq$ machen. Solche Aussagen kann man nun durch Junktoren und Quantoren zu komplexeren Aussagen erweitern/zusammenfügen. So werden Sätze gebaut und sonst gar nicht. Und jetzt erklär mir, auf welcher Ebene dieser Grammatik die Unterscheidung zwischen „auf Kenntnis von … beruhen“ und „nicht auf Kenntnis von … beruhen“ ansetzt. Welches Zeichen zeigt diesen Unterschied an? Oder ist die spezifische Kombination, die das „Beruhen auf Kenntnis“ einführt? Dann erklär mir, bei welcher Junktor- oder Quantorkombination auf einmal Kenntnis ansetzt? Alle fünf Sätze benutzen das Symbol $\mathbb {N}$, da kann der Unterschied nicht liegen. --Chricho ¹ ² ³ 18:00, 6. Sep. 2017 (CEST)

Die Frage ist falsch gestellt: Nicht "welches Zeichen macht den Unterschied", sondern "welche Aussage macht den Unterschied" muß die Frage heißen.

Axiom 1 ist eine ganz einfache Definition eines bestimmten Elements: 0 ist ein Element der Natürlichen Zahlen. Also eine Aussage, die keine Kenntnis über die Menge der Natürlichen Zahlen voraussetzt. Axiom 5 dagegen vergleicht die Mengen X und N miteinander. Und hierfür müssen bereits Kenntnisse über die Natürlichen Zahlen vorliegen, man muß nämlich wissen, welche Nachfolger n' tatsächlich Natürliche Zahlen sind. In meinem Beispiel weiter unten mit den Transzendenten Zahlen wird das klar, denn eine Transzendente Zahl ist nun einmal kein Element der Natürlichen Zahlen. Und das muß man wissen, wenn man gemäß Axiom 5 feststellen will, ob eine Menge X der Menge N entspricht oder nicht. Übrigens muß ich mich korrigieren, Axiom 2 setzt doch keine Kenntnis der Natürlichen Zahlen voraus.--Wikilaser (Diskussion) 23:27, 6. Sep. 2017 (CEST)

Nein, Axiom 1 ist keine Definition, sondern setzt die Objekte 0 und $\mathbb {N}$ miteinander in Beziehung und braucht dafür keine Kenntnisse über 0 und $\mathbb {N}$, genauso wie das Axiom 5 $\mathbb {N}$ mit jeder beliebigen Menge in Beziehung setzt und dafür keine Kenntnisse über $\mathbb {N}$ voraussetzt. --Chricho ¹ ² ³ 10:54, 8. Sep. 2017 (CEST)

Du nennst es "miteinander in Beziehung setzen", ich nenne es "miteinander vergleichen". Wo ist da jetzt der Unterschied?--Wikilaser (Diskussion) 01:05, 9. Sep. 2017 (CEST)

Vllt. hilft es für das Verständnis, darauf hinzuweisen, dass die Darstellung – bei Übersetzung in eine moderne Sprache – möglichst nah an Peano zu bleiben sucht. Ich lasse deshalb jetzt einmal alles ZFC und alle Modelltheorie, die erst später entwickelt wurden, beiseite und wir versuchen, den Kontext bei Peano zu beschreiben: Peano setzt eine gewisse logische Sprache voraus, in der es neben aussagenlogischen Operationen auch Klassen (heute würde man sagen Mengen) und Funktionen gibt. Nun stellt er Axiome der natürlichen Zahlen auf, für die er die Zeichen 0 (im Original 1), N und „…+1“ (im Original außerdem =, aber die Axiomatisierung der Gleichheit sei jetzt einmal vorausgesetzt). Die 1 ist dabei eine „Entität“ (eine Individuenkonstante würde man heute sagen), N eine Klasse und „…+1“ eine Funktion. „Entität“, Klasse und Funktion sind so etwas wie Wortarten in der Grammatik. Der Sinn davon, Axiome anzugeben, liegt nun gerade darin, die Voraussetzungen, die man sonst implizit macht, explizit und damit kontrollierbar zu machen. Wenn du nun sagst, Axiom 4 bräuchte es nicht, setzt du bereits ein Wissen über das „…+1“ voraus – gerade dieses soll jedoch vom Axiom 4 explizit gemacht werden: Ohne die Axiome wissen wir nur, dass „…+1“ eine Funktion ist, für jede „Entität“ x also x+1 auch eine „Entität“ ist (das ist etwas rein sprachliches, syntaktisches, so ähnlich wie in der deutschen Sprache für alle Nominalphrasen „x“ und „y“ dann „x und y“ auch eine Nominalphrase ist), ob aber nicht zum Beispiel vielleicht manchmal x=x+1 ist, wissen wir nicht. Wir wissen, dass x+1 ist, nicht aber was x+1 ist. In dem Kontext von Peano gibt es in der Tat nur eine Menge der natürlichen Zahlen, nur eine 0 und nur ein „…+1“ – das ist nur eine andere Ausdrucksweise dafür, festzustellen, dass N, 0 und „…+1“ so etwas wie Eigennamen sind, einmal gewählte und dann nicht mehr ersetzte Zeichen. Darüber, was es nun ist, was diese Namen bezeichnen, werden keine weiterführenden Aussagen gemacht, als dass noch natürlichsprachliche Umschreibungen gegeben werden (1 ist unitas etc.), ohne dass auf diese jedoch weiter zurückgegriffen wird. Wichtig ist nur der Gebrauch dieser Zeichen im Kontext.

Andere als Peano (Dedekind, Russell, Zermelo, von Neumann) sind dazu übergegangen, unter anderen sprachlichen Voraussetzungen als Peano, die natürlichen Zahlen nicht als Zeichen N, 0, „…+1“ einzuführen, über die dann axiomatische Voraussetzungen gemacht werden, sondern diese selbst zu definieren. So wie Peano die 1 definiert als 0+1 und die 2 als 1+1, so werden dann N, 0 und „…+1“ nicht als irreduzible Zeichen stehen gelassen, sondern selbst definiert, beispielsweise als Mengen. Dafür gibt es jetzt natürlich unterschiedliche Möglichkeiten. Ersetzt man nun in den Peano-Axiomen die Ausdrücke N, 0 und „…+1“ durch mengentheoretische Definitionen, so erhält man Sätze, die sich wiederum aus mengentheoretischen Axiomen – die allerdings Peano noch nicht kannte – als gültige Sätze beweisen lassen. Man sagt dann auch dafür, dass die Peano-Axiome für diese – nunmehr definierten – Objekte N,0,„…+1“ gelten, sie von ihnen erfüllt sind – und solche Objekte, für die die Peano-Axiome gelten, lassen sich in der Mengenlehre sehr viele angeben, wir können die Elemente von N und die 0 beliebig wählen, nur die durch „…+1“ definierte Beziehung unter ihnen muss passen. Dies liegt gerade daran, dass die Peano-Axiome eben nur syntaktische Eigenschaften von N, 0 und „…+1“ voraussetzen, Wissen darüber, „was“ diese Objekte denn sind, nicht in sie eingeht (bzw. erst durch sie formuliert wird). --Chricho ¹ ² ³ 13:52, 23. Aug. 2017 (CEST)

Also zu behaupten, daß x und x+1 gleich sein könnten, weil man nicht wisse, was x oder 1 überhaupt sei, halte ich für ziemlich abwegig. Sollten Mathematiker jedoch tatsächlich davon ausgehen, verlangte das ja geradezu nach einer Definition der Natürlichen Zahlen, die weit über das hinausgeht, was Peano formulierte.--Wikilaser (Diskussion) 02:44, 24. Aug. 2017 (CEST)

Wenn es dich beruhigt: Man kann zeigen, dass $x$ nie gleich $x+1$ ist. Dafür benötigt man aber die Axiome 3 bis 5, deren Sinn du ja die ganze Zeit in Frage stellst. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:37, 24. Aug. 2017 (CEST)

Axiom 3 zweifle ich nicht an, sondern lediglich die Notwendigkeit der Axiome 4 und 5 (wobei letzteres hier gar nicht zur Diskussion steht, das können wir gern später noch ausdiskutieren). Nebenbei bemerkt wundere ich mich immer über die Formulierung "man kann zeigen, daß ...". Warum zeigt man es dann nicht gleich? Ferner hatte Benutzer Chricho angesprochen, daß man nicht wisse, ob nicht auch manchmal x = x + 1 sein könne, nicht ich.--Wikilaser (Diskussion) 23:46, 24. Aug. 2017 (CEST)

Also, wenn ich mit "man kann leicht zeigen,..." argumentiere, meine ich meist: Fange einfach irgendwie an, selbst einen Beweisversuch zu unternehmen. Die Zielgerade wird beinahe sofort im Blick sein. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:31, 25. Aug. 2017 (CEST)

Netter Versuch, die Beweislast umzukehren. Davon abgesehen reichen mir zur Erstellung der Natürlichen Zahlen die Axiome 1 bis 3 (sofern der Abstand zwischen n und n' stets 1 ist), da die Beziehung zwischen Vorgänger (erstmals die 0) und Nachfolger stets beidseitig ist. Man kann Vorgänger und Nachfolger nicht voneinander trennen. Wenn Du mein Doppelhaus-Beispiel mal genau durchdenkst, wird Dir hoffentlich klar, daß wenn B der rechte Nachbar von A ist, A automatisch der linke Nachbar von B ist. B kann niemals sagen, A sei nicht sein rechter Nachbar. Genauso ist es mit dem Nachfolger der 0, der kann auch niemals als sein eigener Nachfolger gelten, weil dadurch seine Beziehung zur 0 verletzt würde. Folgerichtig ist der Nachfolger des Nachfolgers der 0 zwingend eine andere Zahl als der Nachfolger der 0 selbst. Und für dessen (und jeden weiteren) Nachfolger gilt das genauso. Da aufgrund von Axiom 2 jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist, läßt sich die Menge der Natürlichen Zahlen auf der Grundlage der Axiome 1 bis 3 vollständig aufstellen, ohne daß Axiom 4 oder 5 benötigt werden.--Wikilaser (Diskussion) 09:26, 25. Aug. 2017 (CEST)

Ich sagte doch, der Beweis ist trivial. Wir definieren $X:=\{n\in \mathbb {N} \mid n\neq {\mathsf {S}}n\}$ und zeigen per Axiom 5, dass $\mathbb {N} \subseteq X$, was gerade das zu zeigende ist. $0\in X$ gilt wegen Axiom 3, $\forall n.\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}n\in X$ ist eine simple Folgerung aus Axiom 4. Es hätte dir übrigens sehr beim Verstehen geholfen, wenn du selbst versucht hättest, einen Beweis zu entwickeln. --Daniel5Ko (Diskussion) 22:34, 25. Aug. 2017 (CEST)

Indem ich die Axiome 1 bis 3 anwende, komme ich bereits zu unendlich vielen Natürlichen Zahlen, die alle voneinander verschieden sind. Ich muß nicht erst mittels Axiom 4 in der Menge der Natürlichen Zahlen nach einem Beispiel suchen, bei dem zwei Natürliche Zahlen denselben Nachfolger haben. Warum? Weil es bei der Anwendung der Axiome 1 bis 3 überhaupt nicht dazu kommen kann. Und ich muß auch nicht mittels Axiom 5 die Einbettung der Menge der Natürlichen Zahlen in eine andere Menge (zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen) überprüfen, um die Natürlichen Zahlen mittels der Axiome 1 bis 3 aufzustellen. Warum? Weil die Einbettung in eine andere Menge für die Vollständigkeit der Menge der Natürlichen Zahlen überhaupt nicht von Belang ist.--Wikilaser (Diskussion) 00:19, 26. Aug. 2017 (CEST)

Siehe unten. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:58, 26. Aug. 2017 (CEST)

Die Bedeutung eines Nachfolgers in den natürlichen Zahlen soll durch die Axiome ja erst angegeben werden. Dass zu einem Nachfolger auch ein eindeutiger Vorgänger gehört und sich Vorgänger und Nachfolger unterscheiden, das sollen die Axiome erst explizit machen, ohne dass man es implizit voraussetzen muss. --19:46, 25. Aug. 2017 (CEST)

Ich setze den Unterschied von Vorgänger und Nachfolger doch gar nicht implizit voraus. Das formulierte Peano sogar explizit, indem er mittels Axiom 3 einen klaren Unterschied zwischen der 0 und ihrem Nachfolger formulierte. Lediglich den Schluß, daß dann auch jeder weitere Nachfolger unterschiedlich sein müsse, muß man dann noch ziehen. Und zwar auch nicht implizit, weil die Beziehung zwischen Vorgänger und Nachfolger nicht trennbar ist. Wenn also bereits der erste Nachfolger unterschiedlich zu seinem Vorgänger ist, dann gilt das für jeden weiteren Nachfolger ebenfalls, weil Peano in seinen Axiomen jeden Nachfolger grundsätzlich mit n' bezeichnete. Ich sehen daher keinen Grund, die Axiome 4 und 5 hinzuziehen zu müssen, um die Menge der Natürlichen Zahlen fehlerfrei aufstellen zu können. Lediglich in der Frage, wie groß der Abstand zwischen jedem Vorgänger und Nachfolger sein soll, könnte man über ein eigenes Axiom diskutieren.--Wikilaser (Diskussion) 00:19, 26. Aug. 2017 (CEST)

„Also zu behaupten, daß x und x+1 gleich sein könnten, weil man nicht wisse, was x oder 1 überhaupt sei, halte ich für ziemlich abwegig.“ Durch das Axiom 3 weiß man, dass $0\neq 1$, mit dem Axiom 4 weiß man dann auch, dass $0+1=1\neq 2=1+1$ (denn sonst wäre laut Axiom 4 auch $0=1$), dann weiß man auch, dass $1+1=2\neq 3=2+1$ (denn sonst wäre laut Axiom 4 auch $1=2$), dann weiß man auch, dass $2+1=3\neq 4=3+1$ (denn sonst wäre laut Axiom 4 auch $2=3$) usw. usf. Und dank Axiom 5 weiß man dann auch, dass tatsächlich für alle natürlichen Zahlen $x\neq x+1$ gilt.

Ich hebe meinen Beitrag mal fett hervor, weil er möglicherweise übersehen wurde.--Wikilaser (Diskussion) 10:37, 28. Aug. 2017 (CEST)

Wenn man weiß, daß 0 ungleich 1 ist, und wenn man außerdem weiß, daß 0 + 1 = 1 ist, dann weiß man auch, daß 1 + 1 ungleich 0 + 1 sein muß.--Wikilaser (Diskussion) 00:28, 26. Aug. 2017 (CEST)

Doch bevor man die Axiome 4 und 5 eingeführt hat, weiß man das nicht, bzw. man sieht eben davon ab, dass man es weiß, wendet dieses Wissen nicht an, sondern versucht es erst in möglichst wenig Axiomen zu formulieren und dann alles weitere Wissen nur aus diesen Axiomen zu beweisen, ohne irgendein Wissen zu benutzen, das man sonst schon hat (den Anspruch, warum in dieser Zeit die Axiomatisierungen aufkamen, hat Dedekind sehr schön formuliert: „Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.“).

Ohne die Axiome 4 und 5 könnte es sein (oder könnte man zumindest nicht ausschließlich von den Axiomen 1–3 ausgehend widerlegen), dass es nur die zwei Zahlen 0 und 1 gäbe und $1+1$ wäre wiederum $1$, oder dass es zusätzlich zu den üblichen natürlichen Zahlen noch eine „zweite Null“, ein ${\mathfrak {0}}\neq 0$ mit ${\mathfrak {0}}+1=1$ gäbe, oder es könnte zusätzlich noch eine Zahl $\infty$ mit $\infty +1=\infty$ geben, und viele weitere Möglichkeiten gäbe es. --Chricho ¹ ² ³ 19:31, 25. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal als ganz klare Frage an dich, Wikilaser: Kleines Gedankenspiel: Stell dir vor, alle Zahlen größer als 1 gäbe es nicht, die natürlichen Zahlen, das wären nur die 0 und die 1. Und nun wäre $0+1=1$ (1 der Nachfolger von der 0) und $1+1=1$ (1 der Nachfolger von der 1). Wären dann die Axiome 1–3 erfüllt, ja oder nein? --Chricho ¹ ² ³ 19:48, 25. Aug. 2017 (CEST)

Du übersiehst dabei, daß Peano in Axiom 2 bestimmte, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der seinerseits ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Und Axiom 3 bestimmt, daß die 0 (und nur diese) kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist. Daraus folgt unweigerlich, daß es nicht nur zwei Natürliche Zahlen gibt, wie Du es in Deinem Gedankenspiel probierst, sondern unendlich viele. Folglich ist meine Antwort auf Deine Frage: Nein, dann sind die Peano-Axiome 1 bis 3 nicht erfüllt, weil die 1 dann keinen Nachfolger hätte, was aber gegen Axiom 2 verstieße.--Wikilaser (Diskussion) 00:19, 26. Aug. 2017 (CEST)

"Daraus folgt unweigerlich, daß es nicht nur zwei Natürliche Zahlen gibt." Beweise das. (Tipp: Es wird dir nicht gelingen können, da es, wie hier schon mehrfach geschehen, sehr leicht ist, eine zweielementige Menge zusammen mit der Angabe, was 0 und was die Nachfolgerfunktion ist, anzugeben, die die Axiome 1 bis 3 erfüllt.) Die 1 in Chrichos Beispiel hat einen Nachfolger. Der ist 1. Vielleicht gefällt dir das nicht, weil die Bezeichnung "Nachfolger" dann komisch ist. Aber genau zu dem Zweck kommen ja die anderen Axiome ins Spiel: um komische angebliche "Nachfolger"funktionen zu verbieten. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:58, 26. Aug. 2017 (CEST)

Eine weitere 1 als Nachfolger der ersten 1 ist unmöglich, da die Beziehung der ersten 1 als Nachfolger der 0 bereits besteht, und diese Beziehung ist beiderseitig, nicht nur einseitig: 1 ist Nachfolger der 0 und 0 ist Vorgänger der 1. Damit ist ausgeschlossen, daß eine 1 Nachfolger dieser ersten 1 sein kann. Wie kann man bitte so einen Unsinn denken, daß eine Zahl ihr eigener Nachfolger sein kann? Nochmal, das wäre ein Zirkelschluß: 1 ist der Nachfolger der 1 ist der Nachfolger der 1 ist der Nachfolger der 1 etc. Das beißt sich eindeutig mit dem Vorgänger 0 der 1. Man kann nicht einerseits sagen, 1 ist der Nachfolger der 0, um dann andererseits zu behaupten, 0 sei nicht der Vorgänger der 1, um dann eine 1 als Nachfolger dieser 1 zu konstruieren, die den Vorgänger 1 habe. Deshalb: Axiom 4 ist unnötig.--Wikilaser (Diskussion) 10:01, 28. Aug. 2017 (CEST)

@Wikilaser: Nicht eine weitere 1, sondern dieselbe 1. Der Vorgänger-Begriff wird nirgends vorausgesetzt (siehst du in den Axiomen irgendwo eine Vorgängerfunktion?), nur der Nachfolgerbegriff (nur der wird als sprachliches Element vorausgesetzt): Der Nachfolger ist eine Funktion (jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger), dass diese injektiv ist (und deshalb Vorgänger eindeutig sind, was du Beidseitigkeit nennst), wird nirgends vorausgesetzt. Einen Zirkel hätten wir in der Tat (die Nachfolgefunktion kommt in einen Zirkel), mein Schließen jedoch nicht: Ich nehme an, dass 1 der Nachfolger der 1 ist und komme zu keinem Widerspruch mit den Axiomen 1–3.

Versuch doch nochmal mein Gedankenspiel ernst zu nehmen: Sieh von allem ab, was du über natürliche Zahlen weißt (sie sind jetzt für dich eine gänzlich unbekannte Menge), setze nur voraus, dass es eine einstellige Funktion auf ihnen gibt (nenne sie Nachfolgerfunktion), dann nimm an, dass nur 0 und 1 zu den natürlichen Zahlen zählen, und definiere die Nachfolgefunktion so, dass 1 der Nachfolger der 0 und 1 der Nachfolger der 1 ist (stimmst du bis hierhin zu, dass das formallogisch vorstellbar ist?). Jetzt schau dir die Axiome 1–3 an: Sind es wahre Aussagen, ja oder nein? Ich denke ja, Axiom 1 gilt, Axiom 2 gilt, Axiom 3 gilt – wenn du mit mir nicht übereinstimmst, dann sag mir bei welchem Schritt du nicht mehr mitgehen kannst. --Chricho ¹ ² ³ 11:20, 28. Aug. 2017 (CEST)

Aus dem Nachfolgerbegriff erwächst automatisch, zwingend und logisch ein Vorgängerbegriff. Denn ansonsten wäre die 0 nicht Vorgänger der 1, die jedoch ihr Nachfolger ist. Und wenn Du, wie Du jetzt einwirfst, sogar dieselbe 1 als ihren eigenen Nachfolger definieren willst (was ich eben für völlig unsinnig halte), wie willst Du dann eben die 0 von der 1 unterscheiden, die nun einmal aufgrund der Nachfolgerfunktion der einzige Nachfolger (Axiom 2: Jede Natürliche Zahl hat einen (und nicht zwei oder mehr) Nachfolger, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist) der 0 ist? Nach Deiner Sichtweise wäre die 1 dann sowohl Nachfolger der 1 als auch Nachfolger der 0, sie hätte also zwei Vorgänger, was jedoch durch die automatische, zwingende und logische Vorgängerzuordnung, die aus der Nachfolgerregel erwächst, nicht möglich ist. Um also Deine Zwischenfrage nach der formallogischen Vorstellbarkeit zu beantworten: Nein, das ist unlogisch.--Wikilaser (Diskussion) 18:10, 28. Aug. 2017 (CEST)

Zum Beispiel auf der Menge aller russischen Präsidenten ist auch eine Nachfolgerfunktion definiert. Da ist aber Putin sowohl Nachfolger von Jelzin als auch von Medwedew :) -- HilberTraum (d, m) 17:06, 28. Aug. 2017 (CEST)

Nun, Putin wurde zunächst zum 2., dann zum 3. und später zum 5. Präsidenten Russlands gewählt. Die Menge russischer Präsidenten ist jedoch nicht vergleichbar mit der Menge der Natürlichen Zahlen. Keine weitere Stellungnahme zu diesem Einwurf, lieber HilberTraum.--Wikilaser (Diskussion) 18:10, 28. Aug. 2017 (CEST)

Schade eigentlich. Trotz des Smileys war das Beispiel schon als hilfreich gedacht. Ich hatte hier mitgelesen und mir gedacht, so ein Beispiel ganz ohne den Formelkram, mit dem man in einigen der anderen Beiträge zugetextet wird, könnte die Bedeutung der Peano-Axiome vielleicht verständlicher machen. -- 19:34, 28. Aug. 2017 (CEST)

Nur, weil es mir gerade einfiel: Der Putin, der zum 3. Präsidenten Russlands gewählt wurde, ist nicht derselbe Putin wie der, der zum 2. Präsidenten Russlands gewählt wurde. Es handelt sich zwar um dieselbe Person, aber sie hat nicht dieselben Eigenschaften, denn als 3. Präsident war er älter als als 2. Präsident, und als 5. Präsident war er älter als als 2. und 3. Präsident. Man kann also selbst da sagen, es handelt sich nicht um exakt denselben Nachfolger.--Wikilaser (Diskussion) 21:42, 28. Aug. 2017 (CEST)

Es ist aber ein ganz natürliches Konzept, Menschen, die eine bestimmte Eigenschaft gemeinsam haben (z. B. Präsident Russlands zu sein oder gewesen zu sein) zu einer Menge zusammenzufassen, unabhängig von anderen Eigenschaften. Nichts anderes machen auch unsere Kategorien: Kategorie:Präsident der Russischen Föderation enthält das Element Putin und nicht verschiedene „Putins“ unterschiedlichen Alters. -- HilberTraum (d, m) 23:34, 28. Aug. 2017 (CEST)

Man kann nicht das Element Putin zu einem in sämtlichen Eigenschaften unveränderlichen Element erklären, wenn das Element Putin im Rahmen der Legislaturperioden Russlands in einem Teil seiner Eigenschaften (hier das Alter) Veränderungen unterworfen ist. Bezogen auf die Natürlichen Zahlen hieße das, eine Natürlichen Zahl n würde sich in einem Teil ihrer Eigenschaften verändern, was nichts anderes bedeuten würde, daß sie nicht mehr die Natürliche Zahl n wäre, sondern eine andere (möglicherweise nicht einmal mehr Natürliche) Zahl. Wenn man von einem Element spricht, dann stets von einem Element in allen seinen Eigenschaften.--Wikilaser (Diskussion) 23:04, 29. Aug. 2017 (CEST)

@Wikilaser: Da habe ich aber Zweifel, dass das die „herkömmliche Logik“ ist. Wenn du über Beziehungen von Putin zu anderen Entitäten sprichst, sprichst du also immer nur von Putin zu einem einzigen Augenblick? Wenn du einen Satz über Putin in der Gegenwart aussprichst, verlangst du dessen Geltung nur zu einem Augenblick und im nächsten nicht mehr? Vllt. gibt es wesentliche/notwendige Eigenschaften von Putin, genauso wie es wesentliche Eigenschaften von Zahlen gibt, und wir könnten Putin als durch diese wesentlichen Eigenschaften über alle Zeit hinweg bestimmt ansehen? Je nach Verständnis von Notwendigkeit, können übrigens auch Eigenschaften von Zahlen nicht notwendig (etwa nicht beweisbar) sein. Und wer sagt überhaupt, dass die Identität von Eigenschaften abhängt? Sowohl in der Mathematik als auch im Alltag spricht man oft von Objekten, Dingen, Personen, ohne dass man die (geschweige denn wesentlichen) Eigenschaften genau kennt, durch die man sie identifizieren bzw. voneinander unterscheiden könnte. Vllt. lässt sich Identität gar nicht immer durch wesentliche Eigenschaften bestimmen, sondern ist eine Relation, die sich nur aus ihrem Verhältnis zu anderen relationalen Aussagen näher bestimmen lässt? Ein solcher Ansatz ist für die Mathematik jedenfalls sehr fruchtbar, so wird Gleichheit als eine Beziehung aufgefasst, die wechselseitige Ersetzbarkeit in möglichst vielen Kontexten erlaubt. Umgekehrt heißt Ungleichheit aber nicht unbedingt Unterscheidbarkeit auf Grundlage einer Eigenschaft. Das führt jetzt vom Thema ab, solche Fragen weiter zu erläutern. Es ist jedoch keineswegs so, dass das nur die weltfremde Willkür der Mathematiker ist, Begriffe so zu verstehen, nein, dieses Verständnis hat zumindest enge Beziehungen auch zu philosophischen Ansätzen. Für den Fall Putin noch eine einfache Anmerkung: Vllt. gehört es gerade zu Aussagen über die Geschichte dazu, dass man über Individuen auch über die Zeit hinweg spricht. Wenn du nur Aussagen erlauben möchtest, die sich auf Personen zu je einer bestimmten Zeit beziehen – auch wenn man dann über Putin am 2. Januar 2005, 12:19 und Putin am 15. Oktober 2016 um 19:03 spricht, wird es so doch schwer Zusammenhänge darzustellen, du müsstest dann jedes Mal erst erläutern, dass diese beiden sich auseinander entwickelt haben – und woran genau machst du das fest (vgl. personal identity)? Da ist es doch einfacher, wenn man einfach von Putin als einem Individuum spricht (wie das herkömmlich auch alle tun) und nur bei Bedarf auf bestimmte Zeiten einschränkt. Dann hat man auch kein Problem damit, einfach zu sagen, Putin sei Nachfolger von Jelzin und von Medwedew, und schränkt dann nur bei Bedarf auf Putin als 2. Präsidenten und Putin als 4. Präsidenten ein. Schöne Grüße --Chricho ¹ ² ³ 16:48, 30. Aug. 2017 (CEST)

Es ging zunächst um Natürliche Zahlen, von denen man (so nehme ich jedenfalls an) alle Eigenschaften kennt, diese auch alle wesentlich sind und sie sich auch nicht verändern. Deshalb habe ich den Einwurf gebracht, daß man bei Putin eben nicht alle Eigenschaften kennt und sich auch manche verändern können. Nebenbei bemerkt darf ich an dieser Stelle daran erinnern, was Adenauer einst sagte: "Was interessiert mich mein Geschwätz von gestern?". So, und nun würde ich diesen Nebenschauplatz gern verlassen, denn er trägt nichts zum näheren Verständnis der Peano-Axiome bei.--Wikilaser (Diskussion) 22:45, 30. Aug. 2017 (CEST)

Nein, man kennt nicht alle Eigenschaften natürlicher Zahlen, sonst wäre in der Zahlentheorie ja nichts mehr zu erforschen (so weiß zum Beispiel niemand, ob $65537$ die größte Primzahl der Form $2^{2^{n}}+1$ ist, siehe Fermat-Zahl). Außerdem weiß man, dass es Eigenschaften natürlicher Zahlen gibt, für die sich zum Beispiel in der Peano-Arithmetik genau dann beweisen lässt, dass sie einer Zahl zukommen, wenn sich zugleich beweisen lässt, dass sie ihr nicht zukommen (sodass die Peano-Arithmetik widersprüchlich wäre). Oder vereinfacht gesagt: Wenn wir annehmen, dass die Peano-Arithmetik nicht widersprüchlich ist, gibt es eine Eigenschaft einer natürlichen Zahl, für die wir nicht erkennen können, ob sie oder ihr Gegenteil der Zahl zukommt – ob wir trotzdem sagen sollten, dass einer der beiden Fälle zutrifft, wir es aber nicht erkennen können, darüber kann man jetzt streiten. Mit der Philosophie der Mathematik ists nicht unbedingt einfacher bestellt als mit der übrigen Philosophie. --Chricho ¹ ² ³ 11:14, 31. Aug. 2017 (CEST)

Ok, mag sein, daß man noch nicht alle Eigenschaften aller Natürlicher Zahlen kennt. Aber um herauszufinden, ob eine Zahl eine Natürliche Zahl ist oder nicht, ist es völlig nebensächlich, ob sie beispielsweise eine größte Primzahl nach einem bestimmten Muster ist oder nicht. Das Alter eines Russischen Präsidenten ist jedoch sehr wohl wesentlich (jedenfalls wesentlicher als die vorgenannte fragliche Primzahleigenschaft), denn mit dem Alter gehen beispielsweise auch Erfahrungen einher, über die er während seiner Präsidentschaft verfügt. Aber jetzt genug mit diesem Nebenschauplatz!--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

Plakativ gesagt: Man wird sie nie alle kennen und es gibt sogar unerkennbare. Das mag man für eine Beleidigung der Vernunft halten, es ist jedoch eine Beleidigung, die sich die Vernunft aus innerer Konsequenz in Reflexion auf die natürlichen Zahlen selbst zugefügt hat (Satz von Gödel-Rosser). --Chricho ¹ ² ³ 15:36, 31. Aug. 2017 (CEST)

@Wikilaser: „Aus dem Nachfolgerbegriff erwächst automatisch, zwingend und logisch ein Vorgängerbegriff“ – nein, so wie du das verstehst nur bei Injektivität der Nachfolgerfunktion.

Die 1 kann ich in meinem Szenario sehr leicht von der 0 unterscheiden: Die 1 ist ihr eigener Nachfolger, die 0 ist nicht ihr eigener Nachfolger (es ist aber auch nicht zwingend nötig, dass ich sie durch solche Eigenschaften unterscheiden kann, es ist ja die Gleichheitsrelation (und damit auch ein Begriff von Ungleichheit) vorausgesetzt, 0 ist nicht gleich 1).

Ferner habe ich die Eigenschaft, ihr eigener Nachfolger zu sein, nicht als Definition der 1 gebraucht. Ich habe hingegen vorausgesetzt, dass es die 1 gibt, ohne weitere Definition, und dann Eigenschaften angegeben. Ich könnte das Szenario auch mit einer Definition machen, dann würde ich die 1 als Nachfolger der 0 definieren.

Zum Gedankenexperiment: Warum ist es unlogisch? Wäre es auch unlogisch, wenn ich die besagte einstellige Funktion nicht Nachfolgerfunktion, sondern einfach u nennen würde?

Ich formuliere das Gedankenexperiment anders: Sei $u$ eine einstellige Funktion und $A$ die Menge $A=\{0,1\}$. Es sei $u(0)=1$ und $u(1)=1$. Stimmst du mir zu, dass dann die folgenden drei Sätze gelten?

1. $0\in A$
2. $\forall n(n\in A\Rightarrow u(n)\in A)$
3. $\forall n(n\in A\Rightarrow u(n)\not =0)$

Gehst du bis hierhin mit? Ändert sich nun irgendetwas, wenn ich die Funktion $u(\Box )$ in $\Box '$ oder in $\Box +1$ umbenenne (also statt $u(x)$ lieber $x'$ oder $x+1$ schreibe)? Ändert sich etwas, wenn ich $A$ in $\mathbb {N}$ umbenenne? Ändert sich etwas, wenn ich statt $u(x)$ „Nachfolger von x“ sage? Ich denke nein. Wenn ich diese Umbenennungen gemacht habe, habe ich dann etwas anderes als die ersten 3 Peano-Axiome? Ich denke nein. Bis wohin stimmst du zu? --Chricho ¹ ² ³ 19:02, 28. Aug. 2017 (CEST)

@Chricho: Die Nachfolgerfunktion kann nur injektiv sein. Denn wenn sie es nicht wäre, wäre man sofort in der Erklärungsnot, was denn die 0 aus Sicht der 1 sein soll, wenn nicht ihr Vorgänger. Der zwingende Zusammenhang (1 ist Nachfolger der 0, daraus folgt 0 ist Vorgänger der 1) läßt sich meines Erachtens nach nicht wegdiskutieren oder gar wegdefinieren. Mir scheint, gerade der Begriff einer "einstelligen Funktion" ist wohl der Knackpunkt. Und ich halte ihn in diesem Zusammenhang für nicht anwendbar. Man kann nicht sagen, die 1 solle zwar Nachfolger der 0 sein, aber zugleich solle die 0 nicht Vorgänger der 1 sein. Das ist schlicht unlogisch.--Wikilaser (Diskussion) 21:06, 28. Aug. 2017 (CEST)

Wozu soll das wichtig sein, was „die 0 aus Sicht der 1“ ist? Wenn man gemeinsprachlich und in der Mathematik von Vorgänger und Nachfolger spricht, wird übrigens je nach Kontext weder Injektivität vorausgesetzt noch, dass das überhaupt Funktionen sind. Vielmehr werden „Vorgänger sein von …“ und „Nachfolger sein von …“ als zweistellige Relationen aufgefasst, die Präsidenten sind da ein gutes Beispiel, Jean-Bertrand Aristide hat als Staatspräsident vier Amtsvorgänger und vier Amtsnachfolger. Und was ist, wenn ich dir sage, dass Peano eben die Nachfolgerfunktion nicht als injektiv vorausgesetzt hat, und überhaupt keinen Vorgänger-Begriff vorausgesetzt hat?

Ansonsten: Wie stehts mit dem Gedankenexperiment? --Chricho ¹ ² ³ 21:20, 28. Aug. 2017 (CEST)

Laß Dein Gedankenexperiment erst einmal beiseite. Wozu soll das wichtig sein, was die 0 aus Sicht der 1 ist? Es ist nun einmal durch die Nachfolgefunktion eine Beziehung zwischen 0 und 1 vorhanden, die man nicht wegdiskutieren kann. Und diese Beziehung ist nun einmal automatisch und zwingend beidseitig wirksam. Wie kommst Du denn darauf, daß man die Begriffe Nachfolger und Vorgänger isoliert voneinander benutzen könne?--Wikilaser (Diskussion) 21:28, 28. Aug. 2017 (CEST)

Etwas weiter oben schrieb ich noch:

Wenn man weiß, daß 0 ungleich 1 ist, und wenn man außerdem weiß, daß 0 + 1 = 1 ist, dann weiß man auch, daß 1 + 1 ungleich 0 + 1 sein muß.

Vielleicht hast Du es übersehen? Es wäre nett, wenn Du darauf eingehen würdest.--Wikilaser (Diskussion) 21:31, 28. Aug. 2017 (CEST)

Zum ersten Punkt: Wer sollte mich dazu zwingen, auch von Vorgängern zu reden, wenn ich von Nachfolgern spreche? Peano macht es zum Beispiel so: Er nennt eine einstellige Funktion Nachfolgerfunktion, ohne von irgendeinem Vorgängerbegriff auszugehen. Was sollte das Problem sein? Es ist eine bloße Benennung: Es soll eine einstellige Funktion geben und die nenne ich Nachfolgerfunktion – fertig, keine weiteren Voraussetzungen.

Der Zwang ergibt sich aus dem Sachverhalt selbst. Schreib doch mal eine 0 auf ein Blatt Papier. Dann schreibe irgendein Symbol, das Du als Nachfolger haben willst, daneben. Dann siehst Du mit eigenen Augen, daß die Beziehung zwischen der 0 und ihrem Nachfolger beidseitig ist. Du kannst nicht von einem Nachfolger reden, ohne einen Vorgänger zu haben. Die 0 hat ausschließlich nur deshalb keinen Vorgänger, weil Peano das in seinem Axiom 3 ausdrücklich formuliert hat. Damit sagt er glasklar aus, daß alle Natürliche Zahlen mit Ausnahme der 0 eine Natürliche Zahl als Vorgänger haben. Dazu ist nicht erforderlich, daß er den Begriff Vorgänger in irgendeiner Weise explizit gebraucht. Es ist eine Sache der Logik, daß zwei Objekte, die nebeneinander stehen, in gegenseitiger Beziehung zueinander benachbart sind. Da führt kein Weg dran vorbei. Sollte man in der Mathematik tatsächlich in diesem Zusammenhang von einer lediglich einseitigen Beziehung ausgehen, dann ist das ein Logikfehler. Ohne wenn und aber.--Wikilaser (Diskussion) 23:05, 28. Aug. 2017 (CEST)

Zum zweiten Punkt: Man weiß das erst durch Axiom 4 (bzw. du weißt es vllt., weil du Injektivität der Nachfolgefunktion voraussetzt, oder eine Äquivalenzumformungsregel für Additionsterme – Peano macht beides nicht).

Man weiß es auch ohne Axiom 4. Der Unterschied zwischen 0 und ihrem Nachfolger ergibt sich aus Axiom 2 und 3. Jede Natürliche Zahl hat einen Nachfolger, aber nicht jede Natürliche Zahl (nämlich einzig die 0) ist ein Nachfolger. Daraus folgt, daß 0 nicht ihr eigener Nachfolger sein kann, da sie in diesem Falle ja auch Nachfolger wäre, was jedoch durch Axiom 3 ausgeschlossen ist. Damit ist der erste Nachfolger n' ungleich 0, und 0 + n' = n'. Und damit wiederum ist n' + n' ungleich 0 + n'.--Wikilaser (Diskussion) 10:38, 29. Aug. 2017 (CEST)

Jetzt nochmal zum Gedankenexperiment?--Chricho ¹ ² ³ 22:07, 28. Aug. 2017 (CEST) PS: Falls das nicht klar gewesen sein sollte und ich zusätzliche Verwirrung gestiftet habe: Manchmal habe ich Ausdrücke der Form $x+1$ geschrieben, damit habe ich stets den Nachfolger von $x$ bezeichnet, ich habe die Nachfolgefunktion also als $\Box +1$ geschrieben statt $\Box '$. Dieses „+1“ ist als einzelnes Zeichen für eine Funktion zu interpretieren und ist zu unterscheiden von der Addition mit 1, bei der man die Addition als zweistelliges Funktion $\Box +\Box$ auffasst – die übereinstimmende Notation ist dadurch gerechtfertigt, dass sich, nachdem man die Addition definiert hat, die Addition mit 1 als dasselbe wie die Nachfolgerbildung herausstellt. Für den Sachgehalt der Aussagen sollte es nie schlimm gewesen sein, wenn man doch mal an eine Addition gedacht hat, aber für die größtmögliche Klarheit betone ich: alles $+1$, das ich hier geschrieben habe, ist als Nachfolgerbildung zu verstehen (Peano notiert die auch so in der Originalveröffentlichung), über Addition habe ich nie geredet.

Wenn es um die Schreibweise der Nachfolgefunktion geht und Du Verwirrung vermeiden willst, dann sei bitte so gut und schreibe ausschließlich n oder n'.

Zur Injektivität habe ich bereits verdeutlicht, daß sie ohne wenn und aber vorliegt. Reden wir über Peanos Axiom 4, in welchem er von m und n spricht. Woher kommen denn diese m und n? Peano formuliert in Axiom 2 lediglich, daß jedes n Element N einen Nachfolger n' Element N hat, da taucht gar kein m auf.--Wikilaser (Diskussion) 23:34, 28. Aug. 2017 (CEST)

Ergänzung zur Injektivität: Wenn eine Zahl ein Nachfolger ist, dann muß man die Frage beantworten (können), wessen Nachfolger sie ist. Und das ist nun einmal der Vorgänger, auf den sich der Nachfolger bezieht. Existiert für eine Zahl kein Vorgänger (wie im Falle der 0), dann ist diese Zahl kein Nachfolger.

Ergänzung zum Original: Kannst Du hier einen Link zu Peanos Originalveröffentlichung einstellen? Oder wenigstens angeben, in welchem Buch auf welcher Seite ich die von ihm original formulierten Axiome nachlesen kann?--Wikilaser (Diskussion) 10:32, 29. Aug. 2017 (CEST)

Gut, die +1-Schreibweise von Peano verwende ich jetzt nicht mehr.

Und bei meinem oben angeführten Gedankenexperiment, gilt da Injektivität auch?

Ich gehe derzeit noch nicht weiter auf Dein Gedankenexperiment ein. Erst sollten wir die Sache mit der Injektivität klären. Dazu schrieb ich etwas weiter oben einen Beitrag, in welchem ich zeigte, daß 0 + n' ungleich n' + n' ist.--Wikilaser (Diskussion) 23:11, 29. Aug. 2017 (CEST)

Zum m: Die Variablen werden durch den Allquantor eingeführt, es ist prinzipbedingt völlig egal, ob da n und m oder m und n oder n und o oder p und q steht. Das sind Platzhalter für beliebige Elemente – und wenn jedes n einen Nachfolger in den natürlichen Zahlen hat, dann hat auch jedes m einen Nachfolger in den natürlichen Zahlen. Die Allquantoren heißen, dass wir für n und m beliebiges einsetzen können – sowohl andere Variablennamen als auch Terme wie $n'$ und der Satz dahinter gilt (denn er ist ein Axiom).

Ich habe ehrlich gesagt den Eindruck, dass dir die logische Sprache, auf der hier aufgebaut wird, die Prädikatenlogik insbesondere, und was es heißt, ein Axiom oder eine Definition einzuführen, nicht geläufig ist und du Missverständnissen auf dieser Ebene aufsitzt. Sagt dir das principle of charity etwas? Bevor man davon ausgeht, dass Leute an allen möglichen Stellen „Unsinn denken“, sollte man sich überlegen, ob es nicht kleine Differenzen zwischen ihrer Sprache und dem eigenen Verständnis gibt, einen stellenweise anderen Sinn, als man zunächst dachte, der dann aber zum Gesamtzusammenhang konsistent ist. Gerade bei Fragen der Grundlagen der Mathematik sind sprachliche Details wichtig.

Die Originalveröffentlichung von Peano findest du hier (die Axiome stehen auf S. 1 (arabisch 1) los). Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 11:21, 29. Aug. 2017 (CEST)

Danke für den Link. Zur Prädikatenlogik: Ich habe mich bisher noch nicht damit beschäftigt. Ist das eine andere Logik als die herkömmliche Logik? Falls ja, dann kann man mit ihr sicherlich alles mögliche beweisen, was nach herkömmlicher Logik unlogisch wäre. Wenn das der Kern der Mathematik sein sollte, dann gute Nacht. (ich möchte das nicht als unhöfliche Bemerkung oder gar als Beleidigung verstanden wissen, ok?)--Wikilaser (Diskussion) 23:11, 29. Aug. 2017 (CEST)

Was ist „die“ herkömmliche Logik? Auf diese Frage hatten Leute wie Aristoteles, Thomas von Aquin, Kant, Hegel, Frege und Husserl ganz unterschiedliche Antworten. Allgemein beschreibt die philosophische Logik Gesetze des (menschlichen) Denkens – aber heißt das: beschreibt sie bloß das faktische Denken, beschreibt sie Normen, die sich das faktische Denken setzt, oder soll die Logik gar neue Gesetze für das Denken aufstellen, unabhängig vom faktischen Denken, die jedoch nach gewissen Kriterien höhere Rechtmäßigkeit besitzen, oder gibt es eine Möglichkeit, Gesetze einzusehen, die alles Denken voraussetzt, ohne ihnen im einzelnen stets zu folgen? Das sind philosophische Fragen, auf die gerade wegen der Vielfalt des faktischen Denkens so schwer eine Antwort zu finden ist. Die formale Logik beschreibt nun logische Sprachen und sieht nun – zugunsten der Präzision der Beschreibung und um deren Aufgabe einzugrenzen – von der Beziehung dieser Sprachen zum Denken erst einmal ab. Das heißt aber nicht, dass die Gesetze, die die formale Logik beschreibt, für das Denken keine Rolle spielen, es ist vielmehr eine Frage philosophischer Logik, diese Beziehung weiter auszuloten (und dabei kommt ihr zu Gute, wenn die Gesetze formal gut formuliert sind – sie kann so auch präzisere Einsichten über das faktische Denken gewinnen, indem sie von der formalen Logik Unterscheidungen an die Hand bekommt etc.). Insofern: Was auch immer du unter herkömmlicher Logik verstehst, vmtl. ist die Prädikatenlogik etwas anderes, schöpft nicht alles aus, was für dich zur Logik gehört, birgt aber vllt. auch manche Möglichkeit in sich, die dir nicht vertraut ist. Man formuliert heutzutage die Mathematik gern auf Grundlage der Prädikatenlogik – gute Nacht heißt das aber nicht. --Chricho ¹ ² ³ 23:47, 29. Aug. 2017 (CEST)

Auch wenn im Rahmen der Prädikatenlogik ausschließlich die Gesetze gelten sollen, die man ausdrücklich formuliert (also Nachfolger ja, nicht jedoch Vorgänger), sollte sie sich stets an der Realität von Zusammenhängen orientieren, die offensichtlich sind. Wenn Du einen roten Bauklotz auf einen Tisch stellst und dann aus Deinem Blickwinkel rechts davon einen blauen Bauklotz danebenstellst, dann ist es schlicht unlogisch zu behaupten, der blaue Bauklotz steht rechts neben dem roten Bauklotz, aber der rote Bauklotz steht nicht links neben dem blauen Bauklotz. Ein Verhältniswort wie "rechts" bedingt zwingend einen Gegenpart "links". Und ein "Nach(folger)" bedingt genauso zwingend einen Gegenpart "Vor(gänger)". Wenn man also etwas im Rahmen von Prädikatenlogik formulieren will, sollte man das stets bedenken.--Wikilaser (Diskussion) 22:45, 30. Aug. 2017 (CEST)

Der Prädikatenlogik ist es ganz egal, ob eine einstellige Funktion „Nachfolger“, „Murz“, $\Box '$, „Amtsnachfolger“ oder „Adivino-Pyramide“ heißt, es kommt nur darauf an, welche Aussagen über diese Funktion dann postuliert werden. Ob sie sich „an der Realität von Zusammenhängen orientieren, die offensichtlich sind“ oder nicht: Sie tut dies nur, indem sie das vermeintlich Offensichtliche explizit zum Axiom macht, und ihr (bzw. der axiomatischen Methode) steht es frei, darauf zu verzichten – erst dadurch gewinnt die axiomatische Methode ihre kritische Kraft, zu überprüfen, ob denn alle vermeintlichen Offensichtlichkeiten wirklich miteinander vereinbar sind. Im Fall von Peano: Er hat ja gerade die Axiome 4 und 5 aufgestellt, die diese „Orientierung“, die du einforderst, umsetzen. --Chricho ¹ ² ³ 11:14, 31. Aug. 2017 (CEST)

Willst Du damit sagen, daß Mathematiker mit Hilfe der Prädikatenlogik alle anderen Menschen buchstäblich für dumm erklären, um ihm dann jeden Mist beweisen zu können? Ich meine dies nicht beleidigend, sondern fühle mich in meiner Eigenschaft als vernünftig denkender Mensch verletzt. Es gibt gewisse sprachliche Gegebenheiten, die man durchaus und zu Recht als gegeben annehmen darf (wäre das nicht so, dann müßten Peanos Axiome weitaus mehr Dinge regeln). Überleg mal: Ein "nach" ist ohne ein "vor" schlicht völlig sinnlos. Wenn man also von einem Nachfolger spricht, dann impliziert das automatisch (und zwar genau wegen jener sprachlichen Gegebenheiten) einen Vorgänger. Um sicher zu verhindern, daß es in der Menge N keine zwei gleichen Zahlen gibt, könnte man Axiom 4 durch folgendes Axiom ersetzen:

Für alle n und n' Element N gilt: n' ist ungleich n

also: $\forall n,n'\in \mathbb {N} (n'\neq n)$ (ich hoffe, daß dies in mathematischer Zeichensprache richtig formuliert ist)

Damit wäre sichergestellt, daß keine Natürliche Zahl Nachfolger ihrer selbst sein kann, und es wäre weitaus einfacher formuliert. Besonders dieses irritierende m wäre dann weg.

Alternativ könnte man auch Axiom 3 erweitern:

also $\forall n(n\in \mathbb {N} \Rightarrow n'\neq 0\land n'\neq n)$

Dann hätte man nicht einmal mehr 4 Axiome, sondern nur noch derer 3. Weiterhin halte ich daran fest, daß Axiom 5 gänzlich überflüssig ist. Denn wendet man in dieser Variante die drei Axiome an, kommt man auf unendlich viele voneinander verschiedene Natürliche Zahlen, und genau das soll ja diese Definition leisten. Vergleiche mit anderen Mengen können dann jederzeit angestellt werden, indem man deren Definition neben die der Menge N stellt.--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

Deine Formel stimmt so nicht, den Satz kann man so nicht formulieren: Mit dem Allquantor kannst du nur eine neue Variable einführen, $n'$ ist aber ja keine Variable, sondern ein zusammengesetzter Term (eine Funktion auf die Variable n angewandt). Was du sagen möchtest ist:

$\forall n\in \mathbb {N} (n'\neq n).$

Diesen Satz kann man aus den Peano-Axiomen (aber nicht ohne 4 und 5) beweisen. Ohne die Axiome 4 und 5 genügt dein Axiom jedoch längst nicht, alle üblichen Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu beweisen, es würde etwa längere Schleifen zulassen: $1''=1$ könntest du damit nicht widerlegen, wir wären wieder beim selben Spiel.

Der Satz $\forall n,m\in \mathbb {N} (n\neq m)$ ist hingegen falsch, denn es ist auch möglich, dass $n=m$ (zum Beispiel $n=m=0$).

Ansonsten: Nein, die Mathematiker erklären nicht alle anderen für dumm, aber sie verwenden ihre eigene Sprache (wie andere Wissenschaften übrigens auch, bloß noch ein bisschen expliziter als diese). Und in verschiedenen Sprachen herrschen nicht zwangsläufig dieselben Grundgegebenheiten (ich hoffe nicht, dass du dich durch umständliche Höflichkeitsformeln in der französischen Sprache beleidigt fühlst, bei denen im Deutschen ein „Mit freundlichen Grüßen“ genügt, so wenig, wie sich die, die Italienisch muttersprachlich sprechen, dadurch beleidigt fühlen, dass du meinst, es bräuchte in deiner Sprache in jedem Satz zum Prädikat auch ein Subjekt, auch wenn es implizit erschließbar ist). Es geht darum, die Bedingungen klar zu stellen, unter denen man etwas beweist, und nichts ohne Beweis anzunehmen, ohne dies als Annahme explizit zu machen. Dabei schränkt man sich in den Annahmen möglichst ein, damit man eben nicht „jeden Mist“ beweist, doch irgendwelche Annahmen braucht es. Die Peano-Axiome haben im Übrigen auch nicht den Anspruch alles zu regeln und setzen zudem eine klassenlogische Sprache (in Peanos Original zumindest) erst einmal voraus (die zu Zeiten Peanos in ihren Bedingungen noch längst nicht zureichend durchleuchtet war), über die schreibt ja auch Peano, bevor er die Axiome einführt. Auf ein gemeinsprachliches Verständnis von Wörtern wie „natürliche Zahl“ oder „Nachfolger“ greift Peano jedoch an keiner Stelle zurück, und das war für ihn ein Fortschritt. --Chricho ¹ ² ³ 15:33, 31. Aug. 2017 (CEST)

Wozu willst Du erst etwas aus den Peano-Axiomen 4 und 5 beweisen, wenn ich es bereits in den Axiomen 1 bis 3 explizit angebe? Mach es doch einmal in der Praxis: Nimm Dir ein weißes Blatt Papier, schreib oben die Axiome 1 und 2 sowie meine Variante des Axioms 3 hin, und dann beginne systematisch, die Elemente hinzuschreiben. Dann wirst Du genau folgendes hinschreiben:

Zuerst schreibst Du wegen Axiom 1 eine 0 hin. Richtig? (was diese konkret bedeutet, das benennt ja nicht einmal Peano, also lassen wir das mal weg)

Als nächstes schreibst Du wegen Axiom 2 für die 0 einen Nachfolger n' hin. Richtig? (wie dieser Nachfolger konkret aussieht, das benannte Peano auch nicht, also können wir auch das weglassen)

Der dritte Schritt betrachtet Axiom 3, Teil 1: 0 ist selbst kein n'. Richtig? (dadurch wird 0 als erstes Element der Menge festgelegt)

Und nun geht es weiter mit Axiom 2 sowie Axiom 3, Teil 2: n' ist selbst wieder ein n, welches einen Nachfolger n' nach sich zieht, und dieses n' ist ungleich dem n, dessen Nachfolger es ist.

Damit haben wir bis jetzt die Elemente 0, n'(1) und n'(2) auf dem Papier stehen. Dabei ist n'(1) der Nachfolger der 0 und n'(2) der Nachfolger von n'(1).

Da Axiom 2 lautet, daß für alle n Element N die Nachfolgerbedingung gilt, brauchst Du ab jetzt nur noch die Axiome 2 und 3 (in meiner Variante) anzuwenden, und Du wirst unendlich viele voneinander verschiedene Elemente erhalten (zumindest theoretisch, da keiner von uns jemals in der Lage sein wird, tatsächlich unendlich viele Elemente hinzuschreiben).

Das ist in meinen Augen völlig ausreichend für die Induktion, sprich die Einleitung eines Vorgangs, der unendlich viele Schritte umfasst und niemals endet (da die Menge der Natürlichen Zahlen kein größtes Element hat). Wie Du siehst, habe ich die Axiome 4 und 5 nicht benötigt.

Nebenbei möchte ich mal fragen, wie das eigentlich gemeint sein soll, wenn man von vollständiger Induktion spricht. Wie kann man von vollständiger Induktion sprechen, wenn die Menge, für die die vollständige Induktion bewiesen werden soll, niemals vollständig sein kann, da sie kein größtes Element hat?

Peano benutzt (zumindest steht das so im Wikipedia-Artikel) das Symbol $\mathbb {N}$, welches für "Menge der Natürlichen Zahlen" steht. Oder willst Du das bestreiten?--Wikilaser (Diskussion) 18:21, 31. Aug. 2017 (CEST)

1. Richtig nur bis vor „brauchst Du ab jetzt“. Danach vergisst du, dass du nicht nur immer zeigen musst, dass $n''\neq n'$, du musst auch zeigen, dass das jeweils nächste Element ungleich allen vorherigen Elementen (und nicht nur ungleich dem direkten Vorgänger) ist. Der Nachfolger vom Nachfolger von 1 kann jedoch trotz deines modifizierten Axioms 3 wiederum die 1 sein.
2. Siehe Vollständige_Induktion#Etymologie_und_Geschichte, „unvollständige“ gibts in der Mathematik nicht.
3. Peano benutzt es (typographisch etwas anders), setzt allerdings keinerlei Wissen über die damit bezeichnete Menge voraus, sondern möchte dieses gerade erst in Axiomen formulieren, aus denen sich Aussagen über sie beweisen lassen. --Chricho ¹ ² ³ 23:12, 31. Aug. 2017 (CEST)

Zu Punkt 1: Ich habe bereits weiter oben gezeigt, daß $0\neq n'$ sowie $n\neq n'$ ist. Das gilt ja aufgrund des Allquantors $\forall$ für alle weiteren n und n' genauso. Leider hast Du dazu noch nicht Stellung genommen.

Zu Punkt 2: Möglicherweise stellt man sich diese Vollständigkeit in der Mathematik vor, aber ob es sie auch wirklich gibt, ist im Falle der behaupteten Vollständigkeit der Menge $\mathbb {N}$ keineswegs sicher.

Über Punkt 3 sind wir uns endlich einmal einig. Wohlgemerkt aber nicht darüber, ob die Peano-Axiome in ihrer Form aus dem Wikipedia-Artikel dies auch tatsächlich erfüllen.

Wie stehst Du denn zu meiner Aussage, daß es ein allgemeines Verständnis über die Natürlichen Zahlen bereits gab, lange bevor sich irgendjemand darüber Gedanken gemacht hat, wie man diese Menge formal sauber definieren könnte? Peano muß ein solches Verständnis ja gehabt und darauf zurückgegriffen haben.--Wikilaser (Diskussion) 09:22, 1. Sep. 2017 (CEST)

Zu 1: Du kannst damit trotzdem nicht $n\neq n''$ zeigen für allgemeines n zeigen. $n\neq n'$ besagt nur, dass der direkte Nachfolger einer Zahl sich von dieser Zahl immer unterscheidet. Ich habe dich aber nach der Beziehung zum Nachfolger des Nachfolgers gefragt, auf die bist du nicht eingegangen (aus $n\neq n'$ und $n'\neq n''$ folgt ja noch lange nicht $n\neq n''$, Ungleichheiten lassen sich nicht so „verketten“). Mit deiner Fassung des Axioms 3 kannst du nicht einmal das alte Axiom 3 beweisen (es könnte also sogar $0''=0$ sein), aber selbst wenn du das alte Axiom 3 noch dazu nimmst, könnte immer noch $0'=0'''$, also $1=1''$ sein.

Zu 2: Bitte lies nochmal den verlinkten Abschnitt: „vollständige Induktion“ ist nur ein Name – wenn man in der Mathematik nur von „Induktion“ spricht, meint es dasselbe, das adjektiv hat sich nur zur Abgrenzung von einem wissenschafts-/erkenntnistheoretischen Begriff eingebürgert (das sind zwei ganz verschiedene Begriffe mit einer gewissen Ähnlichkeit, es gibt aber keinen gemeinsamen Oberbegriff „Induktion schlechtweg“, von dem aus sich dann „vollständige“ und „unvollständige“ verstehen ließen). Mit der Frage, ob es da ein größtes Element gibt, hat das nichts zu tun.

Zu 3: Habe das jetzt geprüft: Die Peano-Axiome im Wikipedia-Artikel folgen Peanos zweiter Fassung von 1898. Die einzigen Unterschiede ggü. der Erstfassung sind, dass die Axiome für die Gleichheit weggelassen sind (werden vorausgesetzt) und bei 0 angefangen wird zu zählen statt bei 1. Wenn du mir eine E-Mail schickst (geht über meine Benutzerseite), dann schick ich dir den Text der zweiten Fassung (ist auf französisch) als Antwort zurück. Natürlich hat Peano ein Verständnis natürlicher Zahlen gehabt, aber bei der Axiomatisierung geht es darum, die Geltung des Vorverständnisses zunächst auszuschalten, um dann Axiome (« propositions primitives » sagt Peano) aufzustellen, auf denen ein System dieses Verständnisses aufgebaut werden kann – betrachte es wie einen cartesianischen Zweifel, von allem Gelernten absehen, um es dann Schritt für Schritt gesichert aufzubauen. Das ist doch keine Beleidigung für die Vernunft? Übrigens begründet der Text von 1898 auch, warum man keines der Axiome weglassen kann. --Chricho ¹ ² ³ 12:33, 1. Sep. 2017 (CEST)

Du scheinst nicht verstanden zu haben, daß jedes n' für seine eigene Nachfolgerbeziehung (also Nachfolger von n') zu einem n wird.

Genau so und nicht anders ist Axiom 2 zu verstehen:

Jede Natürliche Zahl wird mit n bezeichnet.

Jeder Nachfolger einer Natürlichen Zahl wird mit n' bezeichnet.

Da aufgrund von Axiom 2 jeder Nachfolger n' einer Natürlichen Zahl n selbst ebenfalls eine Natürliche Zahl n ist, die ihrerseits wieder einen Nachfolger n' hat, der nun auch wieder eine Natürliche Zahl n ist, wird hierdurch der Vorgang der Induktion in Gang gesetzt.

Um es klarer auszudrücken, schreibe ich es einmal mit Ziffern des uns geläufigen Dezimalsystems:

Aus $0\neq n'$ folgt, daß 0 die erste Natürliche Zahl n ist.

0 ist also das erste n.

1 ist n' der 0.

Da 1 aber auch einen Nachfolger n' haben soll, gilt:

1 ist n für die 2 und 2 ist n' für die 1.

Da auch 2 einen Nachfolger n' haben soll, gilt weiter:

2 ist n für die 3 und 3 ist n' für die 2.

etc.

Im Klartext: Jede Natürliche Zahl ist ein Nachfolger einer Natürlichen Zahl und hat einen Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl. Lediglich die 0 bildet hier eine Ausnahme, die durch Axiom 3 bestimmt wird: 0 hat zwar einen Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl, ist selbst jedoch kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl. Das ist doch nun wirklich nicht so schwer.

Wenn Du nun darauf bestehst, daß $n'\neq n$ nicht reicht, um jeden weiteren Unterschied ebenfalls zu zeigen, ersetzen wir $\neq$ durch >, dann gilt für alle n' > n, und wir sind fertig.--Wikilaser (Diskussion) 00:36, 2. Sep. 2017 (CEST)

Ja, da bestehe ich drauf, denn auch deine weiteren Ausführungen haben keinerlei Beziehung (etwa Ungleichheit) zwischen einer Zahl und dem Nachfolger ihres Nachfolgers nachgewiesen. Du kannst gerne versuchen, die natürlichen Zahlen noch unter Rückgriff auf einen Vergleich $>$ zu axiomatisieren, dann brauchst du aber Axiome, die die Eigenschaften des Vergleichs festlegen (zum Beispiel, dass $n>n$ ausgeschlossen ist). Der Weg Peanos ist ein anderer, in dem der Vergleich sich im Nachhinein definieren lässt ($n>m$ lässt sich dann definieren als $\exists p\in \mathbb {N} m+p=n$, siehe Vergleich (Zahlen)), jedoch nicht als durch Axiome bestimmt vorausgesetzt wird, sie fangen nur mit $\mathbb {N}$, $0$ und der Nachfolgerfunktion an.

Ansonsten würde ich dir empfehlen, dich ein bisschen mit der Prädikatenlogik zu befassen, wie man diese versteht. Da können natürlichsprachliche Beschreibungen/Übersetzungen (wie sie übrigens auch Peano angibt) eine Hilfe sein. Beschreibungen von dir wie „Jede Natürliche Zahl wird mit n bezeichnet.“ kann ich zwar im Kontext deines Gedankengangs mit wohlwollender Interpretation nachvollziehen, die logische Struktur der Axiome treffen sie jedoch höchstens leidlich.

Um mal gerade den Stand der Diskussion zu markieren: Stimmst du mittlerweile zu, dass die Axiome 1–3 alleine nicht ausreichen? Du führst jetzt gerade zum wiederholten Male zusätzliche Alternativaxiome ein (und nimmst das ursprüngliche Axiom 3 jetzt wieder hinzu, nachdem du es zuvor durch ein anderes ersetzt hattest, formulierst nun wiederum mit $>$ um und erweiterst so auch die vorausgesetzte Sprache um ein zusätzliches Zeichen) – das heißt, deine ursprüngliche These verteidigst du jetzt gar nicht mehr? Dass es alternative Axiomatisierungen gibt, hat ja nie jemand bestritten (auch wenn deine bisher genannten Alternativen nicht hinreichen) – nur, dass man von den 5 Axiomen auch nur eines ersatzlos weglassen könnte, stimmt nicht.

Das Angebot mit der E-Mail gilt noch. --Chricho ¹ ² ³ 02:27, 2. Sep. 2017 (CEST)

Was soll denn jetzt Dein Einwand mit n > n? Das ist doch völliger Unsinn. Du scheinst meine Argumentation überhaupt nicht zu verstehen. Ich weiche auch nicht meine eigene Argumentation auf, indem ich die Zeichen $\neq$ bzw. > verwende. Dies tue ich nur, weil Du nicht anerkennen willst, daß die Injektivität der Nachfolger-Vorgänger-Beziehung gegeben ist. Sie ist deswegen gegeben, weil Peano ausdrücklich in Axiom 2 aussagt, daß jede Natürliche Zahl einen Nachfolger hat, der seinerseits eine Natürliche Zahl ist. Damit ist jede Natürliche Zahl ein Nachfolger, mit Ausnamhe der 0 wegen Axiom 3. Und nochmal: Aufgrund der Axiome 1 bis 3 sind bereits die Unterschiede sämtlicher Nachfolger der 0 klar definiert. Eine Zahl zu ihrem eigenen Nachfolger zu deklarieren ist auch weiterhin aus meiner Sicht unmöglich.--Wikilaser (Diskussion) 10:57, 2. Sep. 2017 (CEST)

Na so lange du keine Axiome hast, die beschreiben, was $>$ bedeutet, ist das nicht ausgeschlossen, dass zum Beispiel $0>0$. Du hast jetzt mehrfach neue Axiome eingeführt, um mir zu zeigen, dass der Nachfolger injektiv ist – wie sollen die mich von deiner Ansicht überzeugen, dass die Axiome 1–3 ausreichen? Ich sehe jetzt drei Varianten, wie die Diskussion weitergehen kann, ohne endlos zu verfransen:

1. Du nimmst einmal zu meinem obigen Gedankenexperiment Stellung.
2. Du liest dich etwas in die Prädikatenlogik ein, anhand der Wikipedia oder auch eines Lehrbuchs. Das würde vermeiden, dass es ständig zu groben Missverständnissen schon einzelner Sätze kommt, über die dann immer unsere Diskussion ausfranst.
3. Du liest dich zu Geschichte und Bedeutung der axiomatischen Methode ein (zum Beispiel vermittelt durch das Buch von Arend Heyting, ist leichter zugänglich als etwa Peanos Originaltexte) – dann siehst du in dieser hoffentlich keine Beleidigung der Vernunft mehr. --Chricho ¹ ² ³ 12:26, 2. Sep. 2017 (CEST)

Zu Punkt 1: Nein, vorerst nicht. Denn solange wir uns über die Lesart der Peano-Axiome nicht einig werden, ist das sinnlos.

Zu Punkt 2: Der Artikel Prädikatenlogik bei Wikipedia ist wenig aussagekräftig. Frage zu diesem Thema: Gibt es im Rahmen der Prädikatenlogik keine Zeichenerklärung? Falls nämlich nein, dann wären sämtliche Axiome von Peano ohne jede Bedeutung und damit sein gesamtes Axiomensystem sinnlos. Ich denke eher, es müßte eine solche Zeichenerklärung geben. In seiner Originalschrift liefert er jedenfalls zu seinen 9 (und nicht nur 5) Axiomen eine Zeichenerklärung sowie eine Erläuterung, wie seine Axiome anzuwenden seien, mit.

Zu Punkt 3: Mal sehen, wann ich dazu Zeit finde. Ich muß mich ja auch noch in Peanos Originalschrift tiefer einlesen. Und dann steht ja auch noch die französische Version mit der etwas aktuelleren Fassung aus, deren Zusendung per Mail Du mir zugesagt hast (ich fordere sie bei Gelegenheit an).

Und nun zu meinem obigen Beitrag nochmal: Bestätigst Du, daß Axiom 2 aussagt, daß jede Natürliche Zahl (mit Ausnahme der 0) sowohl einen Nachfolger hat als auch selbst ein Nachfolger ist? Ja oder nein?--Wikilaser (Diskussion) 23:18, 2. Sep. 2017 (CEST)

Das Gedankenexperiment hilft vllt. nicht dabei, sich über die Lesart der Peano-Axiome einig zu werden, aber ich denke, es würde helfen, sich darüber einig zu werden, worin sich unsere Lesarten unterscheiden, was hingegen wir gemeinsam anerkennen. Die Differenz ließe sich dann vllt. auch leichter ausräumen.

Meinst du mit Zeichenerklärungen Übersetzungen dieser Art? Es stimmt aber nicht, dass sie ohne solche Zeichenerklärung sinnlos wäre, denn dann gibt es immer noch Schlussregeln, die erlauben, prädikatenlogische Sätze auseinander zu folgern. Dieser Gebrauch gibt ihnen einen Sinn, auch wenn man auf jede Übersetzung in eine andere Sprache verzichtet. Das Deutsche bekommt seinen Sinn ja auch nicht bloß durch Erklärung in einer anderen Sprache.

Zu deiner letzten Frage: Nein, es sagt nur, dass jede einen Nachfolger in den natürlichen Zahlen hat, mehr nicht. --Chricho ¹ ² ³ 01:49, 3. Sep. 2017 (CEST)

Wenn es erlaubt ist, prädikatenlogische Sätze auseinander zu folgern, warum soll es dann verboten sein, aus der prädikatenlogisch definierten Aufstellung eines Nachfolgers n' zu einem n zu folgern, daß eben dieses n dann der Vorgänger dieses Nachfolgers n' ist? Es erscheint mir nun erst recht unbegreiflich, wie man so einen Mist (entschuldige, daß ich das so deutlich ausdrücke) verzapfen kann.--Wikilaser (Diskussion) 21:06, 3. Sep. 2017 (CEST)

Die Prädikatenlogik stellt kein n' auf, sie erlaubt nur, aus den aufgestellten Axiomen andere Sätze zu folgern, alles geschieht auf Satzebene, mit den bloßen Termen, ohne dass sie in Sätze eingebunden werden, lässt sich nichts machen, insbesondere lassen sich aus denen keine tiefergehenden Strukturen ablesen, wie du dir das vorzustellen scheinst.

Dass $n$ Vorgänger (nicht notwendigerweise der Vorgänger) von $n'$ ist, beweisen wir in der Prädikatenlogik wie folgt:

Definiere $Vorgaenger(a,b)$ (lies: a ist ein Vorgänger von b) als $a'=b$. Da setzt du nun $n$ und $n'$ ein, nun gilt $Vorgaenger(n,n')$ gdw. $n'=n'$, was ein prädikatenlogisches Axiom der Gleichheit ist. Das geht. Aber alles weitere Fabulieren über die Injektivität ist ohne weitere Axiome nicht möglich. --Chricho ¹ ² ³ 21:46, 3. Sep. 2017 (CEST)

Wenn ich Dich richtig verstehe, dann unterscheidet man in der Prädikatenlogik auch noch zwischen "unmittelbarer Nachfolger" und "irgendein späterer Nachfolger" (bzw. zwischen "unmittelbarer Vorgänger" und "irgendein vorheriger Vorgänger")? Und wenn ich weiter richtig verstehe, dann hieße der Ausdruck $n'=n'$ im Rahmen der Prädikatenlogik: n' ist der Vorgänger von n' und n' ist der Nachfolger von n' (was dann äußerst skurril wäre, weil man zwischen Vorgänger n' und Nachfolger n' dann nicht mehr unterscheiden könnte)? Oder müßte man beide Aussagen separat voneinander formulieren?--Wikilaser (Diskussion) 14:10, 4. Sep. 2017 (CEST)

Ich rede immer nur vom unmittelbaren Nachfolger und nur dafür gibt es auch das Symbol $'$. Und nein, $n'=n'$ bedeutet „der Nachfolger von n ist der Nachfolger von n“. Hilft das zum Verständnis? --Chricho ¹ ² ³ 16:11, 4. Sep. 2017 (CEST)

Nochmal ein Versuch, die Verschiedenheit jedes einzelnen Elements von N auf der Grundlage der Axiome 1 bis 3 zu zeigen:

1. 0
2. (0)+n' (der ganze Ausdruck, also nicht nur das +n', heißt Nachfolger der 0, wobei bei diesem und jedem folgenden Schritt das +n' lediglich das Hinzufügen eines Nachfolgers zur 0 symbolisiert)
3. ((0)+n')+n' (der ganze Ausdruck heißt Nachfolger des Nachfolgers der 0)
4. (((0)+n')+n')+n' (der ganze Ausdruck heißt Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der 0)
5. ((((0)+n')+n')+n')+n' (der ganze Ausdruck heißt Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers des Nachfolgers der 0)
6. etc.

Wie Du siehst, ist jedes Element nach der 0 eine Zusammensetzung aus dem bisherigen Element und dem jeweils neuen Nachfolger n'. Und es taucht keine Wiederholung eines schon einmal dagewesenen Elements auf. Und das kommt ausschließlich dadurch zustande, daß Axiom 2 aussagt, daß für jedes n Element N gilt, daß sein Nachfolger n' ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. Das bedeutet: Jede Natürliche Zahl hat einen Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl und ist ein Nachfolger in Form einer Natürlichen Zahl. Lediglich die 0 bildet hierzu eine Ausnahme, da Axiom 3 aussagt, daß 0 kein Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist. Bestätigst Du das? Ja oder nein?--Wikilaser (Diskussion) 23:32, 2. Sep. 2017 (CEST)

Warum führst du jetzt eine ganz neue Notation für den Nachfolger ein? Wir hatten uns doch geeinigt, den Nachfolger der 0 einfach konsequent $0'$ zu nennen? Was das $n$ in den Ausdrücken jetzt macht, ist mir unbegreiflich. Die Ausdrücke machen Sinn, wenn du $n$ durch $0$ ersetzt, dann stünde da $(0)+0'$ (was $0'$ ist), $((0)+0')+0'$ (was $0''$ ist) etc. Aber du möchtest ja einen „jeweils neuen Nachfolger n'“ in den Formeln sehen – für mich ist das komplett verworren. Und was heißt „Zusammensetzung“ – Summe?

Ansonsten: Du hast einfach ein paar mögliche Terme aufgelistet, weder heißt das, dass alle natürlichen Zahlen sich durch diese Terme ergeben würden (und nicht vllt. durch andere oder auch durch gar keinen Term beschreibbar sind), noch, dass diese alle ungleich zu setzen sind, nur weil die Terme verschieden sind: Zwischen zwei verschiedenen Termen kann trotzdem Gleichheit gelten. „2+1“ und „1+2“ sind verschiedene Terme, aber es gilt 2+1=1+2. Genauso kann $(0)+n'=((0)+n')+n'$ gelten.

Ferner sind deine aufgezählten nummerierten Punkte jeweils nur Terme (wie zum Beispiel 0), nicht aber Aussagen (wie zum Beispiel $0=0$), deshalb können sie auch nicht „gezeigt“ sein – nur Aussagen kann man zeigen/beweisen. --Chricho ¹ ² ³ 02:02, 3. Sep. 2017 (CEST)

Meine Notation greift zum einen das auf, was Du weiter oben bereits als S(0) beschrieben hattest, zum anderen ist der Begriff Nachfolger (bzw. n') völlig sinnlos, wenn nicht klar ist, wessen Nachfolger. Und wessen Nachfolger ein jedes n' sein soll, das hat Peano ja in Axiom 2 und 3 explizit angegeben. Ich habe also lediglich ausgeschrieben, was Peano ohnehin (auch im Rahmen der Prädikatenlogik) schrieb. Meine ausführliche Notation führt nur vor Augen, daß sich Nachfolger und Vorgänger niemals voneinander trennen lassen. Es kann also gar nicht vorkommen, daß irgendein Nachfolger irgendwann vorher schon einmal Nachfolger gewesen ist. Jeder Nachfolger baut nämlich auf einer Zahl (seinem Vorgänger) auf, und diese Zahl ist ebenfalls ein Nachfolger, der auf einer Zahl (seinem Vorgänger) aufbaut, und diese Kette setzt sich so lange fort, bis ein Nachfolger auf der 0 aufbaut. Und was soll jetzt der Hinweis mit den Termen bzw. Aussagen?--Wikilaser (Diskussion) 09:07, 3. Sep. 2017 (CEST)

Ist also $n=0$ bei deiner Liste?

„Mit den Termen und Aussagen“: An deiner Liste sieht man eben überhaupt nicht, dass da irgendetwas ungleich ist.

Du scheinst vorauszusetzen, dass die Axiome eine Konstruktionsanweisung geben, sagen würden, dass die natürlichen Zahlen als iterierte Nachfolger der 0 zu konstruieren sind. Nun scheinst du auch zu meinen, aus der unterschiedlichen Konstruktion von zwei Zahlen deren Ungleichheit folgern zu können. Das stimmt aber alles nicht. Die Axiome geben nicht Konstruktionsanweisungen, sondern machen Aussagen über die natürlichen Zahlen als Ganzes. Aus diesen Aussagen musst du andere Aussagen beweisen. --Chricho ¹ ² ³ 11:58, 3. Sep. 2017 (CEST)

Wenn nur allgemein Aussagen über die Natürlichen Zahlen als Ganzes gemacht werden, dann erkläre mal die Bedeutung von n', wenn Du dieses n' völlig isoliert von der Natürlichen Zahl n betrachtest, deren Nachfolger es sein soll! Ein solches n' ist sinnlos, ich zeige es Dir:

Du sagst, eine Natürliche Zahl n habe einen Nachfolger n' irgendwo in den Natürlichen Zahlen. Nun, solange Du der bereits vorhandenen Natürlichen Zahl n (und als erste hat Peano nun einmal die 0 definiert) keine konkrete Natürliche Zahl n' zuordnest, hat n überhaupt keinen Nachfolger n', sondern bestenfalls einen freien Platz neben sich. Erst, wenn Du aufgrund der Konstruktionsanweisung (und ja, die Peano-Axiome sind genau das - oder etwas abgeschwächt formuliert, man kann sie als Konstruktionsanweisung verstehen) der Natürlichen Zahl n = 0 einen konkreten Nachfolger n' zuordnest, bekommt dieser Nachfolger n' überhaupt erst eine Bedeutung. Bis dahin ist jedes potenzielle n' lediglich irgendein beliebiger potenzieller Nachfolger in den Natürlichen Zahlen, über den man aber sonst nichts erfährt. Begreifst Du das?--Wikilaser (Diskussion) 20:52, 3. Sep. 2017 (CEST)

Das mag in einer bestimmten Philosophie der Mathematik geboten sein, Bedeutungen durch Konstruktionen festzulegen, der axiomatische Ansatz macht das jedoch nicht. Die axiomatische Methode erlaubt es, auch ohne Bedeutungsfestlegung über das $n'$ etwas zu erfahren, nämlich indem Sätze über dieses $n'$ aus den Axiomen bewiesen werden. Dazu ist eine Bedeutungsfestlegung von $n'$ völlig unnötig.

Ich geb mal wieder, wie Heyting die axiomatische Methode beschreibt: Sie setzt „Grundbegriffe“/„Grundrelationen“ (das sind bei uns $\mathbb {N}$, $0$, $'$ und $=$) und Axiome (das sind bei uns die Peano-Axiome und – je nachdem, wie wir es genau machen – vllt. noch Axiome der Prädikatenlogik und Axiome der Gleichheit) fest. Alle Aussagen sind zu beweisen, außer den Axiomen, das sind die, die ohne Beweis als gültig/bewiesen angenommen werden. Alle Begriffe sind zu definieren, bloß die Grundbegriffe/Grundrelationen nicht, das sind die, die ohne Definition (auch ohne Konstruktionsanweisung oder Bedeutungserklärung) einfach benutzt werden. --Chricho ¹ ² ³ 21:46, 3. Sep. 2017 (CEST)

Es mag sein, daß in einer bestimmten Phiolosophie der Mathematik der axiomatische Ansatz keine Bedeutungen durch Konstruktionen festlegt. Tatsache ist, daß man die Peano-Axiome als Handlungsanweisung auffassen kann, und das tue ich, handle entsprechend und erhalte Bedeutungen. Ich sehe da überhaupt kein Problem.

Was sagst Du denn zu meinem Hinweis, daß n gar keinen Nachfolger hat, sondern bestenfalls einen freien Platz, solange man ihm aufgrund von Axiom 2 keinen Nachfolger n' konkret zuordnet?--Wikilaser (Diskussion) 13:49, 4. Sep. 2017 (CEST)

Aus Axiomen mögliche Konstruktionen für Objekte zu gewinnen, die diese Axiome erfüllen, ist eine ehrenwerte Aufgabe, kannst du machen – dadurch wird jedoch nicht die Bedeutung der Axiome festgelegt und mitunter ist es auch gar nicht ohne weiteres möglich; der Sinn der axiomatischen Methode liegt jedenfalls nicht darin, und auch Peano versteht die Axiome nicht als eine solche Handlungsanweisung, wie du sie dir vorstellst. Wäre es nicht gerechter, statt in einige der Axiome eine Handlungsanweisung hineinzulesen, um dann anschließend einen Fehler bei Peano und allen Mathematikern nach ihm zu behaupten, die Axiome so zu nehmen, wie sie da stehen, und sie als Ausgangspunkte für Beweise, statt als Konstruktionsanweisungen aufzufassen, wie sie gedacht sind?

Was ein „freier Platz“ ist, verstehe ich nicht. Und Axiom 2 ordnet keinen Nachfolger konkret zu, es besagt lediglich, dass der Nachfolger eine natürliche Zahl ist. Dass es den Nachfolger einer natürlichen Zahl überhaupt gibt, ist zuvor schon festgelegt (in der ersten Fassung von Peano auf S. XIII unten, in der zweiten Fassung auf S. 216 der Werkausgabe in 001.3).

Offenbar versteht du den ganz elementaren Gebrauch von Variablen in der Prädikatenlogik nicht, was zu abstrusen Verwirrungen führt. Daniel5Ko oder HilberTraum, vllt. habt ihr nochmal eine Anmerkung, die Verfahrenheit etwas aufzulösen? --Chricho ¹ ² ³ 16:11, 4. Sep. 2017 (CEST)

Ich hatte kurz die Idee, nebenbei auch mal von gerichteten Graphen zu sprechen, weil man bei denen oft auch von "Vorgängern" und "Nachfolgern" spricht, und zwar unabhängig davon, ob so ein Graph nun Modell "der Menge der natürlichen Zahlen" ist, oder nicht. Eine leicht abgewandelte Form der Peano-Axiome ist dann auch auf Graphen $(V,E\subseteq V\times V)$ statt Strukturen $(N,0\in N,S\colon N\to N)$ anwendbar. Allerdings bin ich mir jetzt nicht mehr sicher, dass das viel helfen könnte. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:24, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich versuche mal, die Sache mit dem freien Platz bildhaft zu beschreiben:

Stell Dir eine Sitzreihe in einem Theater vor. Die einzelnen Sitze in dieser Sitzreihe sind freie Plätze. Setzt sich ein Zuschauer auf einen Sitz, betrachte ich das wie eine Natürliche Zahl n. Der freie Platz daneben bietet nun einem anderen Zuschauer die Möglichkeit, sich auf ihn zu setzen. Aber nur, wenn sich auf diesen freien Sitz tatsächlich ein Zuschauer setzt, ist auch auf diesem Platz eine Natürliche Zahl n. Diese ist dann der Nachfolger n' für die danebensitzende Natürliche Zahl n. Bleibt jedoch der Platz frei, hat der erste Zuschauer bzw. die erste Natürliche Zahl n keinen Nachfolger, sondern eben nur einen freien Platz neben sich. Zur Ergänzung sei noch erwähnt, daß der Zuschauer, der sich auf den allerersten Sitz in der Sitzreihe setzt, der Natürlichen Zahl 0 entspricht. Ich hoffe, das ist so einigermaßen verständlich.--Wikilaser (Diskussion) 23:42, 4. Sep. 2017 (CEST)

Du setzt scheinbar schon voraus, dass sich die Sitze zusammen wie "die Menge der natürlichen Zahlen" verhalten. Und natürlich: wenn man diese Gegebenheiten einfach kopiert, kommt trivialerweise auch etwas heraus, das sich wie "die Menge der natürliche Zahlen" verhält. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:24, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich versuche nur bildhaft zu beschreiben, wie ich das mit dem freien Platz und der Aussage "... hat einen Nachfolger" meine.

Wenn Du mein Theatersitzbeispiel auf Axiom 2 überträgst, so meine ich damit, daß eine Zahl n erst dann tatsächlich einen Nachfolger n' hat, wenn ihr ein konkretes Element zugeordnet ist. Solange dies nicht der Fall ist, hat die Zahl n noch keinen Nachfolger, sondern eben nur einen freien Platz neben sich, gewissermaßen ein Potenzial für einen möglichen denkbaren, aber eben noch nicht tatsächlich direkt zugeordneten Nachfolger n'.--Wikilaser (Diskussion) 21:25, 5. Sep. 2017 (CEST)

Mir kommt da nun noch ein anderer Gedanke bzw. eine Frage zu Axiom 5:

Definieren wir mal eine Menge X. Diese besteht aus unendlich vielen Elementen (ich kann hier natürlich nur ein paar wenige angeben, aber wir können uns die weiteren Elemente der Menge dann vorstellen).

1.) 0

2.) Wurzel aus 2

3.) die Eulersche Zahl e

4.) Pi

5.) Wurzel aus 2 + die Eulersche Zahl e

6.) etc.

Kurz gesagt, sämtliche Elemente, die nach der 0 kommen, sind transzendente Zahlen, und sie werden im Verlaufe der Folge immer größer.

Nun überprüfen wir diese Menge X anhand der Peano-Axiome:

Axiom 1 ist erfüllt, die 0 ist Teil der Menge.

Axiom 2 ist erfüllt, jedes Element der Menge X hat einen Nachfolger.

Axiom 3 ist erfüllt, die 0 ist kein Nachfolger.

Axiom 4 ist erfüllt, es gibt keine zwei gleichen Zahlen in der Menge X.

Nun die Frage: Wie können wir herausfinden, ob Axiom 5 erfüllt ist?

Dazu müßten wir ja wissen, welche konkreten Nachfolger zur Menge N gehören. Woher wissen wir das, wenn gemäß der Prädikatenlogik jedes Vorwissen über die Natürlichen Zahlen als nicht existent betrachtet werden soll?

Ich bin gespannt auf Deine Antwort.--Wikilaser (Diskussion) 23:42, 4. Sep. 2017 (CEST)

Die natürlichen Zahlen sind die Sitzreihe selber und die soll erst axiomatisiert werden (es soll etwa bestimmt werden, dass es keinen Zyklus gibt) – so würde ich jetzt antworten, wirklich nachvollziehen kann ich aber nicht, was du mit der Unterscheidung freier und belegter Plätze sagen möchtest.

„Nun überprüfen wir diese Menge X anhand der Peano-Axiome:“ Du meinst, wenn wir dieses $X$ für das $\mathbb {N}$ wählen?

„Dazu müßten wir ja wissen, welche konkreten Nachfolger zur Menge N gehören.“ Also „N“ ist hier das oben von dir genannte $X$?

Dann: Eine Menge besitzt für sich allein betrachtet niemals eine Reihenfolge (und auch niemals zwei gleiche Elemente, das ist deshalb auch nicht die Aussage von Axiom 4). Du verwechselst hier Menge und Folge! Du hast nicht gesagt, wie du $'$ definierst, deshalb kann ich dir auch nicht sagen, ob die Axiome 2–5 in deinem Szenario erfüllt sind. --Chricho ¹ ² ³ 01:07, 5. Sep. 2017 (CEST)

Ich stelle mir meine Menge X mit unendlich vielen transzendenten Zahlen a) total geordnet vor und b) soll diese Menge auch in genau dieser Reihenfolge die Nachfolgerfunktion erfüllen. Jetzt klar?--Wikilaser (Diskussion) 21:25, 5. Sep. 2017 (CEST)

Sofern die Nummerierung deiner Liste über 1, 2, 3, 4, 5, 6 … über alle natürlichen Zahlen und danach nicht weiter geht, erfüllt deine Menge X mit der 0 und der darauf definierten Nachfolgerfunktion alle Peano-Axiome, auch Axiom 5 – dein Modell ist dann isomorph zu den natürlichen Zahlen. Beantwortet das deine Frage? (Wurzel 2 ist übrigens keine transzendente Zahl, aber das ist hier für uns nicht wichtig) --Chricho ¹ ² ³ 21:40, 5. Sep. 2017 (CEST)

"Sofern die Nummerierung deiner Liste über 1, 2, 3, 4, 5, 6 … über alle natürlichen Zahlen und danach nicht weiter geht ..." Dieser Satz erheitert mich. Wie stellst Du Dir das vor, alle Natürlichen Zahlen aufzuschreiben und danach nicht mehr weiterzumachen? Dann müßte es doch eine Natürliche Zahl geben, die die letzte (sprich die größte) Natürliche Zahl wäre, und dann wäre Schluß. Es gibt aber keine letzte bzw. größte Natürliche Zahl, da Axiom 2 aussagt, daß jede Natürliche Zahl eine Natürliche Zahl als Nachfolger hat.

Was die Wurzel aus 2 angeht, so wäre das mal ein eigenes Thema. Aber nicht hier, das führt zu weit. Ok?

Wichtig ist hierbei nur, daß ich mit Wurzel aus 2 eine Zahl ausgewählt habe, die keine Natürliche Zahl ist.

Was Deine Ansicht angeht, Axiom 5 sei erfüllt, muß ich Dich nun fragen: Seit wann kommen e oder Pi in der Menge der Natürlichen Zahlen vor?

Das Axiom sagt ganz klar und deutlich aus, wenn die Menge X die 0 und mit jeder Natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, so bilden die Natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Da meine Menge X zwar die 0 enthält, jedoch ansonsten ausschließlich nur Zahlen, die keine Natürlichen Zahlen sind, kann Axiom 5 gar nicht erfüllt sein.

Was die Isomorphie angeht, so mag es sein, daß die Struktur meiner Menge X mit der Struktur der Menge N übereinstimmt, aber die einzelnen Elemente stimmen nicht überein (mit Ausnahme der 0). Um eine Teilmenge sein zu können, müssen aber auch die einzelnen Elemente übereinstimmen. Denn würde nur die Struktur ausreichen, dann wäre eine Menge A mit den Elementen 1, 2, 3, 4, und 5 eine Teilmenge einer Menge B mit den Elementen 1, 2, 4, 5, 6 und 7.--Wikilaser (Diskussion) 16:08, 6. Sep. 2017 (CEST)

Du musst dich schon entscheiden, ob du, wie du es eben bei Axiomen 1–4 gemacht hast, deine Menge X für die Menge $\mathbb {N}$ einsetzt, oder nicht (wie dus mit Axiom 5 zu machen scheinst). --Chricho ¹ ² ³ 16:17, 6. Sep. 2017 (CEST)

Also Du bist mir schon ein lustiger Vogel, ehrlich! Weiter oben verlangst Du steif und fest, man könne eine Menge X beliebig wählen, um anhand der Axiome zu beweisen, ob sie der Menge $\mathbb {N}$ entspricht oder nicht. Dann mache ich das, und nun verlangst Du, man müsse diese beliebig gewählte Menge X für die Menge $\mathbb {N}$ einsetzen. Was soll das denn jetzt?--Wikilaser (Diskussion) 16:31, 6. Sep. 2017 (CEST)

Man kann beides machen, bloß einheitlich. Du machst beides, aber vermischt. Wenn du die Gültigkeit von Axiom 2 zum Beispiel beschreibst als „jedes Element der Menge X hat einen Nachfolger“ (in der Menge X, möchte ich ergänzen), dann hast du offenbar in Axiom 2 $\mathbb {N}$ durch $X$ ersetzt (hast du oder hast du nicht?). Bei Axiom 5 hast du das nicht gemacht (oder hast du?), sondern ein anderes $\mathbb {N}$ vorausgesetzt. --Chricho ¹ ² ³ 18:00, 6. Sep. 2017 (CEST)

Ich mache es doch einheitlich, nur eben einheitlich der Reihe nach. Zuerst überprüfe ich Axiom 1, dann Axiom 2, etc.

Wenn eine Menge X der Menge der Natürlichen Zahlen entsprechen soll, dann muß sie den Bedingungen aller 5 Axiome genügen, nicht nur die Bedingungen des Axioms 5. Das war schließlich Deine eigene Aussage: Die 5 Axiome machen Aussagen über jede Menge, die der Menge der Natürlichen Zahlen entspricht. Also muß sich daran jede Menge messen lassen. Wird von einer Menge nur ein einziges Axiom nicht erfüllt, entspricht die Menge eben nicht der Menge der Natürlichen Zahlen.

Davon abgesehen ist Axiom 5 für sich alleine nicht geeignet, die Menge der Natürlichen Zahlen zu definieren. Zum einen deshalb nicht, weil darin nicht klargestellt wird, daß die 0 nicht Nachfolger einer Natürlichen Zahl ist, und zum anderen eben, weil dieses Axiom Kenntnisse über die Natürlichen Zahlen voraussetzt, die laut Prädikatenlogik gar nicht vorgegeben sein düften.

Jetzt wäre noch interessant, was Du zu meiner Frage bezüglich Deiner Aussage hinsichtlich des Endes der Natürlichen Zahlen zu sagen hast. Du weißt schon, der Satz, der mich erheitert hat.--Wikilaser (Diskussion) 23:27, 6. Sep. 2017 (CEST)

Deine Menge X eingesetzt für $\mathbb {N}$ mit der von dir definierten Nachfolgerfunktion und der 0 erfüllt alle 5 Peano-Axiome (was isomorph ist, erfüllt nämlich auch dieselben Axiome). Was deine Fragen jetzt aber mit deiner ursprünglichen zu tun haben, verstehe ich nicht – deshalb schließe ich mich Daniel an, siehe unten. --Chricho ¹ ² ³ 10:57, 8. Sep. 2017 (CEST)

Weshalb soll denn (m)eine Menge X für die Menge $\mathbb {N}$ eingesetzt werden? Das erschließt sich mir nicht. Meiner Auffassung nach wird die Menge X mit der Menge $\mathbb {N}$ im Rahmen des Axioms 5 verglichen. Das ist in meinen Augen etwas völlig anderes als eine Menge durch eine andere zu ersetzen (oder wie Du es ausdrückst, sie für die andere einzusetzen). Und nochmal die Frage: Wie stehst Du zu meinem Einwand hinsichtlich des Endes der Natürlichen Zahlen?--Wikilaser (Diskussion) 01:00, 9. Sep. 2017 (CEST)

Zum Link zu Peanos Originalfassung: Bei mir öffnet sich da nur die Titelseite. Weiterblättern geht leider nicht. Muß ich mich dazu auf der Seite anmelden?--Wikilaser (Diskussion) 22:54, 30. Aug. 2017 (CEST)

Hast du JavaScript aktiviert? Wenn du das nicht möchtest, kannst dus auch als PDF oder DjVu herunterladen. Eine Anmeldung ist in keinem Fall erforderlich. --Chricho ¹ ² ³ 11:14, 31. Aug. 2017 (CEST)

Danke für den Hinweis, ich sehe mal nach.--Wikilaser (Diskussion) 13:43, 31. Aug. 2017 (CEST)

So, jetzt hat es geklappt. Beim erstmaligen Überfliegen des Textes mußte ich gleich mal zwei Dinge feststellen:

1.) Der Text ist auf Lateinisch abgefasst, es wird also etwas dauern, bis ich ihn komplett gelesen und verstanden habe.

2.) Peano formulierte nicht nur 5 Axiome, sondern gleich 9, und er lieferte sowohl eine Zeichenerklärung als auch eine Demonstration der Anwendung seiner Axiome mit.

Allgemein kann ich aber schon einmal sagen: Wenn man bei Wikipedia einen Artikel über die Peano-Axiome veröffentlicht, dann sollten diese auch genau so wiedergegeben werden, wie er sie seinerzeit formulierte. Man kann im weiteren Artikel dann gern eine modernere Fassung hinzufügen, aber in einem Lexikon sollte schon der Originaltext (lediglich in die jeweilige Landessprache übersetzt) stehen. Diese Kritik richtet sich übrigens nicht gegen Dich oder Daniel5Ko.--Wikilaser (Diskussion) 19:17, 31. Aug. 2017 (CEST)

Die vier zusätzlichen Axiome, die du dort findest, regeln die Gleichheit. Mir ist es auch schon aufgefallen, dass das im Artikel erwähnt werden sollte, hatte aber noch nicht die Zeit dazu, weil man zunächst dann auch mit Peanos eigener späterer Fassung nochmal vergleichen sollte, aber auch nochmal danke für den Hinweis. --Chricho ¹ ² ³ 21:30, 31. Aug. 2017 (CEST)

Nochmal von vorn

Der Aufforderung, Lernbereitschaft zu zeigen, statt wie ein Troll aufzutreten, ist Benutzer:Wikilaser offenbar wieder nicht nachgekommen. Da hat dann natürlich auch keiner Lust, zu antworten. Angebot: Wir vergessen alles und fangen von vorn an. Benutzer:Wikilaser: Stelle Fragen, ohne mit Inkompetenzbezichtigungen um dich zu werfen. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:31, 7. Sep. 2017 (CEST)

+1 Und dann bitte ich dich, Wikilaser, dir bei deinen Fragen zu überlegen, welche Fragen wirklich von grundlegender Wichtigkeit für dein Verständnis sind, statt andauernd zu wechseln, nur weil es irgendwie für dich interessant ist, wie wohl darauf geantwortet wird, ohne dass wir der Klärung des Grundsätzlichen dabei näher kommen. Missverständnisse deinerseits wiederholen sich dabei zwar immer wieder, da du aber nicht mal bei einem Problem bleibst, kommen wir deren Klärung nicht näher. Ansonsten gilt noch, was ich am 2. September geschrieben habe. --Chricho ¹ ² ³ 11:12, 8. Sep. 2017 (CEST)

Lieber Daniel5Ko,

erwartest Du von mir, ich solle alles, was Du oder andere mir hier vortragen, kritiklos auswendiglernen? Falls ja, können wir die Diskussion gleich beenden, weil eine solche Erwartungshaltung, verbunden mit dem Vorwurf herumzutrollen, empfinde ich als Affront. Meine Art zu lernen ist nun einmal, die Dinge auseinanderzunehmen, um sie im wörtlichen Sinne begreifen zu können. Nebenbei bemerkt hat in dieser Diskussion, zu der Du mich eingeladen hattest, Chricho bisher weitaus mehr Beiträge geleistet als Du.

Lieber Chricho,

wer bringt denn ständig neue mathematische Formelzeichen ins Spiel? Ich hatte gehofft, es ginge um die Peano-Axiome und ihre Zeichen, und um nichts anderes.

Nochmal in aller Deutlichkeit: Ich lerne auf andere Art, als das so manch andere Menschen tun, und das kann durchaus anstrengend sein, sowohl für mich selbst als auch für Menschen, von denen ich etwas lernen möchte. Es ist aber von meiner Seite aus niemals als Herumtrollen gemeint.

Nach diesen klaren Worten meine Frage an Euch beide: Können wir nun zum Thema zurückkehren?--Wikilaser (Diskussion) 00:53, 9. Sep. 2017 (CEST)

Zum Thema zurückzukehren ist genau das Ziel.

Und vielleicht noch ein sehr wichtiger Hinweis: Vorurteile sind sehr oft die schlimmsten Hindernisse beim Lernen. Deshalb sei bitte zukünftig nicht beleidigt, wenn man dich darauf hinweist, dass du solche hast und bestärkst, sondern arbeite bei ihrer Beseitigung mit. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:47, 9. Sep. 2017 (CEST)

Um es mal hart zu formulieren: Wenn man eine fremde Sprache lernen möchte, gehört dazu ein Moment des kritiklosen Annehmens. Es gehört etwa dazu, von den Wortbedeutungen in der eigenen Sprache ganz und gar abzusehen, und die der fremden Sprache aufzunehmen (auch wenn sie durch nichts begründet scheinen als durch Tradition und Konvention); die Annahme von Parallelismen zur eigenen Sprache auszuschalten; zunächst einmal anzunehmen, dass der Kauderwelsch, den man da hört, schon eine Bedeutung haben wird und kein Unsinn ist. Erst wenn man das alles macht, dann kann man auch in der fremden Sprache kritisieren, gelernte Bedeutungen differenzieren und Fehler erkennen und Vergleiche mit der eigenen Sprache und Beziehungen zur Umwelt aufstellen. Natürlich wechseln sich diese beiden Momente ab, bei dir ist aber der erste Schritt bislang weitgehend ausgeblieben.

Die logische und mathematische Tradition, auf die wir uns hier beziehen, ist alles andere als voraussetzungsfrei – deine eigene „normale Logik“ ist es aber eben auch nicht.

Nochmal deutlicher: Ich werde nur noch auf Fragen hier unten antworten. Du kannst gerne etwas von oben wieder aufnehmen, aber geh doch erst die Diskussion noch einmal durch und dann überleg dir, was die zentralen Punkte sind, die du nicht verstehst, was die Fragen sind, an denen ein Übereinkommen bislang gescheitert ist. Bitte entweder Fragen, die direkt auf das Verständnis der Axiome, der Prädikatenlogik oder der axiomatischen Methode zielen, oder, wenn du eine der verzweigten Detailfragen doch wieder aufgreifen möchtest, dann stell sie bitte in geschlossener Form dar (ohne Rückverweise) und erläutere, wieso sie etwas mit dem Verständnis der Peano-Axiome zu tun hat. Du bekommst hier auf völlig freiwilliger Basis ausführliche und fachkundige Antworten, bekommst zahlreiche Querverweise in einem Feld, in dem du offenbar noch nicht sehr bewandert bist, ich recherchiere in Originalveröffentlichungen für dich usw. Nun sind wir der bescheidenen Ansicht, dass ein gewisser Diskussionsmodus nicht weiter führt, und sind nach einigen Anstrengungen nicht mehr zu allen Anstrengungen bereit, die mit deinem Lernmodus einhergehen, sondern fordern nun auch ein paar ganz bestimmte Anstrengungen von deiner Seite. Nun Daniel vorzuwerfen, nach langer Diskussion nicht mehr ganz so viel Zeit und Kraft aufgewendet zu haben, ist eine Unverschämtheit.

Das ist jetzt mein letztes Wort zum neuen Diskussionsmodus, entweder wir kehren jetzt in diesem neuen Modus in diesem neuen Abschnitt zum Thema zurück, oder lassen es ganz bleiben, das ist deine Entscheidung. --Chricho ¹ ² ³ 11:13, 9. Sep. 2017 (CEST)

Der Vergleich mit dem Erlernen einer fremden Sprache trifft meine Situation bzw. den Stand unserer Diskussion meines Erachtens nach nicht wirklich. Immerhin beziehe ich mich in meinen Äußerungen ja auf Grundwissen, welches in jeder Schule gelehrt wird. Dazu gehört, daß die Menge $\mathbb {N}$ die Menge der Natürlichen Zahlen ist, und zwar genau die Menge, die aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... etc. unendlich so weiter besteht. Wenn ich also hier von der Menge $\mathbb {N}$ spreche oder es in Euren Beiträgen lese, dann verstehe ich ausschließlich nur diese Menge darunter. Ich kann (zumindest aktuell) keine andere Menge darunter verstehen. Ist es also möglich, daß unsere unterschiedlichen Auffassungen bzw. Euer Vorwurf an mich, Vorurteile zu haben, darauf beruhen, daß man unter Mathematikern unter der Menge $\mathbb {N}$ etwas ganz anderes versteht, oder zumindest auch etwas anderes verstehen kann als eben diese Menge?--Wikilaser (Diskussion) 23:04, 9. Sep. 2017 (CEST)

Deine Missverständnisse/Vorurteile auf die Frage nach der Bedeutung des Zeichens $\mathbb {N}$ zu reduzieren, langt nicht hin. Du missverstehst vielmehr immer wieder die grammatikalische Funktion dieses und vieler anderer Zeichen in verschiedenen Kontexten. Aber ja, wenn man Axiome aufstellt, muss man auch von all seinem Schulwissen zurücktreten, nicht nur davon, was $\mathbb {N}$ ist, sondern auch davon, was $0,1,2$ sind, was so ein $...$ bedeutet und von vielem mehr. --Chricho ¹ ² ³ 10:57, 10. Sep. 2017 (CEST)

Du wolltest von vorn anfangen, und meine Frage hinsichtlich des Zeichens $\mathbb {N}$ möge dieser Neuanfang sein. Wenn die Peano-Axiome als Definition für die Menge derjenigen Zahlen zu verstehen sein soll, mit denen die Menschheit schon seit einer gefühlten Ewigkeit Dinge zählt (eben der Natürlichen Zahlen), dann müssen wir zunächst klären, was das Zeichen $\mathbb {N}$ für Mathematiker sonst noch bedeutet. Sonst reden wir von Anfang an aneinander vorbei.--Wikilaser (Diskussion) 16:04, 11. Sep. 2017 (CEST)

Antwort: Wenn man axiomatisiert, dann ist $\mathbb {N}$ ein bloßes Zeichen, ohne Bedeutung, abgesehen davon, dass man davon ausgeht, dass es eine Menge ist – das heißt man hat syntaktische Eigenschaften: Man kann Ausdrücke der Form $\ldots \in$ davor schreiben oder $\subseteq \ldots$ dahinter und bekommt so Aussagen. --Chricho ¹ ² ³ 16:55, 11. Sep. 2017 (CEST)

Wozu macht man das? Wozu verwendet man beim Axiomatisieren Zeichen, denen bereits eine bestimmte Bedeutung zugeordnet wurde, völlig ohne Bedeutung? Das muß ja zu Verwirrung führen. Kein Wunder, daß man unter solchen Voraussetzungen sein gesamtes Schulwissen in die Tonne kippen kann. Dann kann man es als Zeitverschwendung ansehen, vor einem Mathematikstudium erst einmal 13 (bzw. mit dem G8 eben 12) Jahre Schulmathematik zu betreiben. Diese Zeit könnte man wirklich sinnvoller nutzen und den Schülern gleich von Anfang an richtig Mathematik beibringen.

Was nun Peanos Verwendung des Zeichens $\mathbb {N}$ angeht, meinte er damit also irgendeine Menge (ohne Voraussetzungen) oder eben doch genau die Menge der Natürlichen Zahlen, die ich darunter verstehe?--Wikilaser (Diskussion) 22:39, 11. Sep. 2017 (CEST)

Er meinte irgend eine zunächst erstmal nicht näher bestimmte Menge. Erst mithilfe der Axiome schränkt sich ein, wie sie strukturiert sein kann. Wie die Elemente konkret aussehen, wird dabei jedoch offengelassen, vor allem, weil dafür die Ausdrucksmöglichkeiten fehlen. Das Ziel ist aber, dass sich eine Menge (zusammen mit Operationen 0,S), die den Axiomen gehorcht, so verwenden lässt, wie du es von den "echten" natürlichen Zahlen gewohnt bist. Und das ganze ohne Rückgriff auf eine schon gegebene Struktur $(\mathbb {N} _{2},0_{2},S_{2})$, von der man bereits weiß, dass sie die Axiome erfüllt. Würde man so einen Rückgriff vornehmen, wüsste man gar nicht so richtig, was die Axiome denn eigentlich aussagen. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:36, 14. Sep. 2017 (CEST)

Wenn er tatsächlich nur irgendeine Menge meinte, dann kann man meines Erachtens nach nicht sagen, die Peano-Axiome seien die Definition der Menge der Natürlichen Zahlen. Vielmehr ergibt sich dann, daß er lediglich eine allgemeine Struktur beschrieb, die auf viele Mengen zutreffen kann, und die Menge der Natürlichen Zahlen eben auch diese Struktur aufweist. Das ist vergleichbar mit: Jeder Pudel ist ein Hund, aber nicht jeder Hund ist ein Pudel. Hierbei ist die allgemeine Struktur, die Peano axiomatisierte, ein Hund, während die Menge der Natürlichen Zahlen die Rolle des Pudels einnimmt.--Wikilaser (Diskussion) 02:48, 15. Sep. 2017 (CEST)

In der Analogie wollen Peanos Axiome nur festzurren, was ein Hund ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:31, 16. Sep. 2017 (CEST)

Gut, dann darf man aber nicht sagen, daß jeder Hund ein Pudel ist, sprich im übertragenen Sinne, daß meine Menge (die mit den Transzendenten Zahlen) gleich der Menge der Natürlichen Zahlen sei, sondern lediglich, daß die schematische Struktur meiner Menge (0, Nachfolgefunktion, unendlich viele Elemente) mit der schematischen Struktur der Natürlichen Zahlen übereinstimmt.--Wikilaser (Diskussion) 20:09, 18. Sep. 2017 (CEST)

Niemand hat gesagt, dass die beiden Mengen gleich wären. Sie würden höchstens beide den Peano-Axiome gehorchen (vorausgesetzt, du hättest auf deiner Menge eine brauchbare Nachfolgerfunktion definiert, und vorausgesetzt, man wüsste, welche der unendlich vielen Möglichkeiten "die Menge der natürlichen Zahlen" ist). Aber um es auch hier nochmal zu betonen: Anhand der Peano-Axiome kann man nicht feststellen, ob man es mit der "echten" Menge der natürlichen Zahlen zu tun hat. Das ist nicht ihr Ziel und sie können es aufgrund ihres tatsächlichen Ziels auch nicht leisten. Wenn du so eine Feststellung treffen willst, bewegst du dich in anderen Sphären, die nur sehr wenig mit dem Thema zu tun haben. Vielleicht erneut das Ziel: Festlegen, wie sich "die natürlichen Zahlen" verhalten sollen, ohne auf ein Beispiel zurückzugreifen.

Vielleicht hilft auch folgende auf die Analogie bezogene Beobachtung, dich aufs richtige Gleis zu befördern: Du versuchst scheinbar, in der Hundedefinition einen Pudel wiederzufinden, und bestehst darauf, dass etwas passendes vorkommen muss, damit die Definition von "Hund" "stimmt". --Daniel5Ko (Diskussion) 00:01, 20. Sep. 2017 (CEST)

Zu Hund und Pudel: Du vermutest falsch. Ich bestehe darauf, daß etwas passendes vorkommen muß, damit die Definition von Pudel stimmt, da man ansonsten nur von Hund reden kann.

Nein, niemand will eine Mauer bauen (um hier ein historisches Zitat zu bemühen). Schon klar. Soll ich den Beitrag zitieren, oder willst Du selbst nachlesen, wo mir gesagt wurde, daß meine Menge der Menge der Natürlichen Zahlen entspricht?--Wikilaser (Diskussion) 22:30, 20. Sep. 2017 (CEST)

Ich habe oben schon gesagt, dass in (meiner Interpretation) der Analogie die Peano-Axiome nur festzurren wollen, was ein Hund ist. Deine Menge (zusammen mit passender Nachfolgerfuntion etc.) kann die Peano-Axiome erfüllen, ohne dass sie gleich einer bestimmten anderen Menge ist, die auch (zusammen mit passender Nachfolgerfunktion etc.) die Peano-Axiome erfüllt. Es gibt einen Zusammenhang zwischen ihnen, den man von mir aus irgendwie mit "entsprechen" zusammenfassen kann, aber der ist nicht Gleichheit. Wenn du meinst, dass es der Sache dient, zitiere. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:37, 20. Sep. 2017 (CEST)

Gut, dann sind wir uns hinsichtlich Peano-Axiome und "Hund" einig. Was das Zitat angeht, da hast Du von "isomorph" gesprochen. Das habe ich inzwischen verstanden. Du kannst also nun Deinerseits zugeben, daß meine Menge eben nicht gleich der Menge der Natürlichen Zahlen ist. Etwas stört mich trotzdem daran, nämlich die Sache mit dem nicht verwendbaren Vorwissen beim Axiomatisieren. Wenn im Artikel steht, daß 0 eine Natürliche Zahl sei (Axiom 1), und daß eine Menge X mit der 0 jede Natürliche Zahl n sowie jeden Nachfolger n' enthält (Axiom 5), dann deutet dies entweder darauf hin, daß eben doch auf solches Vorwissen zurückgegriffen wird, oder daß die Formulierung im Artikel irreführend ist, wenn einfach nur irgendeine Menge N gemeint sein soll. Trifft ersteres zu, wäre meine Menge eben nicht isomorph zu $\mathbb {N}$. Wenn zweiteres zutrifft, wäre Isomorphie zu N (nicht jedoch zu $\mathbb {N}$) gegeben.--Wikilaser (Diskussion) 18:40, 21. Sep. 2017 (CEST)

Ich habe nirgends von "isomorph" gesprochen.

Dass deine Menge (zusammen mit passenden 0 und S) sich von allen anderen Mengen (zusammen mit jeweiligen 0 und S) unterscheidet, ist völlig klar, und hat nie irgend jemand betritten. Was soll es bringen, wenn ich das jetzt zugebe?

Welche Axiome man ansetzt, gründet sich natürlich auf Vorwissen. Eigentlich sogar auf Vorurteilen. Worauf Chricho hinauswollte, ist, dass man sich dann beim Beweisen von Dingen nicht auf irgendein schlecht zu kommunizierendes Vorwissen oder Vorurteile stützt, sondern auf die klar und explizit angegebenen Axiome. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:55, 22. Sep. 2017 (CEST)

Du hast Recht, ich muß meine Aussage korrigieren: Chricho sprach von isomorph bezüglich meiner Menge. Es sollte jetzt aber hoffentlich endlich klar sein, daß meine Menge eben nicht gleich der Menge $\mathbb {N}$ ist, sondern ihr lediglich strukturell ähnlich ist.--Wikilaser (Diskussion) 14:12, 25. Sep. 2017 (CEST)

Ich möchte noch einmal auf Deinen obigen Beitrag zurückkommen:

X ist frei wählbar. Das Ergebnis der Anwendung von Axiom 5 ist aber erstmal bloß eine Implikation. Nehmen wir beispielsweise $X:=\{0,7\}$. Dann erhalten wir

$0\in \{0,7\}\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in \{0,7\}\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in \{0,7\})\implies \mathbb {N} \subseteq \{0,7\}.$

Glücklicherweise ist die Voraussetzung falsch. Es gilt nämlich $0\in \{0,7\}$ und ${\mathsf {S}}(0)\notin \{0,7\}$. Denn, angenommen ${\mathsf {S}}(0)\in \{0,7\}$, dann ist ${\mathsf {S}}(0)=0$ oder ${\mathsf {S}}(0)={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$. Der erste Fall wird von Axiom 3 verboten, der zweite ergibt mit Axiom 4, dass $0={\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0))))))$, was wiederum von Axiom 3 verboten wird.

Wenn man, wie Du sagst, beim Axiomatisieren jegliches Wissen über die verwendeten Zeichen vergessen muß und die Zeichen ohne Bedeutung sein sollen, dann wäre das auch bei Deiner Menge $X:=\{0,7\}$ so, sprich man wüßte dann nicht, ob diese 7 nun genau der 7 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen, oder ob sie beispielsweise der 1 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen. Da Du aber die 7 mit S(S(S(S(S(S(S(0) bezeichnest, statt mit S(0), Setzt Du offenbar doch ein solches Wissen über die Natürlichen Zahlen voraus.--Wikilaser (Diskussion) 10:21, 14. Sep. 2017 (CEST)

Ich habe die 7 als Abkürzung für ${\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$ benutzt. Ebenso wie 1 als Abkürzung für ${\mathsf {S}}(0)$.

Dass aber z.B. dann $1\neq 7$ gilt (wie man's gerne hätte), stimmt nicht von allein, sondern erst durch die im Zitat genannten und verwendeten Axiome und ein wenig Logik. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:36, 14. Sep. 2017 (CEST)

Du hast nur wenige Beiträge weiter oben geschrieben:

Aber ja, wenn man Axiome aufstellt, muss man auch von all seinem Schulwissen zurücktreten, nicht nur davon, was N {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb {N} ist, sondern auch davon, was 0 , 1 , 2 {\displaystyle 0,1,2} 0,1,2 sind, was so ein . . . {\displaystyle ...} ... bedeutet und von vielem mehr.

Mit der jetzigen Antwort, Du hättest die 7 als Abkürzung für ${\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$ benutzt, gibst Du nun - wenn auch unfreiwillig - zu, daß Du eben doch auf solches Vorwissen zurückgreifst. Ohne dieses Vorwissen wäre nicht klar, ob die 7 dieser Menge der 7 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen, mithin also ob sie ${\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}({\mathsf {S}}(0)))))))$ entspricht, oder ob sie der 1 entspricht, die wir aus dem Dezimalsystem kennen, mithin also ${\mathsf {S}}(0)$.--Wikilaser (Diskussion) 02:48, 15. Sep. 2017 (CEST)

Ich würde es mal nicht „Vorwissen“, sondern eine Tradition nennen. Man orientiert sich in der Namensgebung (=bei den Definitionen) an tradiertem, für die Beweise setzt man jedoch keinerlei solches Vorwissen voraus.

Noch zu deinem obigen Punkt: „Vielmehr ergibt sich dann, daß er lediglich eine allgemeine Struktur beschrieb, die auf viele Mengen zutreffen kann, und die Menge der Natürlichen Zahlen eben auch diese Struktur aufweist.“ Richtig (es gibt viele zu den natürlichen Zahlen isomorphe Strukturen), das macht aber nichts, wir fixieren mit den Namen $\mathbb {N} ,0,S$ genau eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und einer einstelligen Funktion, die bestimmte Eigenschaften erfüllen, bestimmen aber auch nicht näher, welche das sein sollen. Es kommt nur darauf an, dass wir $\mathbb {N} ,0,S$ als feste Namen benutzen. --Chricho ¹ ² ³ 12:26, 15. Sep. 2017 (CEST)

Wenn eine solche "Tradition" erlaubt ist, dann sehe ich kein Problem darin, für eine eindeutige und klare Definition der Menge $\mathbb {N}$ eine Nachfolgerfunktion n' = n + 1 zu benutzen. Sollte jedoch jegliche "Tradition" verboten sein, müßte man für eine eindeutige und klare Definition der Menge $\mathbb {N}$ eben auch erst einmal definieren, was unter 0 und 1 zu verstehen sein soll.

Bezüglich dessen, was die Peano-Axiome nun aktuell aussagen, können wir uns hoffentlich darauf einigen, daß sie nicht als die Definition der Menge $\mathbb {N}$ angesehen werden kann, sondern lediglich, daß die Menge $\mathbb {N}$ eben auch die allgemeine Struktur aufweist, die durch die Peano-Axiome beschrieben werden.

Jetzt würde mich aber doch noch interessieren, wie Du Dir das vorstellst, als Du mich fragtest, ob meine Menge (die mit den Transzendenten Zahlen) mit allen Natürlichen Zahlen abgezählt sein solle bis zu deren Ende. Denn aus Axiom 2 ergibt sich für meine Begriffe, daß es kein Ende der Natürlichen Zahlen geben kann.--Wikilaser (Diskussion) 23:53, 15. Sep. 2017 (CEST)

Die Menge $\mathbb {N}$ wird überhaupt nicht definiert, die Nachfolgerfunktion auch nicht und die $0$ auch nicht, wenn man mit den Peano-Axiomen ansetzt. Das sind die nicht zu definierenden Grundbegriffe. Die „eindeutige und klare Definition“ ist bei diesem axiomatischen Ansatz gar nicht gewünscht – denn mit irgendwelchen Grundbegriffen muss man anfangen (denn eine zyklische Definition ist ebenso unerwünscht wie ein unendlicher Regress in diesem prädikatenlogischen Kontext – in anderen Systemen ist das anders, dort kann es auch rekursive Definitionen geben). Die 1 dagegen wird definiert als $S(0)$. Die gemäß Tradition gewählten Definitionen haben dabei immer die Form, dass für einen Ausdruck, der nur aus bereits bekannten Zeichen besteht ein neuer Name gegeben wird. Deine Definition $S(n)=n+1$ wäre hingegen unzulässig, denn die Addition haben wir bislang weder definiert, noch ist sie ein Grundbegriff.

Nun zu deiner anderen Frage: Das meinte einfach nur, ob deine Zahlen eine Folge bilden. Oder anders ausgedrückt: Du sagtest, dass die eine totale Ordnung bilden sollen. Dann besagte meine Frage, ob zwischen zwei deiner Elemente gemäß dieser Ordnung immer nur endlich viele Elemente dazwischen liegen – das „…“ klärt ja nicht zwangsläufig, wie weit es weiter geht, ob nur so weit, wie die natürlichen Zahlen gehen, oder ob dahinter noch etwas kommt. --Chricho ¹ ² ³ 10:38, 16. Sep. 2017 (CEST)

Nun, wenn die Menge $\mathbb {N}$ gar nicht definiert wird, dann ist der Eingangssatz im Artikel nicht ganz richtig formuliert:

"Die Peano-Axiome (auch Dedekind-Peano-Axiome oder Peano-Postulate) sind fünf Axiome, welche die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften charakterisieren."

Korrekterweise müßte es "... auch die Natürlichen Zahlen ..." sowie "... und einige ihrer Eigenschaften ..." heißen. Dann wäre ich damit einverstanden.

Zu der anderen Frage: Ja, ich beschrieb meine Menge in Form einer total geordneten (nicht jedoch dicht geordneten) Folge, und nein, es sollten zwischen den genannten Elementen keine anderen Elemente liegen. Das "..." sollte lediglich darstellen, daß einfach unendlich viele Transzendente Zahlen zu meiner Folge gehören, aber keineswegs alle in einem bestimmten Intervall.

Und jetzt nochmal, weil Du hier schon wieder "... nur so weit, wie die Natürlichen Zahlen gehen ..." sowie "... ob dahinter noch etwas kommt." schreibst:

Wie weit gehen denn Deiner Auffassung nach die Natürlichen Zahlen, bzw. ab welcher Natürlichen Zahl beginnt Deiner Auffassung nach dieses "dahinter"?--Wikilaser (Diskussion) 20:09, 18. Sep. 2017 (CEST)

Hinter den natürlichen Zahlen ist natürlich keine weitere natürliche Zahl. Aber es sind viele Totalordnungen denkbar, die die natürlichen Zahlen enthalten und überdies noch Zahlen, die größer sind als alle natürlichen Zahlen, zum Beispiel in den Ordinalzahlen (da fängt das „Dahinter“ mit $\omega$ an, siehe die hübsche Grafik in dem Artikel), oder in den hyperreellen Zahlen (da gibts kein kleinstes Element „dahinter“). --Chricho ¹ ² ³ 20:20, 18. Sep. 2017 (CEST)

Und Charakterisieren heißt eben nicht Definieren in diesem speziellen Kontext. Das „einige“ kann man sich sparen, weil es eben alle Eigenschaften sind, die einen normalerweise interessieren und die man auch nur normalerweise mit dem Begriff der natürlichen Zahlen notwendig verbindet – das ist jetzt natürlich schwammig formuliert, aber passt das erstmal so für dich? --Chricho ¹ ² ³ 20:36, 18. Sep. 2017 (CEST)

Aus Deinen Worten und Links entnehme ich, daß dieses $\omega$ die kleinste Ordinalzahl sei, die größer ist als jede Natürliche Zahl. Wenn aber $\omega -1$ dann die größte aller Natürlichen Zahlen sein soll, würde für diese das Axiom 2 nicht gelten, welches jedoch für alle Natürlichen Zahlen gilt. Somit komme ich zu der Ansicht, daß es gar kein solches $\omega$ geben kann. Es sei denn, Du kannst mir konkret, als nicht nur durch dieses Zeichen $\omega$, die Zahl nennen, ab der dieses "dahinter" beginnt.

Zum Charakterisieren: Das "auch" sollte trotzdem in dem Satz enthalten sein, da der Satz ansonsten irreführend wäre.--Wikilaser (Diskussion) 13:11, 19. Sep. 2017 (CEST)

Auf den Ordinalzahlen ist schlichtweg keine Subtraktion definierbar, deshalb gibt es $\omega -1$ auch nicht. Darauf, wie man das $\omega$ näher definiert, kommt es doch überhaupt nicht an, für uns hier relevant ist nur, dass man eine Totalordnung definieren kann, in der man hinter die natürlichen Zahlen noch ein $\omega$ dranhängt. Auf der Menge $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ definiert man dann $a<b$ als genau dann wenn:

* $b=\omega$ und $a\neq \omega$,

* oder $a\neq \omega \neq b$ und $a<b$ gem. dem üblichen Vergleich auf den natürlichen Zahlen.

Deshalb ist mit deinen Angaben „unendlich viel“ und „Totalordnung“ noch nicht gesagt, wie die Ordnung genau aussieht, sondern es hängt davon ab, wie man das $\ldots$ definiert.

Zum Charakterisieren: Wenn ich eine gute Charakteristik von meinem Nachbarn abgegeben habe, dann wird sie nicht dadurch schlechter, dass ich irgendwann seinen Zwilling kennen lerne und feststelle, dass diese Charakteristik auf den Zwilling genauso zutrifft (jdf. solang die Zwecke, für die ich die Charakteristik brauche, sich nicht ändern, und so ists in der Mathematik). Ein Satz, der mit dem Wörtchen „auch“ stimmt, der stimmt auch ohne es, das „auch“ ist nur eine Verdeutlichung und Spezifizierung, die hier in der Einleitung des Artikels aber zu speziell wäre, sie anzubringen. --Chricho ¹ ² ³ 13:44, 19. Sep. 2017 (CEST)

Gut, wenn man $\omega -1$ nicht definieren kann, dann sag mir wenigstens, hinter welcher konkreten Natürlichen Zahl dieses $\omega$ liegen soll. Denn wenn Du das nicht angeben kannst, dann muß ich die Existenz dieses $\omega$ schlicht bezweifeln, bzw. es als Wunschtraum bezeichnen. Mir erscheint es erst einmal nur als bloße Behauptung, es gäbe ein solches "hinter den Natürlichen Zahlen". Deshalb nochmal: Wo ist dieses "hinter den Natürlichen Zahlen" genau?

Ergänzung: Ich finde, man kann sehr wohl eine Art Subtraktion auf den Ordinalzahlen definieren. Die dritte Position unterscheidet sich von der vierten Position um 1, von der fünften Position um 2 und von der sechsten Position um 3, und das kann letztlich sogar im Unendlichen genauso funktionieren. Ich sehe daher kein wirkliches Problem für eine solche Definition. Ferner gebe ich zu bedenken, wenn Du eine Folge der Natürlichen Zahlen schreibst und sie mit den Ordinalzahlen durchnummerierst, müßten ja bei irgendeiner Ordinalzahl die Natürlichen Zahlen erschöpft sein (was ich aufgrund des Axioms 2 für unmöglich halte).

Zur Charakteristik: Welche konkrete Menge ist denn Deiner Ansicht nach ein solcher Zwilling der Natürlichen Zahlen?

Zum "auch" widerspreche ich Deiner Ansicht insofern, als man ohne dieses "auch" denken könnte, die Peano-Axiome würden "nur" die Menge der Natürlichen Zahlen charakterisieren. Es ist also sehr wohl wichtig, dieses "auch" dazuzuschreiben.--Wikilaser (Diskussion) 22:10, 19. Sep. 2017 (CEST)

Zum „auch“: Gut, diskutieren wir hier jetzt nicht, wie die Formulierung im Artikel sein sollte, das wäre ein zweiter Schritt, in der Sache, die für uns da wichtig ist, sind wir uns ja gerade einig.

Zum „hinter“: Das Dahinter ist in den Ordinalzahlen – die Ordinalzahlen sind aber auch nur eine von vielen Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen zu nach hinten zu erweitern (und im Übrigen ist das auch nicht viel schwieriger sich vorzustellen, als dass man in den ganzen Zahlen die natürlichen Zahlen nach vorne erweitert, es ist einfach ein Dranhängen). Die Subtraktion kann im Unendlichen genauso funktionieren, muss sie aber nicht, in den Ordinalzahlen tut sie es eben nicht immer – nur für manche Paare von Ordinalzahlen wäre so etwas sinnvoll definierbar, $\omega -1$ ists nicht.

„wenn Du eine Folge der Natürlichen Zahlen schreibst und sie mit den Ordinalzahlen durchnummerierst, müßten ja bei irgendeiner Ordinalzahl die Natürlichen Zahlen erschöpft sein“ – mach ich aber nicht, erübrigt sich damit.

Mein ganzer Punkt (mit Ordinalzahlen etc.) drehte sich ja nur darum, dass die Bedeutung von „…“ nicht völlig selbstverständlich ist. Gibts da noch grundsätzlich Klärungsbedarf?

Für Zwillinge der natürlichen Zahlen hast du oben zahlreiche Beispiele bekommen, zum Beispiel Darstellungen in verschiedenen Stellenwertsystemen. --Chricho ¹ ² ³ 00:08, 20. Sep. 2017 (CEST)

Mal eine persönliche Frage: Findest du das nicht etwas merkwürdig, dass du, wenn dir ein neuer Gegenstand in einigen Aspekten vorgestellt wird (hier die Ordinalzahlen), den du vorher nicht kanntest und auch jetzt nur in wenigen Ansätzen kennst, gleich erst einmal vermutest, dass es sich mit ihm ganz anders verhält, als alle Leute vom Fach, die diesen Gegenstand definieren und untersuchen, bislang gedacht haben? (und dieser Gegenstand hat ja nun auch nicht direkt mit vorherigen Gegenständen der Diskussion zu tun) Ich kann dir jdf. verraten: Auf den Ordinalzahlen gelten etwas andere Rechengesetze als auf den natürlichen Zahlen (so wie sie auf den reellen Zahlen und den komplexen Zahlen auch jeweils etwas anders sind). --Chricho ¹ ² ³ 00:20, 20. Sep. 2017 (CEST)

Zu Deinen Zwillingsbeispielen hatte ich bereits gesagt, daß die Darstellung in verschiedenen Stellenwertsystemen in meinen Augen nicht gilt, da es sich dabei jeweils um ein und dieselbe Menge handelt, die lediglich mittels verschiedener Stellenwertsysteme unterschiedlich ausgedrückt werden kann. Man kann auch das römische Zahlensystem verwenden, es ändert sich nichts daran, daß man damit ein und dieselbe Menge meint.

Zu dem "..." kann ich nur sagen, daß damit stets gemeint ist, daß es immer weiter geht. Nicht zuletzt auch deshalb, weil es nicht möglich ist, eine unendliche Folge tatsächlich niederzuschreiben. Das machte ja auch Georg Cantor nicht.

Was die Ordinalzahlen angeht, so beginnen sie ohne Zweifel genauso wie die Natürlichen Zahlen, nur eben mit dem Punkt dahinter, der ausdrücken soll, daß eine bestimmte Position gemeint sein soll. Aber ob ich jetzt eins oder erstes, zwei oder zweites, drei oder drittes, etc. sage, ändert nichts daran, daß beide Mengen (Natürliche Zahlen wie Ordinalzahlen) letztlich genau gleich aufgebaut sind. Beide Mengen haben unendlich viele Elemente. Wenn nun irgendwer behauptet, es gäbe Ordinalzahlen (wie dieses $\omega$ oder, wie es der Darstellung aus dem Link zu den Ordinalzahlen zu entnehmen ist, $\omega +1,\omega +2,\omega +3,etc.\omega *2,\omega *3,etc.,\omega ^{2},\omega ^{3},etc.\omega ^{\omega }$), die hinter den Natürlichen Zahlen liegen sollen, hieße das ja, daß die Natürlichen Zahlen aus irgendeinem Grund irgendwann erschöpft sein müßten, sprich, daß es eine letzte Natürliche Zahl geben müßte. Und eine solche letzte Natürliche Zahl gibt es nun einmal nicht.

Und hier komme ich auf Deine persönliche Frage zu sprechen: Wenn ich aufgrund solcher logischer und wohl unbestreitbarer Überlegungen zu dem Schluß komme, daß da etwas nicht stimmt, warum soll ich es dann nicht auch sagen?

Solltest Du mir in diesem Punkt widersprechen wollen, so müßtest Du mir jetzt konkret genau die Natürliche Zahl nennen, nach der es aus Deiner Sicht keine weitere Natürliche Zahl mehr geben soll. Diese Frage steht sowieso noch unbeantwortet im Raum. Also los!--Wikilaser (Diskussion) 22:30, 20. Sep. 2017 (CEST)

Es gibt keine größte natürliche Zahl. Da sind wir uns einig. $\omega$ kam ins Spiel, um dir zu zeigen, dass deine alternative Axiomatisierung unzureichend ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:45, 20. Sep. 2017 (CEST)

Wenn es also keine größte Natürliche Zahl gibt, wie kann es dann ein "dahinter" geben, wo dann dieses behauptete $\omega$ beginnen soll?--Wikilaser (Diskussion) 18:40, 21. Sep. 2017 (CEST)

$\omega$ ist keine natürliche Zahl und liegt per Definition der Anordnung her hinter allen natürlichen Zahlen. Genau so, wie 1 bzgl. der üblichen Ordnung auf $\mathbb {Q}$ hinter allen Elementen von $\left\{{\frac {10^{k}-1}{10^{k}}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}$ (in dieser Menge ist 1 übrigens nicht enthalten) liegt. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:22, 28. Sep. 2017 (CEST)

Man kann auch die Darstellungen selber (und nicht das mit ihnen gemeinte) als mathematische Menge auffassen, dann sind sie eben nicht dieselbe.

Nehmen wir statt natürlichen Zahlen und Ordinalzahlen mal die endlichen Dezimalbrüche mit $0$ vor dem Komma und nur Neunen nach dem Komma (also die Menge $A=\{0;0,9;0,99;0,999;0,9999;\ldots \}=\left\{{\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$) sowie die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Jetzt sage ich: Es gibt rationale Zahlen, die hinter den Zahlen aus $A$ liegen, zum Beispiel die Zahlen 1 und 2, dennoch gibt es unendlich viele Zahlen in $A$ und keine von ihnen ist die letzte/größte. Siehst du, dass „Erschöpftsein“ eben nicht impliziert, dass es ein größtes Element gibt? --Chricho ¹ ² ³ 11:05, 21. Sep. 2017 (CEST)

Als Gegenargument kann ich Georg Cantors erstes Diagonalargument anführen. Darin zeigte er, daß die Natürlichen Zahlen nicht nur ausreichen, um alle Rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 abzudecken, sondern sogar um alle positiven und negativen Rationalen Zahlen abzudecken. Die Natürlichen Zahlen werden also nicht erschöpft.--Wikilaser (Diskussion) 18:40, 21. Sep. 2017 (CEST)

Entschuldige, aber du schmeißt alles durcheinander, mit dem Diagonalargument hat das hier rein gar nichts zu tun. Nochmal: In der unendlichen Menge $A$ gibt es kein größtes Element, dennoch gibt es in den rationalen Zahlen ein „Dahinter“, das mit $1$ beginnt. Analog: In der unendlichen Menge $\mathbb {N}$ gibt es kein größtes Element, dennoch gibt es in den Ordinalzahlen ein „Dahinter“, das mit $\omega$ beginnt. So weit einverstanden?

--Chricho ¹ ² ³ 22:54, 21. Sep. 2017 (CEST)

Nein, damit bin ich nicht einverstanden. Wenn Du behaupten willst, es gäbe ein "dahinter" in den Ordinalzahlen, dann mußt Du genau die Natürliche Zahl nennen, die gewissermaßen die letzte Natürliche Zahl vor diesem $\omega$ sein soll. Nochmal zum Verständnisabgleich, was Natürliche und was Ordinalzahlen sind:

Natürliche Zahlen sind eins, zwei, drei, vier, ... und bezeichnen jeweils eine Anzahl, die wiederum durch eine Maßeinheit genauer bezeichnet werden können.

Ordinalzahlen sind Nummer eins, Nummer zwei, Nummer drei, Nummer vier, ... und bezeichnen jeweils eine bestimmte Position in einer Reihenfolge.

Stimmst Du mir zu oder nicht?

Beide Zahlenarten (Natürliche und Ordinal) haben unendlich viele Elemente.

Stimmst Du mir zu oder nicht?

Wenn es nun bei den Ordinalzahlen einen Bereich geben soll, der "hinter" der Natürlichen Zahlen liegen soll, dann müssen die Natürlichen Zahlen ja irgendwann zur Neige gehen, während die Ordinalzahlen mit $\omega$, $\omega +1$, $\omega +2$, ... weitergehen.

Was nun Cantors Diagonalargument angeht, da habe ich viel mehr den Eindruck, als wäre Dir dessen Tragweite nicht bewußt. Überleg mal:

Die Rationalen Zahlen umfassen sowohl die Natürlichen Zahlen als auch die Brüche. Wenn Cantor zeigen kann, daß die Natürlichen Zahlen gleichmächtig zu den Rationalen Zahlen sind, dann bedeutet dies, daß es gewissermaßen mehr Natürliche Zahlen gibt, als es Natürliche Zahlen gibt. Klingt komisch, aber genauso ist es. Und das kommt daher, daß es keine größte Natürliche Zahl gibt. Daraus läßt sich schließen, daß es kein "dahinter" geben kann. Und dies wiederum führt zu dem Schluß, daß dieses $\omega$ schlicht eine Behauptung ist, aber in Wirklichkeit gar nicht existieren kann.--Wikilaser (Diskussion) 14:12, 25. Sep. 2017 (CEST)

Bitte lass die Mutmaßungen, dass mir die Bedeutung bestimmter elementarer Sätze nicht bewusst ist – du bist hier derjenige mit autodidaktischem Stückwerkwissen.

„Ordinalzahlen sind Nummer eins […]“ – nein, Ordinalzahlen sind in der Mathematik etwas anderes als im Alltagssprachgebrauch (sie fangen zum Beispiel mit 0 an, erster Unterschied – zweiter Unterschied: sie gehen nach den natürlichen Zahlen weiter).

„[…] dann mußt Du genau die Natürliche Zahl nennen, die gewissermaßen die letzte Natürliche Zahl […]“ – nein, dass es ein „dahinter“ gibt, heißt nicht, dass es ein größtes Element gibt, siehe mein obiges anderes Beispiel.

„es gewissermaßen mehr Natürliche Zahlen gibt, als es Natürliche Zahlen gibt“ – nein, Cantor definiert „zwei Mengen sind gleich groß, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen beiden gibt“, das heißt, die Menge der natürlichen Zahlen ist gleich groß wie die der rationalen Zahlen, und es ist die Menge der natürlichen Zahlen auch gleich groß wie sie selber. Abgesehen davon hat das alles nichts mit dem von mir aufgeführten zu tun, denn mein „dahinter“ redet nicht davon, dass eine Menge größer ist als eine Teilmenge im Sinne einer größeren Mächtigkeit, sondern davon, dass in einer Menge (hier: die Ordinalzahlen bis einschließlich $\omega$ oder die rationalen Zahlen) Elemente liegen, die bezüglich einer gewissen Ordnung (hier: die auf den Ordinalzahlen bzw. die übliche auf den rationalen Zahlen) größer sind als alle Elemente einer Teilmenge (hier: im einen Beispiel $\mathbb {N}$ im anderen $A$). --Chricho ¹ ² ³ 19:55, 25. Sep. 2017 (CEST)

Bitte hör auf, mir irgendwelche Vorwürfe zu machen. Ich rede hier über Tatsachen, und nichts anderes. Tatsache ist, daß zwischen den Natürlichen Zahlen noch Brüche liegen, und zwar zwischen jeden zwei aufeinanderfolgenden Natürlichen Zahlen unendlich viele Brüche. Tatsache ist, daß Cantor mit seinem Diagonalargument bewies, daß man mit den Natürlichen Zahlen auch die Rationalen Zahlen (die sich nun einmal aus Natürlichen Zahlen und Brüchen zusammensetzen) abzählen kann.

Willst Du das bestreiten? Ich hoffe nicht.

Daraus ergibt sich, daß die Natürlichen Zahlen in der Lage sind, sich gewissermaßen selbst zu übertreffen. Das ist ohne wenn und aber die logische Schlußfolgerung, bewiesen durch Georg Cantor.

Wenn nun Deiner Ausführung nach die Ordinalzahlen mit 0 anfangen, dann können wir gern die Natürlichen Zahlen auch inkl. der 0 danebenstellen. Nun geh mal eine Ordinalzahl nach der anderen durch, und parallel dazu eine Natürliche Zahl nach der anderen durch. Und dann zeige mir exakt die Stelle, an der dieses "dahinter" beginnt. Ich will von Dir ganz konkret die Ordinalzahl genannt bekommen, die die letzte Ordinalzahl vor diesem $\omega$ ist. Denn diese müßte sich ja exakt mit einer Natürlichen Zahl decken, hinter der dann diese Ordinalzahl $\omega$ erscheint. Denn solange Du diese Zahl nicht nennen kannst, halte ich sie für eine reine Behauptung. Nochmal: Die Ordinalzahlen beginnen bei 0 und die Natürlichen Zahlen ebenfalls. Und sie erhöhen sich beide mit jeder folgenden Zahl um jeweils 1. Also entwickeln sich sowohl die Ordinalzahlen als auch die Natürlichen Zahlen von Beginn an praktisch gleich. Wenn es also ein "dahinter" bei den Ordinalzahlen geben soll, dann müssen die Natürlichen Zahlen irgendwo aufhören. Das geht nicht anders. Dein Beispiel mit den Brüchen 9/10, 99/100, 999/1000, etc. habe ich mit Cantor ja bereits widerlegt. Die Natürlichen Zahlen erschöpfen sich da nicht, weil sie sich auch bei der gesamten Menge der Rationalen Zahlen nicht erschöpfen. Das sind nun einmal Tatsachen. Was willst Du daran bestreiten?--Wikilaser (Diskussion) 22:53, 25. Sep. 2017 (CEST)

Du verrennst dich.

Nochmal präziser (oben hatte ich es zusammengefasst als: „nein, dass es ein ‚dahinter‘ gibt, heißt nicht, dass es ein größtes Element gibt“): Sei $X$ eine Menge, total geordnet durch eine Ordnungsrelation $<$. Nun sei $Y$ eine strikt nach oben beschränkte Teilmenge von $X$, das heißt, jedes Element von $Y$ ist auch Element von $X$ und es gibt ein Element von $X$, das kein Element von $Y$, aber größer als alle Elemente von $Y$ ist. Schränken wir uns noch weiter ein, um näher an mein Beispiel zu kommen: $Y$ hat eine kleinste strikte obere Schranke in $X$, das heißt, es gibt eine kleinste strikte obere Schranke von $Y$, ein Element $s\in X$, sodass $s$ größer ist als alle Elemente von $Y$, dies aber für kein kleineres Element in $X$ ebenfalls gilt. Das kann man so formulieren: Das „hinter der Menge $Y$“ fängt mit dem Element $s$ an. Frage 1: Verstehst du die Situation? Frage 2: Erkennst du, dass diese Situation möglich ist? Frage 3: Möchtest du behaupten, nun müsse (oder könne es überhaupt) ein größtes Element von $Y$ geben? Frage 4: Erkennst du die Situation wieder? (als die der früheren Beispiele)

Die Möglichkeit, „sich gewissermaßen selbst zu übertreffen“, heißt nichts anderes, als dass es eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung einer Menge in sich selbst gibt. Diese Eigenschaft nennt man Dedekind-Unendlichkeit (oder schlichtweg Unendlichkeit). Dass die natürlichen Zahlen unendlich sind ist durchaus von Cantors erstem Diagonalargument zu unterscheiden (denn daraus, dass die natürlichen Zahlen „sich gewissermaßen selbst [‥] übertreffen“, folgt noch lange nicht, dass sie auch jede andere Menge „gewissermaßen [‥] übertreffen“). Dass du aus letzterem ein Argument gegen mich machst, beruht nur darauf, dass du mehrere Begriffe von „Erschöpfen“ miteinander vermengst, ich spreche hier nämlich ausschließlich von einem „erschöpfen“ und einem „dahinter“ gemäß einer festen Ordnung, während bei Mächtigkeitsvergleichen von Mengen wie im Fall von Cantors Diagonalargumenten die innere Ordnung auf den Mengen gar keine Rolle spielt. --Chricho ¹ ² ³ 14:38, 26. Sep. 2017 (CEST)

Mal sehen, ob ich Deine Beschreibung so verstehe wie Du:

Du beschreibst zwei Mengen X und Y, wobei Y eine Teilmenge von X sei. Dies entspricht in einem konkreten Beispiel der gesamten Menge der Rationalen Zahlen für X und der Teilmenge derjenigen Rationalen Zahlen, die im Intervall [0;1] liegen, für Y. Einverstanden?

Wenn nun Cantor sein Diagonalargument auf Y anwendet, stellt er eine Bijektion fest, weil er jeder Rationalen Zahl im Intervall [0;1] genau eine Natürliche Zahl zuordnen kann. Einverstanden?

Wenn Cantor sein Diagonalargument dann auf X anwendet, stellt er wiederum eine Bijektion fest, weil er jeder Rationalen Zahl im gesamten Zahlenbereich von -∞ bis +∞ eine Natürliche Zahl zuordnen kann. Einverstanden?

Daraus folgere ich, daß es trotz der Unendlichkeit der Menge Y und der Tatsache, daß es in Y keine größte Rationale Zahl gibt, die kleiner als 1 ist, oberhalb (oder eben "dahinter") von 1 und unterhalb von 0 (oder eben "davor") noch weitere Natürliche Zahlen gibt, um die Bijektion mit X zu bilden. Einverstanden?

Und daraus schließlich folgere ich: Es gibt kein solches $\omega$ "hinter" den Natürlichen Zahlen, weil die Natürlichen Zahlen auch hinter irgendwelchen oberen Schranken weitergehen können. Und dies können sie eben genau deshalb, weil es keine größte Natürliche Zahl gibt.--Wikilaser (Diskussion) 21:51, 26. Sep. 2017 (CEST)

Nein, $Y$ ist in meinem einen Beispiel nicht $[0,1]$, sondern $\left\{{\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}\mid n\in \mathbb {N} \right\}$.

Kannst du jetzt nochmal mit diesem Beispiel im Kopf die Fragen 1–3 beantworten?

(„und unterhalb von 0 […] noch weitere Natürliche Zahlen“ – bitte?)

„weil die Natürlichen Zahlen auch hinter irgendwelchen oberen Schranken weitergehen können“ – nein, eine obere Schranke ist eine obere Schranke, du magst durch Bijektionen umordnen können, aber von denen rede ich nicht, ich rede von der Schranke bezüglich der Ordnung so wie ich sie gewählt habe, nicht so, wie sie wird, wenn man die Reihenfolge ändert. --Chricho ¹ ² ³ 10:13, 27. Sep. 2017 (CEST)

Sag mal, liest Du meine Beiträge eigentlich aufmerksam? Ich habe den Eindruck, daß dies nicht oder zumindest nicht immer der Fall ist. Denn sonst würden solcherlei Mißverständnisse Deinerseits nicht vorkommen:

Ich schrieb: "in einem konkreten Beispiel", nicht "in Deinem konkreten Beispiel".

Und bei den Rationalen Zahlen (mein Beispiel) gibt es sehr wohl Zahlen unter 0, die Cantor in seinem Diagonalargument mittels Bijektion mit Natürlichen Zahlen verknüpfte.

Bevor Du von einer Schranke bezüglich der Ordnung sprichst, solltest Du erst einmal unmißverständlich darstellen, wie diese Ordnung aufgebaut ist. Ich bot Dir dazu eine Hilfestellung an, indem ich die ersten Ordinalzahlen anführte und sie gewissermaßen neben die ersten Natürlichen Zahlen stellte. Dieser Hilfestellung hast Du widersprochen und behauptet, die Ordinalzahlen seien in der Mathematik etwas anderes.

Also: Was sind in der Mathematik die Ordinalzahlen und wie lauten konkret die ersten sagen wir drei (damit es nicht gleich wieder zu kompliziert wird) Ordinalzahlen?

Und noch eine Anmerkung zu der Schranke: In Deinem Beispiel gibt es eine solche Schranke, es ist die 1. Die konkreten Zahlen Deines Beispiels nähern sich in immer kleiner werdenden Schritten der 1 an, ohne sie jemals erreichen zu können (es sei denn, man akzeptiert die Gleichung 0,(Periode)9 = 1). Aber die Schranke wird niemals überschritten. Bei den Natürlichen Zahlen jedoch gibt es keine solche Schranke, da die Natürlichen Zahlen immer von einer zur nächsten um genau 1 ansteigen. Dadurch wird jede Schranke irgendwann überschritten. Schon von daher bezweifle ich, daß ein solches $\omega$ existieren kann, hinter dem zwar die Ordinalzahlen weitergehen, jedoch nicht die Natürlichen Zahlen.--Wikilaser (Diskussion) 22:34, 27. Sep. 2017 (CEST)

Um noch einmal auf Dein Beispiel und Deine Fragen 1 - 3 zurückzukommen:

zu 1: Ich verstehe die Situation.

zu 2: Die Situation ist möglich.

zu 3: Nein, es muß hier kein größtes Element geben.

Du beschreibst Rationale Zahlen kleiner 1. Deine Schranke ist 1. Aber dennoch übersiehst Du hier etwas ganz Entscheidendes. Die Rationalen Zahlen größer 1 und damit oberhalb Deiner Schranke sind genauso Rationale Zahlen wie die Rationalen Zahlen unterhalb Deiner Schranke.

Wie soll es möglich sein, daß man den Ordinalzahlen unterhalb dieser Schranke $\omega$ Natürliche Zahlen zuordnen kann, aber oberhalb davon nicht mehr? DAS genau möchte ich von Dir erklärt haben. Und natürlich, was genau überhaupt Ordinalzahlen im Sinne der Mathematik sind, wenn nicht die Zahlen, die eine Reihenfolge oder eben eine Ordnung angeben.--Wikilaser (Diskussion) 19:06, 28. Sep. 2017 (CEST)

Vielleicht hilft [10] für den Erwerb von ein paar richtigungsführenden Intuitionen. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:59, 29. Sep. 2017 (CEST)

Entschuldige, dass ich dich falsch gelesen habe, aber dein Beispiel stimmte auch nicht. Es würde stimmen mit dem halboffenen Intervall $[0,1)$ in den rationalen Zahlen, aber nicht wenn man die 1 mit hinein nimmt.

Zum „unter 0“: Du hast von natürlichen Zahlen unter 0 geschrieben und die gibt es nicht – dass sie sich auf gewisse Weise auf natürliche Zahlen abbilden lassen, ändert daran nichts. Du musst dir mal angewöhnen, dass man nicht überall in seine Argumente Bijektionen einfügen darf, wenn es einem passt.

„daß man den Ordinalzahlen unterhalb dieser Schranke $\omega$ Natürliche Zahlen zuordnen kann, aber oberhalb davon nicht mehr“: Davon habe ich nie gesprochen (inwiefern es stimmt oder nicht stimmt, darauf gehe ich nicht ein) – aber die Ordinalzahlen unterhalb von $\omega$ sind die natürlichen Zahlen, diejenigen ab $\omega$ sind keine natürlichen Zahlen. Die ersten drei Ordinalzahlen sind 0, 1 und 2. Ganz einfach ists eigentlich.

„es sei denn, man akzeptiert die Gleichung 0,(Periode)9 = 1“ – nein, $0,{\bar {9}}=1$, das ändert aber nichts, weil eben $1$ kein Element von $A$ ist.

„solltest Du erst einmal unmißverständlich darstellen, wie diese Ordnung aufgebaut ist“ – ich habe die Ordnung auf einem Teil der Ordinalzahlen, nämlich auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ unmissverständlich und korrekt in meinem Beitrag von „13:44, 19. Sep. 2017“ definiert, du bist darauf nie eingegangen. Was die Ordinalzahlen allgemein sind und wie ihre Ordnung aussieht habe ich keine Lust dir zu erklären, es wäre auch zu kompliziert, kauf dir bei Interesse eine Einführung in die Mengenlehre (die Bücher von Deiser und von Ebbinghaus sind beliebt), dann kannst du es Schritt für Schritt lernen (wobei sie nicht mit den Axiomen anfangen, aber das ist vllt. gut), ich bin nicht dein Privatlehrer, denk dran, bevor du sowas schreibst wie „Und natürlich, was genau überhaupt Ordinalzahlen im Sinne der Mathematik sind“. Für unsere Argumente hier reicht es, wenn wir uns nur $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ anschauen.

„zu 3: Nein, es muß hier kein größtes Element geben.“ – es ist sogar ausgeschlossen, dass es eines gibt.

„Bei den Natürlichen Zahlen jedoch gibt es keine solche Schranke, da die Natürlichen Zahlen immer von einer zur nächsten um genau 1 ansteigen. Dadurch wird jede Schranke irgendwann überschritten.“ Nein, ob es eine strikte obere Schranke einer Menge gibt hängt erst einmal davon ab, als Teilmenge welcher anderen Menge wir sie auffassen. Wenn ich $A$ als Teilmenge von $A$ selber oder als Teilmenge von $[0,1)$ auffasse, hat sie keine (strikte) obere Schranke. Wenn ich sie als Teilmenge von $A\cup \{1\}$, von $[0,1]$ oder von $\mathbb {Q}$ auffasse, dann schon. Genauso ist es bei den natürlichen Zahlen: Wenn ich sie als Teilmenge von sich selber oder von $\mathbb {Q}$ auffasse, gibt es keine (strikte) obere Schranke, fasse ich sie dagegen als Teilmenge von $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ auf (oder zum Beispiel auch von den erweiterten reelen Zahlen, die außer $\mathbb {R}$ noch $+\infty$ und $-\infty$ enthalten), dann schon. Aus dem ‚Ansteigen um genau 1‘ können wir, wenn wir nicht weitere Einschränkungen machen, keine Schlüsse ziehen – es geht ja auch nur um die Reihenfolge, nicht um die Größe der Abstände, die können also von sich aus gar keinen Unterschied machen. --Chricho ¹ ² ³ 18:30, 29. Sep. 2017 (CEST)

Zu "Du hast von natürlichen Zahlen unter 0 geschrieben" ist zu sagen: Nein, das habe ich nicht. Ich schrieb davon, daß Cantor in seinem Diagonalargument auch den Rationalen Zahlen unter 0 Natürliche Zahlen zugeordnet hat. Deshalb nochmal: Lies bitte genauer!

Zu "ich habe die Ordnung auf einem Teil der Ordinalzahlen, nämlich auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ unmissverständlich und korrekt in meinem Beitrag von „13:44, 19. Sep. 2017“ definiert" ist zu sagen: Hättest Du es unmißverständlich definiert, hätten wir jetzt keine Diskussion darüber bzw. würde ich nicht nachfragen.

Zu "Nein, ob es eine strikte obere Schranke einer Menge gibt hängt erst einmal davon ab, als Teilmenge welcher anderen Menge wir sie auffassen." ist zu sagen: Um die Natürlichen Zahlen als Teilmenge einer anderen (ggf. höheren) Menge auffassen zu können, muß man erst einmal zeigen, daß es ein solches $\omega$ überhaupt gibt, das "hinter" den Natürlichen Zahlen liegen soll. Bislang hast Du hier nur die Behauptung aufgestellt, daß es ein solches $\omega$ gäbe, jedoch nicht gezeigt, wo genau es in Bezug auf die Natürlichen Zahlen liegt. Einfach zu behaupten, es läge "dahinter", reicht mir nicht. Ich will es ganz konkret wissen, nicht nur irgendwie angedeutet bekommen. Ist das jetzt deutlich genug?

Ich fordere Dich deshalb jetzt noch einmal auf, zunächst die ersten drei Ordinalzahlen zu nennen und zu begründen, was sie von Natürlichen Zahlen unterscheidet. Wenn Du dies nicht beantwortest, kommen wir nicht weiter.--Wikilaser (Diskussion) 02:44, 1. Okt. 2017 (CEST)

1. „Daraus folgere ich, daß es trotz der Unendlichkeit der Menge Y und der Tatsache, daß es in Y keine größte Rationale Zahl gibt, die kleiner als 1 ist, oberhalb (oder eben "dahinter") von 1 und unterhalb von 0 (oder eben "davor") noch weitere Natürliche Zahlen gibt, um die Bijektion mit X zu bilden.“ Das hast du geschrieben, da steht, dass du folgerst, dass „es […] unterhalb von 0 […] noch weitere Natürliche Zahlen gibt“ – der Satz ist für mich syntaktisch nicht anders zu verstehen und zeugt von großer Verwirrung.
2. Du hättest ja mal nachfragen können, was du an dieser Definition der Ordnung nicht verstehst.
3. Für unsere Zwecke würde es egtl. reichen, dass $\omega$ irgendetwas ist, was keine natürliche Zahl ist. Aber wenn du darauf beharrst, nehmen wir die Standarddefinition: $\omega =\mathbb {N}$.
4. Siehe oben: „Die ersten drei Ordinalzahlen sind 0, 1 und 2.“ (ich lese offenbar genauer als du) Sie sind natürliche Zahlen (aber eben nicht alle Ordinalzahlen sind natürliche Zahlen, $\omega$ zum Beispiel nicht). --Chricho ¹ ² ³ 04:21, 1. Okt. 2017 (CEST)

zu 1.) Ok, so habe ich es geschrieben. Gemeint war, daß auch für die Rationalen Zahlen unterhalb von 0 und oberhalb von 1 genügend Natürliche Zahlen für Cantors Bijektion zur Verfügung stehen.

zu 2.) Ich habe nachgefragt, was ich bezüglich der Ordnung genau wissen wollte. Leider hast Du meine Frage noch immer nicht beantwortet. Das kommt gleich zu 3.) und 4.).

zu 3.) und 4.) Jetzt wird es also endlich konkret. Du bestätigst damit, daß die ersten drei Ordinalzahlen mit den ersten drei Natürlichen Zahlen exakt übereinstimmen. Ich hoffe, Du stimmst auch zu, daß die ersten 1 Mio. Ordinalzahlen mit den ersten 1 Mio. Natürlichen Zahlen exakt übereinstimmen. Nun kannst Du nicht mehr aus, denn jede weitere Ordinalzahl stimmt auch mit jeder weiteren Natürlichen Zahl überein. Sollte es also dieses $\omega$ tatsächlich geben, müßte zu irgendeiner Ordinalzahl plötzlich keine Natürliche Zahl als Pendant mehr zur Verfügung stehen. Ich will von Dir wissen, welche das genau sein soll. Die Frage ist also, auf welche Weise ganz genau dieses $\omega$ zustandekommen soll, wenn laut Peanos Axiom 2 jede Natürliche Zahl n einen Nachfolger n' hat, der ebenfalls eine Natürliche Zahl ist. DAS ganz genau muß Du mir erklären, nicht dauernd behaupten, dieses $\omega$ läge "dahinter" und ich müsse mir das irgendwie vorstellen. Ich bin gespannt.--Wikilaser (Diskussion) 23:38, 1. Okt. 2017 (CEST)

Ich habe das $\omega$ definiert, ich habe die Ordnung definiert, genauer geht es nicht.

„müßte zu irgendeiner Ordinalzahl plötzlich keine Natürliche Zahl als Pendant mehr zur Verfügung stehen. Ich will von Dir wissen, welche das genau sein soll“. Es ist $\omega$, das ist nämlich keine natürliche Zahl.

Schritt 1: $\omega =\mathbb {N}$ ist keine natürliche Zahl – einverstanden?

Schritt 2: Meine Definition der Ordnung auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ stimmt für natürliche Zahlen mit der gewöhnlichen Ordnung überein.

Schritt 3: Gemäß meiner Definition der Ordnung auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ ist $\omega$ größer als jede natürliche Zahl.

--Chricho ¹ ² ³ 08:15, 2. Okt. 2017 (CEST)

Was ich erkennen kann: Deine Definition erfüllt lediglich den Status einer Behauptung, nicht jedoch den Status einer Tatsache.

Zu Schritt 1: Wenn wir ausschließlich über $\omega$ reden, einverstanden, es soll ja eine Ordinalzahl sein. Wenn wir über $\omega =\mathbb {N}$ reden, nicht einverstanden, da es so etwas wie "alle Natürlichen Zahlen" nicht geben kann, da es bekanntlich (und das hast Du ja bestätigt) keine größte Natürliche Zahl gibt und somit die Menge $\mathbb {N}$ niemals vollständig sein oder als vollständig angesehen werden kann.

Zu Schritt 2: Einverstanden, da die Ordinalzahlen sich genauso entwickeln wie die Natürlichen Zahlen.

Zu Schritt 3: Wenn $\omega$ größer als jede Natürliche Zahl sein soll, dann kann $\omega$ keine feste Position in den Ordinalzahlen einnehmen und muß sich immer weiter von 0 entfernen. Somit muß $\omega$ in sich die Eigenschaft haben, unaufhörlich immer größer zu werden. Und damit steht seine Existenz an sich in Frage, da nun einmal auch die Natürlichen Zahlen in der Reihe (ich verwende jetzt mal dieses Wort) 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... immer größer werden. Wenn $\omega$ eine Ordinalzahl sein soll, aber größer als jede Natürliche Zahl sein soll, dann muß es da irgendwo einen Sprung in den Ordinalzahlen hin zu diesem ominösen $\omega$ geben. Dann jedoch wäre die Frage, welche Ordinalzahl eigentlich die letzte vor diesem $\omega$ ist. Diese Frage stellt sich davon abgesehen ja sowieso. Also beantworte sie bitte endlich.--Wikilaser (Diskussion) 19:44, 2. Okt. 2017 (CEST)

Ich habe keine Lust mehr, dir zu antworten. Definitionen sind Definitionen, bloße Benennungen, keine Behauptungen, man akzeptiert sie von seinem Gegenüber oder kann feststellen, dass sie unpräzise, mehrdeutig oder unüblich ist, aber nach den Maßstäben einer Tatsachenbehauptung ist sie nicht zu beurteilen. Mengen sind in der Mathematik Objekte wie andere auch, die man wiederum in Mengen hineinpacken kann. Dass vor einem „Sprung“ kein letztes Element sein muss, haben wir doch auch schon ausführlich diskutiert.

Mir hilft manchmal, lange und heiß zu duschen und die Gedanken dabei schweifen zu lassen, wenn ich mich in etwas verrannt habe, die Gedanken lösen sich, man denkt an anderes, manches erscheint nicht mehr so wichtig – vllt. hast du ja eine ähnliche persönliche Strategie?

Du bist derzeit nicht gewillt oder in einer anderen Verfassung, die es dir unmöglich macht, dich auf ein dir fremdes Gedankengebäude, eine fremde Sprache und Begriffswelt einzulassen, Vokabular und Regeln zu übernehmen, dort wo du etwas nicht durchdringst, dies offen auszusprechen, nachzufragen, statt Gegenthesen mit ganz anderen Begriffen aufzustellen. Ich mach dir außer der Dusche noch einen systematischeren Vorschlag: Versuch einfach mal zu glauben, dass alles, was Daniel und ich sagen, von ganz eventuell allerkleinsten Ungenauigkeiten abgesehen, in sich kohärent und ohne Widersprüche ist, lies mit dieser Einstellung alles nochmal, überspringe Dinge, die dir gerade zu unübersichtlich, kompliziert oder ganz und gar unauflösbar erscheinen, doch versuche ansonsten die Konsequenzen zu ziehen, die sich dafür ergeben, wie du unsere Aussagen verstehen musst, damit sie – und zwar nach unseren Definitionen, unseren Begriffen und unseren Regeln – alle zusammen passen. Du wirst wohl mitunter auch von deinem Begriffsverständnis und deiner Logik ausgehen müssen, versuche sie jedoch unterzuordnen, sie anzupassen an das, was wir geschrieben haben, und niemals umgekehrt, du hast dafür viele Handreichungen bekommen, bei denen wir gesagt haben, was an deinem Verständnis aus unserer Sicht nicht stimmt. Das ist ein Verfahren der Unterwerfung unter eine Autorität unserer Aussagen, keine Frage (unter anderen Umständen würde Vertrauen ausreichen, aber das müsste noch von innen kommen, deshalb sage ich Unterwerfung als Radikalisierung von Vertrauen). Die Unterwerfung ist aber nur temporär, du kannst sie einfach mal ausprobieren, und dann wieder sein lassen, sie schadet nicht. Mit kritiklosem Auswendiglernen hat das auch nicht primär zu tun: Wenn du es richtig machst, wird es nämlich zu einem Punkt kommen, an dem du nicht mehr bloß wiederholen kannst, was wir gesagt haben, sondern einen inneren Zusammenhang dessen erkennst. Mit dem ersten solchen Zusammenhang, den du zuvor nicht hast sehen können, wäre der erste Schritt gemacht, von wo aus du dann unsere Aussagen verstehen könntest. Dann könntest du sie auch für dich übernehmen, eigene Ansichten revidieren, oder auch unsere Aussagen kritisieren, oder sei es auch sie beiseite legen, sie nicht weiter verfolgen, aber in ihnen nicht mehr bloß Widersinn sehen. Ich denke, diese temporäre Unterwerfung könnte eine Art des Lernens sein, mit der du über deine bisherige Art zu lernen, die hier mit Verlaub zu sehr wenig Fortschritten geführt hat, hinauskommen könntest.

Ansonsten kauf dir ein Buch (zum Beispiel Ebbinghaus über Mengenlehre mit axiomatischem Ansatz) und brüte darüber. Ein gutes Buch, das in beschränktem Rahmen, etwa von Peano-Axiomen, in die axiomatische Methode einführt, kenne ich leider nicht. Das ist mein letztes Wort, was die Diskussion um das $\omega$ angeht. Wenn du noch eine klare Frage zu den Peano-Axiomen (siehe meine Hinweise, wie solche Fragen aussehen sollten, weiter oben), kannst du sie gerne stellen. Herzliche Grüße --Chricho ¹ ² ³ 23:19, 2. Okt. 2017 (CEST)

Dein Beitrag offenbart den Unterschied zwischen unseren Herangehensweisen an dieses Thema. Während ich versuche, mir von diesem $\omega$ ein möglichst konkretes Bild zu machen, um überhaupt seine Existenz herausfinden zu können, gehst Du bereits von der tatsächlichen Existenz dieses $\omega$ aus und verlangst von mir, dies ebenfalls zu tun. Wie sollen wir da auf einen (ggf. am Ende Deinen) gemeinsamen Nenner kommen?

Vielleicht wird mein Vorstellungsproblem zu diesem $\omega$ deutlicher, wenn Du einmal versuchst, Dir vorzustellen, wo dieses $\omega$ auf der Zahlengeraden liegen soll? Ich versuche einmal, die Zahlengerade als Gesamtübersicht darzustellen:

-----|-------------------------|-------------------------|-------------------------|-------------------------|-----

-unendlich ......... 1/2*-unendlich ................. 0 ............... 1/2*+unendlich ........... +unendlich

Hierbei ist weder -unendlich noch +unendlich eine konkrete Zahl.

Wenn nun dieses $\omega$ rechts von +unendlich stünde, dann wäre es unendlich weit von jeder endlichen Natürlichen Zahl entfernt, weil die endlichen Natürlichen Zahlen in dieser Übersicht über die Zahlengerade auf einen unendlich kleinen Bereich rechts von der 0 zusammengedrängt wären. Also kann dieses $\omega$ nicht rechts von +unendlich stehen. Da 1/2*+unendlich immer noch in seiner Eigenschaft unendlich ist, kann $\omega$ auch nicht rechts von 1/2*+unendlich stehen. Wenn dieses $\omega$ überhaupt existiert, dann muß es rechts von jeder endlichen Natürlichen Zahl stehen, aber trotzdem unendlich nah an der 0. Da diese Gesamtübersicht nun aber nicht genau genug ist, um sehen zu können, wo genau dieses $\omega$ nun steht, müßte man also diese Darstellung gewissermaßen unter der Lupe betrachten und die Umgebung der 0 genauer untersuchen. Und hierbei stellen sich dann eben genau die Fragen, die ich bereits stellte: Welche Natürliche Zahl ist die letzte vor diesem $\omega$ bzw. welche Zahl ganz genau ist dieses $\omega$ selbst? Und warum soll kein Nachfolger dieser letzten Natürliche Zahl vor diesem $\omega$ dieses $\omega$ übertreffen können?

Darüber hinaus vermute ich, daß es auch unendlich große Natürliche Zahlen geben müßte, gerade weil es unendlich viele Natürliche Zahlen gibt. Es erscheint mir wie ein Widerspruch in sich, von unendlich vielen lediglich endlich großen Natürlichen Zahlen zu sprechen. (Mir fällt gerade auf, daß wir dieses grundsätzliche Thema noch gar nicht angeschnitten haben.)

Aus eben diesen Fragen heaus ergibt sich für mich mein grundsätzlicher Zweifel an der Existenz dieses $\omega$. Ich hoffe, Du verstehst nun, warum ich so hartnäckig nachbohre.--Wikilaser (Diskussion) 14:43, 3. Okt. 2017 (CEST)

Wie gesagt, ich kommentiere das nicht mehr, deine Herangehensweise ist das Problem, meine Geduld ist am Ende, meine Vorschläge an dich habe ich im letzten Beitrag ausführlich dargelegt. --Chricho ¹ ² ³ 14:55, 3. Okt. 2017 (CEST)

Nicht meine Herangehensweise ist das Problem, sondern Deine Unwilligkeit, mir einen Beweis zu liefern, wo dieses $\omega$ genau liegt. Es heißt doch, daß man in der Mathematik Aussagen beweisen kann. Dann beweise (bzw. widerlege durch Beweis), statt von mir zu fordern, es Dir einfach zu glauben! Es ist das Dümmste, was ein Mensch tun kann: Zu glauben, nur weil irgendjemand irgendeine Autorität für sich in Anspruch nimmt. Es ist mein Recht, Aussagen anzuzweifeln, die ich (noch) nicht verstehe. Erst recht dann, wenn es dafür aus meiner Sicht keinerlei konkreten Anhaltspunkt gibt. Deine Vorschläge sind keine Beweise, sondern nur wiederholte Behauptungen. Deshalb nochmal: Beweise es oder halte Dich aus der Diskussion, zu der Daniel5KO mich eingeladen hatte, heraus!--Wikilaser (Diskussion) 03:09, 4. Okt. 2017 (CEST)

Das immer weitere Anzweifeln von Aussagen ist zwar an sich eine ehrenwerte Sache, führt hier allerdings zu gar nichts, weil du die Aussagen oft nicht im Ansatz verstehst, genauer: Du verstehst insbesondere auch die Beziehung von Aussagen, Beweisen, Axiomen, Annahmen, Definitionen, Namen, Begriffen nicht. Einer Forderung zu folgen ist nicht per se Verlust an Freiheit, vor allem nicht, wenn man jederzeit wieder damit aufhören kann. Du würdest nicht im Mindesten dazu gezwungen, etwas aufzugeben, aber dir würde sich etwas neues eröffnen. Aber bitte sehr, ich möchte nicht weiter deine Diskussion mit Daniel5Ko stören. --Chricho ¹ ² ³ 14:36, 4. Okt. 2017 (CEST)

Solange Du meine Argumente einfach beiseiteschiebst und meine Fragen nicht beantwortest, kann kein Verständnis entstehen. Ich warf zum Beispiel ein, daß die Rationalen Zahlen, die Du in Deinem Beispiel nanntest, sich in immer kleineren Schritten der 1 annähern, während sich die Natürlichen Zahlen in stets gleichmäßigen Schritten gegen unendlich entwickeln und damit jede Schranke überschreiten können, ja sogar müssen. Es ist meines Erachtens nach sinnlos, sich auf etwas Neues einzulassen, wenn die Grundlage dieses Neuen (hier konkret dieses ominöse $\omega$) nicht zweifelsfrei erklärt wurde. Und hier drückst Du Dich ja beharrlich um eine konkrete Antwort herum, bzw. hast Du bereits zum Ausdruck gebracht, daß Du es nicht konkreter sagen kannst. Für mich eine Art Eingeständnis, daß es sich bei diesem ominösen $\omega$ womöglich doch nur um einen Wunschtraum handeln könnte.--Wikilaser (Diskussion) 23:59, 6. Okt. 2017 (CEST)

Überschrift

Ich entrücke mal und stelle folgende Frage: @Wikilaser: Was hast du bisher gelernt, und wie soll es weitergehen? --Daniel5Ko (Diskussion) 22:39, 5. Okt. 2017 (CEST)

Bezüglich der Peano-Axiome habe ich gelernt, daß sie lediglich eine allgemeine Struktur beschreiben, die (mehr oder weniger zufällig) auch auf die Menge der Natürlichen Zahlen zutrifft, ohne jedoch eindeutig genau diese und nur diese Menge zu definieren.

Inzwischen konnte ich auch nachvollziehen, wie die Wirkungsweise des 4. Axioms funktioniert. Nur wundere ich mich nach wie vor darüber, wozu es sich Peano derart umständlich gemacht hat. Eine Nachfolgeregel n' = n + 1 wäre so simpel gewesen, und da nun einmal die 0 selbst abstrakt ist und sie Verwendung findet, sehe ich keinen Grund, die 1 als abstraktes Objekt nicht ebenfalls zu verwenden.

Nach wie vor wundere ich mich darüber, wieso die ersten drei (oder meinetwegen auch vier) Axiome nicht zur vollständigen Induktion ausreichen sollen. Schließlich gibt es in der Menge der Natürlichen Zahlen kein größtes Element, folglich kann man diese angeblich vollständige Induktion sowieso nie abschließen, sprich die Menge der Natürlichen Zahlen kann meines Erachtens nach niemals als vollständig angesehen werden.

Was ich nicht verstehe, wieso man prädikatenlogisch eine Nachfolgerregel aufstellt, ohne zugleich auch die (meiner Meinung nach zwingend dazugehörende) Vorgängerregel aufzustellen. Das halte ich für ein Versäumnis im Rahmen der Prädikatenlogik, welches die Prädikatenlogik unlogisch erscheinen läßt.

Für nach wie vor fragwürdig halte ich die Behauptung, es gäbe tatsächlich dieses ominöse $\omega$. Wenn man nicht ganz konkret die Umgebung dieses $\omega$ beschreiben kann und dessen genaue Position auf der Zahlengeraden angeben kann, dann kann ich die Definition dieses $\omega$ nur für eine Wunschvorstellung halten, nicht jedoch für eine tatsächlich existierende Schranke, hinter der die Ordinalzahlen weitergehen sollen, während die Natürlichen Zahlen vorher aufhören müßten. Außerdem müßte dann ja der Bruch zwischen den Ordinalzahlen und den Natürlichen Zahlen nachvollziehbar erklärt werden. Dafür sehe ich bislang keinen konkreten Anhaltspunkt.--Wikilaser (Diskussion) 23:45, 6. Okt. 2017 (CEST)

Ich weiß nicht, was du mit "abstraktes Objekt" meinst. Vermutlich liegt hier immer noch ein Missverständnis vor. Die Peano-Axiome sprechen über eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element, das 0 genannt wird, und einer Funktion $S\colon N\to N$. Man könnte die natürlichen Zahlen auch leicht anders axiomatisieren, so dass es in etwa in die Richtung geht, die du vorschlägst: Gegenstand ist dann eine Menge $N$ mit ausgezeichneten Elementen $0,1$ und einer Funktion $+\colon N\times N\to N$. Damit dieses $+$ auch tatsächlich die Addition auf den natürlichen Zahlen ist, und damit $0\neq 1$ gilt, reicht es dabei jedoch nicht aus, Peanos Axiome zu kopieren und dabei überall $S(x)$ durch $x+1$ zu ersetzen. Die Beschränkung auf 0 und S ist sparsamer, + und 1 kann man auf ihrer Basis definieren.

Wenn du meinst, Axiome 1 bis 4 reichen aus, beweise doch einfach Axiom 5, wobei du nur Axiome 1 bis 4 annimmst und wirlich sonst nichts. Wenn du ein Tupel $(\mathbb {N} ,0,S)$ hast, das die Peano-Axiome erfüllt (wir gehen mal davon aus, dass es sowas gibt), wird dir das aber nicht gelingen, denn $(\mathbb {N} ,S(0),S)$ erfüllt Axiome 1 bis 4, aber nicht Axiom 5. Würde Axiom 5 mit dem modifizierten Tupel nämlich gelten, könnte man über das Originaltupel beweisen, dass alle Elemente von $\mathbb {N}$ ungleich 0 sind.

Wenn man eine Nachfolgerfunktion (und mithin -Relation) hat, kann man auch eine dazugehörige Vorgängerrelation definieren. Für die Axiomatisierung der natürlichen Zahlen wird die aber nicht benötigt.

$\omega$ ist irgendein Objekt, das man von Elementen von $\mathbb {N}$ unterscheiden kann, und per Dekret (also Definition der $<$-Relation auf $\mathbb {N} \cup \{\omega \})$ größer ist als alle Elemente von $\mathbb {N}$. Es hat keinen direkten Vorgänger, aber das ist nicht schlimm, da niemand sagt, dass es sich bei $\omega$ um eine natürliche Zahl ungleich 0 handelt.

Vielleicht hilft es, sich klarzumachen, dass man auch auf $\mathbb {N}$ eine Ordnung definieren kann, nach der erst unendlich viele Elemente kommen, und danach weitere:

$n\sqsubset m:\Leftrightarrow (n{\text{ gerade}}\land m{\text{ ungerade}})\lor (n,m{\text{ ungerade}}\land n<m)\lor (n,m{\text{ gerade}}\land n<m)$.

Die natürlichen Zahlen, in der durch $\sqsubset$ vorgegebenen Reihenfolge, wären

$0,2,4,6,...1,3,5,...$

Man kann sehen: natürlich kommt man durch wiederholte Addition von 2 niemals auf 1. Die 1 liegt aber trotzdem per Definition weiter hinten als die geraden Zahlen.

--Daniel5Ko (Diskussion) 12:57, 7. Okt. 2017 (CEST)

Dein Beispiel $(\mathbb {N} ,S(0),S)$ erfüllt Axiom 3 schon nicht. Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 15:01, 7. Okt. 2017 (CEST)

Stimmt, ist mir auch gerade aufgefallen. Also nehmen wir $(\mathbb {N} ,0,S\circ S)$. Damit könnte man, wenn es Axiom 5 erfüllen würde, zeigen, dass alle natürlichen Zahlen gerade sind. --Daniel5Ko (Diskussion) 16:23, 7. Okt. 2017 (CEST)

Mit "abstraktes Objekt" meine ich dasselbe wie Du mit "ausgezeichnetes Element". Da steckt auch noch keine Aussage drin, was dieses Element 0 eigentlich sein soll. Deshalb ist die 0 ebenfalls abstrakt.

Ist die Induktion so, wie es im Artikel über die Induktion beschrieben wird, nämlich das Anstoßen eines Vorgangs, der dann automatisch fortgesetzt wird (wie bei den Dominosteinen)? Falls ja, dann wird dieser Anstoß mit Axiom 2 vollzogen, so daß es Axiom 5 nicht mehr braucht. Ich brauche also Axiom 5 gar nicht zu beweisen.

Was Deine Umsortierung der Natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen angeht, so machst Du im Grunde dasselbe wie bei der Frage, wo denn die Hälfte der Natürlichen Zahlen sei. Antwort: Nirgendwo! Es gibt kein Ende der Natürlichen Zahlen, also auch kein dahinter. Und folglich auch keine Hälfte der Natürlichen Zahlen. Ich denke daher nach wie vor, dieses $\omega$ ist eine Wunschvorstellung, die jedoch in der Realität nicht existieren kann. So wie beim Paradoxon des Barbiers von Sevilla: Man kann die Definition dieses Barbiers zwar hinschreiben, aber man kann sie nicht in die Realität umsetzen, weil in der Definition Bedingungen enthalten sind, die einander widersprechen.

Wenn nach Deiner Aussage dieses $\omega$ keinen direkten Vorgänger hat und es größer ist als jede Natürliche Zahl, dann muß es irgendwo eine Unterbrechung in den Ordinalzahlen geben, denn dieses $\omega$ ist doch selbst auch eine Ordinalzahl (richtig?). Und ich will konkret wissen, nach welcher Ordinalzahl diese Unterbrechung bzw. dieses $\omega$ kommt. Ist das so schwer zu verstehen, was ich meine?--Wikilaser (Diskussion) 09:20, 8. Okt. 2017 (CEST)

Induktion ist das, was Axiom 5 sagt (wobei man heute häufig für das $X$ nicht beliebige Mengen zulässt, sondern solche mit $X\subset \mathbb {N}$)

Ja, $\omega$ ist eine Ordinalzahl, und zwar die kleinste oberhalb aller natürlichen Zahlen. Man erreicht sie nicht durch Nachfolgerbildung, aber das ist kein Beinbruch.

Noch ein Beispiel einer Ordnung, wo erst unendlich viele Elemente kommen, und dann weitere: Die Menge W aller endlichen Worte über dem lateinischen Alphabet, lexikographisch angeordnet. Dort kommt erst das leere Wort, dann kommen alle, die mit A anfangen (das sind schon unendlich viele; und man erhält sie auch, indem man allen Worten aus W vorn ein A anhängt), danach kommen die, die mit B anfangen, etc.

--Daniel5Ko (Diskussion) 19:15, 8. Okt. 2017 (CEST)

"Induktion ist das, was Axiom 5 sagt" Was für eine unglaublich aussagekräftige Antwort! Ich staune! Geht es darum, einen unendlichen Vorgang anzustoßen oder nicht?

Wenn $\omega$ die kleinste Ordinalzahl oberhalb aller Natürlichen Zahlen ist, dann müßte unmittelbar vor $\omega$ noch eine Natürliche Zahl stehen. Das Dumme ist nur, daß die Addition von 1 zu eben dieser Natürlichen Zahl dann ja dieses $\omega$ ergäbe, so daß diese Ordinalzahl nicht die kleinste Ordinalzahl oberhalb der Natürlichen Zahlen sein kann. Also kann unmittelbar vor $\omega$ keine Natürliche Zahl stehen. Wenn also unmittelbar vor $\omega$ noch eine andere Ordinalzahl steht, dann müßte diese Ordinalzahl die kleinste Ordinalzahl oberhalb der Natürlichen Zahlen sein, und nicht $\omega$. Und wenn unmittelbar vor $\omega$ weder eine Natürliche noch eine Ordinalzahl steht, dann gibt es eine Lücke in den Ordinalzahlen. Verstehst Du dieses Paradoxon? Das ist, wie ich schrieb, genauso wie mit dem Barbier von Sevilla, dessen Definition von keinem Barbier erfüllt werden kann.

Was verstehst Du unter "endliche Worte über dem lateinischen Alphabet"? Worte, die man beispielsweise im Duden findet? Ich bezweifle, daß es unendlich viele solche Worte mit Anfangsbuchstaben A gibt.--Wikilaser (Diskussion) 22:51, 8. Okt. 2017 (CEST)

Vollständige Induktion ist: Um $\forall n\in \mathbb {N} .P(n)$ zu zeigen für ein Prädikat P auf den natürlichen Zahlen, zeigt man $P(0)$ und $\forall n\in \mathbb {N} .\ P(n)\Rightarrow P(n+1)$. Axiom 5 formuliert (mit Mengen statt Prädikaten) die Aussage, dass dieses Vorgehen auch tatsächlich reicht.

"dann müßte unmittelbar vor $\omega$ noch eine Natürliche Zahl stehen": Beweise das doch. Wenn dir das gelingt, hast du gezeigt, dass $\omega$ in der Tat nicht existiert. Bisher behauptest du es einfach nur.

Ich meine **alle** endlichen Worte, nicht nur die, die man im Duden findet. Wenn man immer von einem Wort zum in der Ordnung unmittelbar nächstgrößeren geht (das ist das, das durch Anhängen eines A entsteht), erhält man die Folge $\varepsilon ,A,AA,AAA,AAAA...$. Das Wort AB ist auch in der Menge, genauso wie BUBE und ZEBRA. Die kommen aber alle viel weiter hinten, und man erreicht sie nicht von $\varepsilon$ aus durch Anhängen von As.

Wählt man eine andere Reihenfolge, kommt man durch eine Nachfolgerbildung an allen Worten vorbei: Nämlich sortieren wir die Worte zuerst nach Länge, dann lexikographisch.

$\varepsilon ,A,B,...,Z,AA,AB,AC,...,AZ,BA,BB,...,BZ,....,ZZ,AAA,...$

--Daniel5Ko (Diskussion) 09:35, 9. Okt. 2017 (CEST)

Wenn Du Buchstabenkombinationen meinst, warum sagst Du dann "Wörter"? Was Du in Wirklichkeit meinst, ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 26, wobei keine Ziffern enthalten sind, sondern nur Buchstaben. Einverstanden?

Wenn man diese "Wörter" in einer logisch sinnvollen Reihenfolge anordnen kann, dann kommt man, wie Du selbst ja auch zugibst, an allen Wörtern vorbei. Daher halte ich es für unlogisch, zu behaupten, daß man in einer anderen Reihenfolge nicht an allen "Wörtern" vorbeikäme. Natürlich kommt man auch dann an allen "Wörtern" vorbei, nur bräuchte man dazu eben unendlich lange, wenn man in eben dieser Reihenfolge vorginge, und das ist für Menschen, die nur über eine endliche Lebenszeit verfügen, eben verdammt schwer vorstellbar. Die Funktion, eine solche Reihenfolge zu erstellen, heißt hierbei nicht "Nachfolgerbildung", sondern "Einfügen". Ich sehe also kein Problem.

Warum soll ich beweisen, daß vor $\omega$ eine Natürliche Zahl steht? Ich beschrieb lediglich die unterschiedlichen Möglichkeiten, wie es sein könnte, und zeigte für jeden der Fälle, daß dieses $\omega$ in der Realität gar nicht existieren kann, weil keiner dieser Fälle ein solches $\omega$ hergibt.--Wikilaser (Diskussion) 23:08, 9. Okt. 2017 (CEST)

Es ist üblich, Listen auch als Wörter zu bezeichnen. "Stellenwertsystem zur Basis 26" würde ich nicht sagen, weil keine Interpretation als Zahl vorgesehen ist (was man aber natürlich trotzdem machen kann).

Ich habe nicht gesehen, dass du die Möglichkeit behandelst, dass unmittelbar vor $\omega$ keine natürliche Zahl steht. Du sagst nur ständig, dass es unmittelbar vor Omega diese ominöse Zahl geben muss, das aber nicht sein kann, weil diese ja dann die größte natürliche Zahl wäre, welche es nicht gibt.

--Daniel5Ko (Diskussion) 09:18, 10. Okt. 2017 (CEST)

Ich schrieb: "Und wenn unmittelbar vor $\omega$ weder eine Natürliche noch eine Ordinalzahl steht, dann gibt es eine Lücke in den Ordinalzahlen."

Wenn die Ordinalzahlen genauso wie die Natürlichen Zahlen mit 0, 1, 2, 3, ... beginnen und unendlich weitergehen, aber unmittelbar vor diesem $\omega$ keine Ordinalzahl steht, zugleich aber dieses $\omega$ eine Ordinalzahl sein soll, nach der es mit $\omega$ + 1, $\omega$ + 2, $\omega$ + 3, ... weitergehen soll, dann gibt es eben diese Lücke in den Ordinalzahlen. Wie erklärst Du diese Lücke denn?--Wikilaser (Diskussion) 15:39, 10. Okt. 2017 (CEST)

Ich sehe keine Lücke. Eine Lücke ist für mich ein Ort, wo etwas hingehört, aber nichts ist. --Daniel5Ko (Diskussion) 16:38, 10. Okt. 2017 (CEST)

Was eine Lücke ist, sehen wir also genauso. Aber die Lücke, die Du nicht siehst (oder nicht sehen willst), wäre in dem beschriebenen Fall eindeutig da, denn:

Du hast zugestimmt, daß die Ordinalzahlen mit 0, 1, 2, 3, .... beginnen. Daraus entnehme ich, daß sie immer so weitergehen, also jede weitere Ordinalzahl einen direkten Vorgänger haben müßte.

Nun schreibst Du jedoch auch: " $\omega$ ist irgendein Objekt, das ... größer ist als alle Elemente von $\mathbb {N}$. Es hat keinen direkten Vorgänger, ..."

Nehmen wir mal fiktiv an, dieses $\omega$ wäre bereits bei der 5. Dann wäre die Reihe nach Deinen zitierten Angaben also 0, 1, 2, 3, _, $\omega$, ... Einerseits müßte die 4 also fehlen, weil $\omega$ ja keinen direkten Vorgänger haben soll, andererseits müßte die aber 4 vorhanden sein, weil sie nach der 3 kommen müßte. Das widerspricht sich. Also kann es dieses $\omega$ nicht in dieser Form geben.--Wikilaser (Diskussion) 23:41, 10. Okt. 2017 (CEST)

Die Ordinalzahlen beginnen mit 0,1,2,3..., aber es wird nicht gesagt, dass man alle Ordinalzahlen von der 0 aus mithilfe der Nachfolgerbildung erhält. Wie stellst du dir vor, dass $\omega$ "bei der 5" sein soll? Was soll das heißen? Die Hinzunahme von $\omega$ bewirkt nicht, dass es plötzlich nur noch endlich viele natürliche Zahlen gibt. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:11, 11. Okt. 2017 (CEST)

Dieses $\omega$ soll nicht bei 5 liegen und tut es auch nicht. Ich schrieb, daß Du dir das mal fiktiv vorstellen sollst, um dann konkret zeigen zu können, welcher Widerspruch in der Formulierung steckt, daß dieses $\omega$ die kleinste Ordinalzahl sein solle, die größer als jede Natürliche Zahl wäre.

Wenn die Ordinalzahlen nicht von 0 beginnend unendlich lückenlos durchgehen mittels einer Nachfolgerbildung, dann wären die Ordinalzahlen ab $\omega$ aufsteigend eine eigenständige Menge, die nichts, aber auch gar nichts mit den Ordinalzahlen ab 0 zu tun hätte. Man könnte sie nicht auf der Zahlengeraden positionieren, weil es wie gesagt von 0 beginnend keine größte Natürliche und auch keine größte Ordinazlahl gibt. Folglich ist dieses $\omega$ ein reiner Wunschtraum oder eben ein Paradoxon, dessen Bedingungen man zwar formulieren kann, dessen reale Existenz jedoch nicht möglich ist. Man kann zu einer Menge, die kein größtes Element besitzt, keine Zahl definieren, die größer als jedes Element dieser Menge sein soll. Denn nochmal: Bei den Natürlichen Zahlen und bei den Ordinalzahlen ab 0, 1, 2, 3, ... ist der Abstand zwischen den einzelnen Elementen stets 1, also konstant. Der Vergleich mit den Rationalen Zahlen kleiner 1 (0 0,9 0,99 0,999 ...) trifft es einfach nicht, da bei diesen der Abstand zwischen den einzelnen Elementen immer kleiner wird (nämlich 0,9 0,09 0,009 0,0009 ...), also nicht konstant ist. Bei konstantem Abstand werden die Zahlen immer größer und überschreiten jede beliebig gesetzte Zahl. Wie gesagt, die Formulierung für dieses ominöse $\omega$ ist in meinen Augen ein Wunschtraum, aber es existiert in Wirklichkeit gar nicht.--Wikilaser (Diskussion) 13:23, 11. Okt. 2017 (CEST)

Um Abstände geht es nicht, sondern um Anordnungen. Da $\omega$ eh Nebenthema war, schlage ich vor, du ignorierst es und lernst später, was es mit Ordinalzahlen auf sich hat. Sie sind nicht wirklich wichtig, um die Peano-Axiome zu verstehen. --Daniel5Ko (Diskussion) 15:09, 11. Okt. 2017 (CEST)

Ich finde es nicht unwichtig, in Bezug auf die Peano-Axiome über $\omega$ zu reden. Denn da geht es ja um die sogenannte vollständige Induktion, und im Rahmen dieser soll ja $\omega$ eine entscheidende Rolle spielen, da es die Natürlichen Zahlen nach oben hin gewissermaßen begrenzen soll. Und das ergibt für mich keinen Sinn, da es ja keine größte Natürliche Zahl gibt. Wir müssen also sehr wohl darüber reden, wo genau dieses $\omega$ liegen soll.

In jeder Anordnung gibt es Abstände, also geht es sehr wohl um Abstände, und zwar gerade bei dem "dahinter". Wie groß ist der Abstand zwischen "allen Natürlichen Zahlen" (wie gesagt, so etwas wie alle Natürlichen Zahlen kann es sowieso nicht geben, weil es ja keine größte und damit auch keine letzte gibt) und diesem "größer als alle Natürliche Zahlen" bzw. "dahinter" bzw. $\omega$? Und der muß ja bei genauer Überlegung unendlich groß sein und darf auch nicht durch irgendeinen Nachfolger einer Natürlichen Zahl übertroffen werden. Im Grunde kann dieses $\omega$ niemals kommen, da es ja keine größte Natürliche Zahl gibt. Es kann also, wenn es niemals kommen kann, nirgendwo sein. Also kann es nicht existieren.--Wikilaser (Diskussion) 23:29, 12. Okt. 2017 (CEST)

Omega spielt für die vollständige Induktion keine Rolle. In den Axiomen ist ja keine Rede davon.

Bei Ordnungsrelationen geht es nicht um Abstände, auch eindeutig bestimmte unmittelbare Vorgänger oder Nachfolger muss es nicht geben. Mal ein weiteres Beispiel: betrachte die Menge $\mathbb {N}$, nach Teilbarkeit geordnet (das ist eine Halbordnung): $n\sqsubseteq m:\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} .\ kn=m$.

Bezüglich dieses $\sqsubseteq$ ist 1 das kleinste Element, und 0 das größte. Die minimalen Elemente in $\mathbb {N} \setminus \{1\}$ sind die Primzahlen und es gibt in $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ keine maximalen Elemente. Hier kann man sagen, dass die 1 ganz viele unmittelbare Nachfolger hat, und 0 keinen einzigen. 0 hat auch keinen unmittelbaren Vorgänger. Man kann hier auch eine Art Abstand definieren: Wenn $kn=m$, habe $n$ den Abstand $k$ zu $m$. Der Abstand einer Zahl ungleich 0 zu sich selbst wäre 1, also die bzgl. der Ordnung kleinste Zahl. Gut. 0 hat zu sich selbst keinen eindeutigen Abstand, aber 1 kommt als Abstand vor. Der Abstand einer Zahl ungleich 0 zu 0 wäre 0, also die größte Zahl bzgl. der Ordnung. Auch nicht schlecht.

Die unmittelbaren Nachfolger einer Zahl hätten dann aber alle einen anderen Abstand von dieser Zahl. Der Abstand zu unmittelbaren Nachfolgern wäre aber immer eine Primzahl. Es haben auch nicht alle Zahlenpaare überhaupt einen Abstand.

Man kann das letzte Beispiel etwas modifizieren, sodass man etwas erhält, was ordnungsisomorph zu $\mathbb {N}$ bzw. $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ mit der jeweils üblichen Ordnung ist: Für irgendeine Primzahl $p$ sei $P:=\{p^{k}\mid k\in \mathbb {N} \}$. $\sqsubseteq$ sei die Teilbarkeitsordnung auf dieser Menge (bzw. später auf $P\cup \{0\}$). Was die Ordnung angeht, verhält sich $(P,\sqsubseteq )$ "genau so" wie $(\mathbb {N} ,\leq )$, und $(P\cup \{0\},\sqsubseteq )$ wie $(\mathbb {N} \cup \{\omega \},\leq )$. So, wie man von 1 durch wiederholte Multiplikation mit p nicht zu 0 gelangt, gelangt man von 0 nicht durch fortgesetzte Nachfolgerbildung zu $\omega$. Wohl aber ist das kgV von $P$ in $(P\cup \{0\},\sqsubseteq )$ gerade 0 und das Supremum von $\mathbb {N}$ in $(\mathbb {N} \cup \{\omega \},\leq )$ gerade $\omega$. --Daniel5Ko (Diskussion) 11:02, 13. Okt. 2017 (CEST)

Ich merke noch an, dass man jede total geordnete Menge und auch die Ordinalzahlen in die surrealen Zahlen einbetten kann. Dort hat man dann einen einigermaßen intuitiven Abstandsbegriff, der mit dem üblichen auf den natürlichen Zahlen kompatibel ist, allerdings gibt es dann eben auch allerhand verschiedene unendlich große und unendlich kleine Abstände. --Chricho ¹ ² ³ 12:49, 13. Okt. 2017 (CEST)

Lieber Chricho, ich möchte Dir wirklich nicht zu nahe treten, aber wolltest Du Dich nicht heraushalten? Danke!--Wikilaser (Diskussion) 20:55, 13. Okt. 2017 (CEST)

Es war mehr ein Hinweis an Daniel. --Chricho ¹ ² ³ 18:06, 14. Okt. 2017 (CEST)

Lieber Daniel, nun hast Du Dir wieder eine Menge Mühe gemacht und einen Artikel verfasst, den ich als Nicht-Mathematiker mangels ausreichender Kenntnisse der von Dir verwendeten Zeichen wieder nicht lesen und auch nicht verstehen kann. Bitte laß solche verwirrenden Aktionen beiseite oder übersetze sie in allgemein verständliche Sprache, damit sie (auch ggf. im Stillen mitlesende) Nicht-Mathematiker verstehen können.

Zu Deinem Beispiel mit der Aufteilung der Natürlichen Zahlen in gerade und ungerade Zahlen noch eine Anmerkung:

Wenn man zuerst die geraden Natürlichen Zahlen notieren möchte und dann erst die ungeraden Natürlichen Zahlen, und man würde erst dann mit den ungeraden Natürlichen Zahlen beginnen wollen, wenn man wirklich alle (!) geraden Natürlichen Zahlen beisammen hätte, dann könnte man niemals mit den ungeraden Natürlichen Zahlen beginnen. Das liegt übrigens ausschließlich nur an dem menschlichen Unvermögen, in endlicher Zeit unendlich viele Arbeitsschritte vollziehen zu können. Man muß sich das also sowieso ausschließlich theoretisch erarbeiten, richtig?

Also müßte man (wie ich ja weiter oben schon erwähnte) mit der Funktion "Einfügen" arbeiten und zwischen 0 und 1 die 2 einfügen, dann die 3 hinten anfügen, dann zwischen 2 und 1 die 4 einfügen, dann hinter der 3 die 5 anfügen, und so weiter. Hierbei würden der 1 und allen weiteren ungeraden Natürlichen Zahlen neben den parallel dazu aufgestellten Natürlichen Zahlen in ihrer üblichen Reihenfolge bei jedem Schritt jeweils eine immer größere Natürliche Zahl zugeordnet und diese Zuordnung wieder durch eine neue noch größere Zuordnung ersetzt, die auch wieder aufgehoben und ersetzt würde, etc. Stellt man sich nun diesen unendlichen Vorgang vollendet und an der Position zwischen allen geraden und ungeraden Zahlen dieses $\omega$ vor, so müßten alle Natürlichen Zahlen (und für jede gerade und ungerade Natürliche Zahl gibt es nun einmal jeweils genau eine Natürliche Zahl), die den ungeraden Natürlichen Zahlen zugeordnet sind, unendlich groß sein. Zudem müßte auch einem Teil der geraden Natürlichen Zahlen vor $\omega$ unendlich große Natürliche Zahlen zugeordnet sein. Folglich muß es auch unendlich große Natürliche Zahlen geben, und von diesen natürlich dann auch unendlich viele.

Nun aber zu dem Problem, sich dieses $\omega$ an bzw. hinter das eigentlich nicht vorhandene Ende aller Natürlichen Zahlen, also der geraden und der ungeraden Natürlichen Zahlen in ihrer üblichen Reihenfolge vorzustellen: Während man bei der Aufteilung in gerade und ungerade Natürliche Zahlen einen konkreten Anhaltspunkt hat, den es tatsächlich gibt (nämlich den Punkt der Unterteilung, auch wenn sich der auf der Zahlengeraden der parallel dazu aufgestellten Natürlichen Zahlen immer weiter ins Unendliche verschiebt), hat man für dieses "hinter" den Natürlichen Zahlen keinen solchen Anhaltspunkt mehr. Die Frage bleibt also offen: Wo ist dieses $\omega$?--Wikilaser (Diskussion) 20:55, 13. Okt. 2017 (CEST)

$\omega$ bzgl. der üblichen Ordnung befindet sich genau an der Stelle, wo analogerweise die 1 ist in der Ordnung mit "erst die geraden, dann die ungeraden". --Daniel5Ko (Diskussion) 01:44, 14. Okt. 2017 (CEST)

An der Stelle, die Du gerade beschreibst, befindet sich lediglich theoretisch die Hälfte der Natürlichen Zahlen, die es jedoch praktisch gar nicht gibt (bei welcher Natürlichen Zahl soll das denn sein?). Wie gesagt, man kann diese Hälfte dadurch definieren, daß man gerade von ungeraden Natürlichen Zahlen trennt. Aber der Punkt auf der Zahlengeraden, wo diese Trennung faktisch erfolgen soll, kann kein fester Punkt sein, da es keine größte gerade Natürliche Zahl gibt. Wollte man nun dieses $\omega$ ans Ende der Natürlichen Zahlen legen (bzw. hinter dieses Ende), scheitert man genau daran, daß es keine größte Natürliche Zahl gibt. Ein solches Ende gibt es also nicht (genausowenig wie die Hälfte, weil es so etwas wie alle Natürlichen Zahlen nicht gibt), folglich auch keinen Punkt, an dem ein solches $\omega$ liegen könnte. Folglich kann dieses $\omega$ praktisch nicht existieren. Es ist ein Wunschtraum, mehr nicht.--Wikilaser (Diskussion) 23:46, 14. Okt. 2017 (CEST)

Du scheinst zu glauben, dass alle Ordnungsrelationen auf einer Menge identisch sind, oder ähnlich falsches. Tipp: dem ist nicht so.

Ich betone aber gerne nochmals: Zum Verständnis der Peano-Axiome (worum's hier ja eigentlich geht) ist $\omega$ gänzlich unwichtig. Verschiebe das auf später. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:55, 17. Okt. 2017 (CEST)

Um dieses $\omega$ geht es im Rahmen der Peano-Axiome wohl deshalb, weil wir über Axiom 5 reden. Es geht darum, daß dieses Axiom die Einbettung der Menge $\mathbb {N}$ in eine höhere Menge beschreibt. Dieses $\omega$ soll (so lese ich es aus Deinen Äußerungen heraus) wohl die Grenze zu dieser höheren Menge markieren. Und die Existenz einer solchen Grenze und damit die Existenz einer solchen höheren Menge bezweifle ich eben, aus den bereits genannten Gründen. Für mich reichen die Natürlichen Zahlen in die Unendlichkeit, sie enden niemals und haben somit keine solche Grenze. Wenn Du von Ordnungsrelationen auf einer Menge sprichst, solltest Du dafür schon Beweise liefern, nicht bloß ständig Deine Behauptung wiederholen, es gäbe dieses $\omega$. Wie gesagt, man kann sprachlich Dinge formulieren, die jedoch praktisch nicht umsetzbar sind (siehe der Barbier von Sevilla). Und dieses $\omega$ scheint mir ein solches Ding (Paradoxon) zu sein.--Wikilaser (Diskussion) 01:03, 18. Okt. 2017 (CEST)

Man kann Axiom 5 auch ohne Verlust auf Teilmengen von $\mathbb {N}$ beschränken:

$\forall X\subseteq \mathbb {N} .\ 0\in X\land (\forall n\in \mathbb {N} .\ n\in X\Rightarrow {\mathsf {S}}(n)\in X)\implies \mathbb {N} \subseteq X$

(Peano Arithmetic, Eintrag im nLab. (englisch)). Du siehst: um $\omega$ geht's nicht.

Aber davon ab: da $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ gleichmächtig zu $\mathbb {N}$ ist, kann man sich aus einem gegebenen $\mathbb {N}$ auch $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ basteln: Man definiere eine Ordnung, die sich auf $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ wie die übliche verhält, aber 0 als größtes Element erscheinen lässt. Man nenne anschließend 0 fortan $\omega$, 1 fortan 0, 2 fortan 1 etc.

Alternativ kann man sich auch das von-Neuman-Modell der natürlichen Zahlen anschauen. Da "ist" eine natürliche Zahl gerade die Menge aller ihrer (auch indirekten) Vorgänger. $n<m$ ist dann äquivalent zu $n\in m$, und ${\mathsf {S}}(n)=n\cup \{n\}$. Dies kann man bei weiteren Ordinalzahlen einfach beibehalten.

Mit der Setzung $\omega :=\mathbb {N}$ erhält man $\omega$ als die kleinste Ordinalzahl oberhalb aller Elemente von $\mathbb {N}$. --Daniel5Ko (Diskussion) 09:08, 18. Okt. 2017 (CEST)

Was das von-Neumann-Modell angeht, so kann man natürlich jede Natürliche Zahl so betrachten, daß sie jeden ihrer Vorgänger umfasst. Aber die Beibehaltung dieser Betrachtung für weitere Ordinalzahlen setzt voraus, daß es solche weiteren Ordinalzahlen überhaupt gibt. Dies gilt es ja zu beweisen, nicht einfach nur zu behaupten. Und ich bezweifle wie schon x-mal gesagt die Existenz von Ordinalzahlen, die größer als jede Natürliche Zahl sein sollen.

Verstehe ich Dich richtig, daß Du in diesem Beispiel die Reihenfolge der Natürlichen Zahlen umkehren willst? Also die 0 ans Ende der Aufzählung verlegst? Falls ja, dann beantworte mir die Frage, mit welcher Natürlichen Zahl dann diese Aufzählung beginnt.

Wenn Du "da $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ gleichmächtig zu $\mathbb {N}$ ist" schreibst, dann ist das erst einmal nur eine Behauptung. Diese setzt die Existenz von $\omega$ einfach voraus, ohne sie jedoch zu beweisen.

Und wozu willst Du das Axiom 5 auf Teilmengen von $\mathbb {N}$ beschränken? Es geht doch um die Axiome in genau der Ausprägung, wie Peano sie formuliert hat, oder nicht?--Wikilaser (Diskussion) 11:37, 18. Okt. 2017 (CEST)

Unkenntnis nicht-klassischer Logik

Hallo Daniel5Ko! Du sagst, von nicht-klassischer Logik hat doch Lothario Hederich keine Ahnung. Ich habe wohl etwas nachzuholen, um diese Logik zu verstehen, vielleicht kannst du mir auf die Beine zu helfen:

Ich betrachte zwei eingliedrige reellzahlige Folgen: $(a_{0}),(a_{1})$.

1. Es gilt: $\forall a_{0},a_{1}\!\in \mathbb {R} \colon (a_{0})\not =(a_{1})$, da gemäß Definition $(a_{0})=\{\langle 0,a_{0}\rangle \}$ und $(a_{1})=\{\langle 1,a_{1}\rangle \}$
2. Daraus folgt für $a_{0}=a_{1}=\pi$, das $(\pi )\not =(\pi )$.

Wo habe ich hier gefehlt, der nicht-klassischen Logik zu folgen? Für eine eingehende Antwort wäre ich dir sehr dankbar. Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 23:42, 28. Sep. 2017 (CEST)

Hallo Hederich, rein logisch hast du nichts falsch gemacht. Die verwendete Folgendefinition ist aber offenbar ungünstig, da sie davon ausgeht, dass die Indizierung Teil des Informationsgehalts so einer Folge sein soll. Wie es besser geht (wenn auch erstmal auf unendliche Folgen beschränkt) habe ich im "Ich komme mit dem Folgebegriff immer noch nicht zurande"-Abschnitt in Diskussion: Folge (Mathematik) kurz skizziert. Mit der Überschrift dieser Diskussion hat das aber m.E. wenig zu tun.

Wo es offensichtlich ist, dass du (bisher, es kann nur besser werden) keine Ahnung von nichtklassischer Logik hast, ist z.B. der Abschnitt "Der Funktionsbegriff ist sehr eng" auf derselben Seite. Abgesehen davon, dass deine erste Formel da auch klassisch falsch ist, enthält sie als wesentlichen Bestandteil $\lnot A\implies \lnot B$. Dies ist im Allgemeinen schwächer als $B\implies A$. Um etwas interessantes auf der Grundlage deiner Definition zu beweisen, wird man also in klassische Gefilde gedrängt. Nicht gut. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:53, 29. Sep. 2017 (CEST)

Es ist mir peinlich, ${\mathfrak {Fkt}}$ versehentlich fehlerhaft angegeben zu haben. Bin ich jetzt der nichtklassiklogischen Mathematik näher gekommen?: Die drei Terme ${\begin{array}{|c|}\hline (f_{-1},f_{0},f_{1},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<1,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}\end{cases}}\\\hline \end{array}},$ ${\begin{array}{|c|}\hline (f_{0},f_{1},f_{2},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<2,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}\end{cases}}\\\hline \end{array}},$ $~{\begin{array}{|c|}\hline (f_{1},f_{2},f_{3},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<3,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}\end{cases}}\\\hline \end{array}}$ bezeichnen drei verschiedene mathematische Objekte, in der klassiklogischen Mathematik bezeichnen alle drei dasselbe Objekt wie der Term ${\begin{array}{|c|}\hline (1,1,2,3,5,8,13,21,\dotsc )\\\hline \end{array}}$ --Lothario Hederich (Diskussion) 17:25, 29. Sep. 2017 (CEST)

Wie schon gesagt, hat das Folgenthema nichts mit klassischer oder nichtklassischer Logik zu tun. Aber egal. Ich sehe es so: Die ersten drei Objekte, also die Funktionen, sind Codes für die eigentlich gemeinte Folge ("bestehend aus" erstem Glied und Restfolge). Und natürlich können verschiedene Codes dasselbe Objekt bezeichnen. Umgekehrt kann man so einer Folge einen Code zuordnen, wobei man recht viel Freiheit bei der Wahl der Indexmenge hat. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:16, 29. Sep. 2017 (CEST)

Vielleicht wird es deutlicher worauf ich hinauswill, wenn ich auf das Obige zurückkomme: Ich hatte gezeigt, dass gemäß des Folgeartikels $(\pi )\not =(\pi )$ gilt. Ich hätte noch anführen sollen, dass gemäß der Einleitung des Folgeartikels endliche Folgen Tupel sind und diese dem Gleichheitsaxiom unterliegen, gemäß des Tupel-Artikels, so dass aus $(\pi )\not =(\pi )$ folgt $\pi \not =\pi$. Diesen Unsinn führe ich auf Eure so genannte nichtklassische Logik zurück, deren Nichtkenntnis du mir ankreidest, ich dir jedoch nicht verüble, Daniel5Ko. Beste Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 23:59, 29. Sep. 2017 (CEST)

Warum du von "Eure so genannte nichtklassische Logik" sprichst, weißt wohl nur du. Wer wären "wir" denn da? Nochmal ganz langsam zum Mitmeißeln: Das Problem der Folgendefinition hat echt überhaupt gar nichts mit klassischer vs. nichtklassischer Logik zu tun. Dass die meisten Autoren genau wie du bzgl. nichtklassischischer Logik ahnungslos sind, ist ein anderes Thema. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:29, 30. Sep. 2017 (CEST)

Worauf ich hinauswill: zu zeigen, dass hier ein Mathematikverständnis vorherrscht, welches zu so absurden Aussagen wie $\pi \not =\pi$ führt. Ich hätte auch Beispiele aus anderen Artikeln (z.B. Funktion, Relation, Tupel) bringen können und auf Ungereimtes hinweisen. Der Folgenbegriff, wie er im Artikel vorgelegt ist, lässt sich klassisch-logisch (formal) nicht definieren, daher meine Vermutung, die für Artikel im Portal Mathematik Verantwortlichen (Sichter) arbeiten mit nichtklassischer Logik, was immer das für Logik ist, jedenfalls keine mathematische. Vermutlich wird es dir zu viel Mühe bereiten, in kurzen Worten diese zu beschreiben. --Lothario Hederich (Diskussion) 12:42, 30. Sep. 2017 (CEST)

Mit nichtklassischer Logik meine ich vor allem Logik ohne die Annahme des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten. (Diese Worte waren jetzt zwar nicht alle kurz, aber dafür waren es relativ wenige.) --Daniel5Ko (Diskussion) 16:27, 30. Sep. 2017 (CEST)

PS. Ich komme noch einmal auf deinen Text von oben 20:16, 29. Sep. 2017 zurück: dort sprichst du von für die eigentlich gemeinte Folge. Kann das ein Ansatz für mich sein, nichtklassische Logik zu verstehen? --Lothario Hederich (Diskussion) 16:36, 30. Sep. 2017 (CEST)

Nein. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:04, 30. Sep. 2017 (CEST)

Jetzt erst ist bei mir dein Text von 16:27 angekommen und ich meine die nichtklassische Logik nun wenigstens ansatzweise zu verstehen: sie ist eine Methode, einem Mathematiktext Lesenden anheim zu stellen, diesen nach persönlichem Geschmack zu interpretieren. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:22, 30. Sep. 2017 (CEST)

Wenn du meine Antworten ignorieren und dir selber irgendetwas ausdenken willst, brauchst du mich doch nicht zu fragen. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:27, 30. Sep. 2017 (CEST)

Ich versuch hier mal etwas zu vermitteln:

• An Lothario:

1. Dein Fokus auf klassische Prädikatenlogik/Mengenlehre/Klassenlogik ist eine Sache, die hat mit deinen Wünschen für die Ausrichtung der Artikel zu tun; die von dir behaupteten Fehler im Artikel sind eine andere Sache, hat mit der ersteren nichts zu tun (da bestätige ich Daniel).
2. Mal ganz allgemein: Die Oberschelp-Mengenlehre/Klassenlogik ist ein (insb. dein) Liebhaberstück. Was darin die allgemeinstmögliche Definition ist, kann keineswegs als Bestimmung dafür dienen, womit der Artikel einsteigen sollte oder was über den „Unterricht in Schulen“ hinausgeht und was nicht.
3. Darüber, ganz allgemein einmal eine Formulierung zu wählen, in der nicht von vorne herein ein Wertebereich gegeben sein muss: Da kann man drüber reden (das mit Oberschelp-Mengenlehre brauchts für den Artikel aber doch genauso wenig wie Überlegungen über Folgen, die keine Mengen sind oder deren Wertebereich keine Menge ist, weil das Ersetzungsaxiom nicht gilt und ähnliche Späße).
4. Nichtklassische Logik meint „vor allem Logik ohne die Annahme des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten“, das ist nicht nur Daniels Äußerung. Worauf er aber anspielt, ist, dass gerade in konstruktiven Kontexten, Typentheorien u.a.m. (die eben oft in jenem Sinne nichtklassisch sind, und die Vorteile die sich daraus ergeben hängen eben auch vom Status der Funktionen ab) Funktionen einen andern Status haben, als dass sie als Paarmengen definiert würden. Insofern man auch solchen Ansätzen gerecht werden sollte, sollte nicht irgendeine klassische mengentheoretische/klassenlogische Funktionsdefinition das Maß aller Dinge für die Artikel sein, insb. nicht für den Artikel über Folgen, für den Artikel über Funktionen haben sie zurecht einen große Bedeutung.
5. Nun zu deinem Problem mit $(a_{0}),(a_{1})$:
   1. Die Sache ist eine, die du mit Frogfol auf der Diskussionsseite beredet hattest, Daniel hat dazu nie etwas gesagt (a fortiori hat er in dem Kontext auch nie auf nichtklassische Logik verwiesen). Insofern musst du dich nicht wundern, wenn dieser verständnislos antwortet, wenn du damit hier ankommst.
   2. Halten wir uns mal an die Voraussetzung, dass wir in einem prädikatenlogischen, mengentheoretischen Kontext mit üblichen mengentheoretischen Definitionen von Funktionen und Folgen arbeiten (mit Daniels Vorschlag würde sich das Problem auf andere Weise sofort erledigen), dann muss man folgendes feststellen: Die alltäglichen mathematischen Notationen sind nicht unmittelbar als prädikatenlogischer Grammatik folgend anzusehen. Insbesondere ist $(\Box )$, das „In-Klammern-Setzen“, in diesem Kontext kein Funktionssymbol im prädikatenlogischen Sinn, deshalb macht es auch keinen Sinn, erst über $a_{0}$ zu quantifizieren und dann über $(a_{0})$ zu reden. Damit es etwas näher am Alltag ist, reden wir mal lieber über den Ausdruck $(a_{0},a_{1},a_{2})$. Wir müssen das als metasprachliche Bestimmung ansehen, wie das in der Prädikatenlogik dann aussehen müsste (das gesamte „immer denselben Buchstaben mit fortlaufenden Indizes durch Kommata getrennt zwischen Klammern“ ist dann ein metasprachlicher Operator). Frogfol hat bereits eine sinnvolle Deutung angegeben: Das Ganze $(a_{0},a_{1},a_{2})$ lässt sich als typisierte Variable verstehen, was heißt, dass bei Einführung der Variable über einen Quantor man in der prädikatenlogischen Ausformulierung die Bedingung, dass $(a_{0},a_{1},a_{2})$ ein Tupel mit drei Elementen, nummeriert beginnend bei der 0, ist, hinzu geschrieben werden muss. Dass man schlicht durch Aufzählung der Elemente angibt, wie eine Folge indiziert ist, ist ganz und gar üblich. Oft impliziert man damit auch, dass die Folge/das Tupel selbst den Namen $a$ tragen soll. Natürlich wird die Notation $(\ldots )$ auf verschiedene Weisen benutzt – wie das immer so ist, hängt alles davon ab, dass man nicht verschiedene Varianten in so großer Nähe zueinander verwendet, dass sie verwechselt werden können. Kurzum: In der Mathematik ist es Gang und Gäbe, $(\ldots ,\ldots ,\ldots )$ nicht als Funktionssymbol zu verwenden, sondern über das, was man da reinschreibt, metasprachliche zusätzliche Verständnisanweisungen gibt. Man kann darüber reden, ob man so etwas im Artikel aus didaktischen Gründen erstmal etwas zurückhält und dann erst explizit erwähnt – du solltest aber nicht so tun, als gäbe es das nicht oder wäre per se falsch.

• An Daniel:

1. Eine Aussage wie „schlage ich vor, dass du dich ein wenig mit Logik (ab späte 2. Hälfte des 20. Jhdts.) beschäftigst“ muss doch wirklich nicht sein, sie verkennt auch, dass die Logik auch heute noch mehr Zweige hat, als die, an die du wahrscheinlich dachtest, und in denen teils auch in den letzten 40 Jahren viel passiert ist, ohne dass sie vom klassisch-prädikatenlogisch-mengentheoretischen Rahmen sich gelöst hätten. Es ist doch schon etwas arrogant, einen Zweig allein zum Maßstab dafür zu machen, ob man auf der Höhe der Zeit ist oder nicht? (die von Lothario geschätzte Oberschelp-Mengenlehre ist übrigens auch nicht älter als zum Beispiel ML-Typentheorie oder kategorielle Logik, soviel zur Chronologie, bloß aus ihr ist nicht viel geworden; die Idee Folge=„‚bestehend aus‘ erstem Glied und Restfolge“ gibts mindestens seit Lisp (wer schlägt was älteres vor?), hängt gar nicht unbedingt alles vom neusten Schrei ab) Vor allem spielt deine Formulierung auf ein Nichtwissen seinerseits an, sie verstellt ihm jedoch zugleich – eben wegen seines Unwissens – den Weg, genauer herauszufinden, worin dieses besteht (mit dem Suchbegriff „Logik der letzten 40 Jahre“ wird er wohl kaum weit kommen und vllt. denkt er da schlichtweg auch an anderes als du). Da ist eine brüskierte Reaktion sehr verständlich, auch wenn du an anderen Stellen konkretere Hinweise gegeben haben magst.
2. Ich stimm ja völlig mit dir überein, dass die Probleme gewisser Formalismen nicht im Vordergrund stehen sollten. Dennoch sind die Probleme dieser Art (auch wenn sich einzelne von Lothario genannte Fällen doch als unproblematisch erweisen) mindestens solange wichtig, wie solche Formalismen wichtig bleiben, da kann man sich für eine enzyklopädische Darstellung nicht einfach mit Verweis auf seinen bevorzugten Formalismus als drüber erhaben positionieren. Im Übrigen kommt die schöne neue Welt natürlicher Definitionen auch immer sehr schnell zu der Situation, in der eine Konstruktion zwar kanonisch, aber nicht funktoriell ist, und dann muss man wählen und hat sehr ähnlichen Buchhaltungsstress wie in der alten Welt. Und in Typentheorien hat man immer seine Sorge, ob man nun gerade extensional oder intensional etwas sagen möchte … Das sei nur mal so allgemein gesagt, unabhängig jetzt vom konkreten Thema Folgen, gegen die rauschhafte Beteuerung, jetzt würde alles so gehen, wie man es sich wünscht, wäre das „eigentlich gemeinte“ immer problemlos direkt verfügbar – das ist es keineswegs, auch jüngste Neuerungen in der Logik lassen einen nicht immer direkt das „eigentlich gemeinte“ hinschreiben (das taugt also nicht als kategorischer Imperativ), Vorteile gibts natürlich trotzdem, manchmal fällt der Stress ganz weg, und manchmal lässt er sich besser handhaben.
3. Correct me if I’m wrong, was meine Hinweise an Lothario angeht, worauf du wohl angespielt hast.

Hilft das vllt.?

Beste Grüße --Chricho ¹ ² ³ 04:10, 1. Okt. 2017 (CEST)

Deine obigen Ausführungen, lieber Chricho, sind interessant und für mich recht aufschlussreich, sie erlauben eine Sicht auf die Mathematik, mit der Aussagen wie $\pi \not =\pi$ hinnehmbar sind. Mir fällt es schwer, der von dir erläuterten Logik zu folgen und ich werde weiterhin wenigstens in meinem Benutzerbereich meine Vorstellungen über Folgen-, Tupel- und Funktions-Artikel darlegen. Mit Grüßen --Lothario Hederich (Diskussion) 12:22, 1. Okt. 2017 (CEST)

Lieber Lothario, das wäre schade, wenn dass alles wäre, was du meinen Anmerkungen hättest entnehmen können, und wir nicht gemeinsam über Verbesserungen der Darstellung im Artikelnamensraum weiter diskutieren könnten. Schlag doch einfach mal irgendeinen mathematischen wissenschaftlichen Text sagen wir aus der Analysis auf – solche metasprachliche, suggestive Notationen wirst du dort zuhauf finden, an die grundsätzliche Sicht auf die Mathematik rühren sie nicht, geschweige denn, dass die Analytiker $\pi \neq \pi$ hinnehmbar machen würden – diese Notationen sind vielmehr in den allermeisten Fällen genauso unproblematisch wie zum Beispiel eine $\ldots$-Notation für eine Folge (und in ähnlich sehr sehr wenigen Fällen Quelle für Missverständnisse oder gar Fehler) – so ein $\ldots$, um eine unendliche Folge zu notieren, dürfte bei dir ja gar nicht erlaubt sein, weil es in der Prädikatenlogik keine unendlich langen Terme gibt …

Ansonsten nimm doch wenigstens noch mit, dass du einer Verwechslung aufgesessen bist und einen Punkt, den Daniel nicht thematisiert hat, unbegründet mit deiner Reaktion auf einen unfreundlichen Beitrag Daniels vermischt hast, was zu viel Verwirrung geführt hat. Zieh auch mal in Erwägung, dass hier vllt. nicht ein Mathematikverständnis seine ‚Vorherrschaft‘ gegen dich ausspielt, sondern dass etwa auch Daniel, HilberTraum, Frogfol und ich auch untereinander Mathematik, zumindest in Teilen, ganz anders verstehen. Obs das eine richtige gibt, lässt sich zumindest schwer sagen, mit Blick auf die realen Mathematikerinnen und Mathematiker gibt es das nicht. --Chricho ¹ ² ³ 20:12, 1. Okt. 2017 (CEST)

Zu deiner an mich gerichteten Liste:

1. Eine Aussage wie „schlage ich vor, dass du dich ein wenig mit Logik (ab späte 2. Hälfte des 20. Jhdts.) beschäftigst“ muss nicht sein, richtig. Aber man kann ja trotzdem probieren, ob sie 'was bringt. Zumal Hederich auch dauernd Leuten, die seinen Dogmen widersprechen, ebenfalls vorschlägt, sich zu bilden. Würde er alle neuen Entwicklungen kennen, würde er entweder nicht klassische Prädikatenlogik + ZFC oder ähnliches als non-plus-ultra ansehen, oder aber brauchbarere Argumente für die Verteidigung dieser Ansicht haben. Es gibt eben viele Möglichkeiten, naive Mathematik zu formalisieren. Dass die Idee "Folge=„‚bestehend aus‘ erstem Glied und Restfolge“" neu sei, habe ich nicht behaupten wollen, und ziemlich sicher auch nicht behauptet.
2. Ich lehne es ab, dass irgendein Formalismus bevorzugt wird. Die Konzepte, um die es geht, sollten nach Möglichkeit portabel sein. Ohne einen Formalismus ist es natürlich schwer, anderen mitzuteilen, was man überhaupt sagen will. Aber man sollte nicht in die Falle tappen, das Erklärungsmittel mitsamt all seinen Artefakten für das Konzept zu halten. Nur darum geht's mir. Die Frage, ob eine Formalisierung adäquat ist, ist immer für Diskussionen offen.
3. Habe nichts zu korrigieren.

@Hederich: Möchtest du Literaturempfehlungen haben?

--Daniel5Ko (Diskussion) 23:07, 1. Okt. 2017 (CEST)

D’accord, abgesehen davon, dass er ja Oberschelp-Klassenlogik präferiert. Ehrlich gesagt hatte ich Lothario mit Wilfried Neumaier verwechselt (bzw. hatte nur noch etwas dunkel in Erinnerung), weil ich mir nicht hab vorstellen können, dass es hier mehr als eine Person gibt, die eine Vorliebe für die nahezu bedeutungslose Oberschelp-Klassenlogik hat (wo nichts gegen zu sagen ist), und von WN war ich andere Beiträge gewohnt. --Chricho ¹ ² ³ 23:35, 1. Okt. 2017 (CEST)

Lasst mich in meiner klassischen Prädikaten Logik verweilen, ich trete ja nur in Erscheinung, wenn mir Widersprüchliches und Ungereimtes auffällt. Ansonsten schreibe ich die Grundlagenartikel in meinem Benutzerbereich. (Nebenbei: Oberschelp besticht durch seine brillante Darstellung und klare Begriffsbildung ohne allerdings wirklich Neues zu bringen, so sieht es mW. auch WN.) Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 01:42, 3. Okt. 2017 (CEST)

Das ist ja auch eine feine Sache. Dann alles klar, aber dann nicht enttäuscht sein, wenn das nicht als Maß aller Dinge gesehen wird. Schöne Grüße --Chricho ¹ ² ³ 02:37, 3. Okt. 2017 (CEST)