Euklidischer Raum

Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, in dem man Entfernung, Längen und Winkel messen kann. In einem solchen Raum gelten die Gesetze der euklidischen Geometrie. Euklidische Räume existieren in beliebigen Dimensionen. Ein zweidimensionaler euklidischer Raum heißt auch euklidische Ebene.

Algebraische Beschreibung

Algebraisch lässt sich ein euklidischer Raum in beliebigen Dimensionen n (n > 0) durch das n-fache kartesische Produkt der reellen Zahlenmenge R beschreiben. Da bei dieser Beschreibung keine Informationen verlorengehen, wird der Begriff häufig auf diesen speziellen Raum verengt, der dann als $R^{n}$ oder auch $E^{n}$ bezeichnet wird.

Durch koordinatenweise Addition und Multiplikation mit Skalaren wird er zu einem reellen Vektorraum, auf dem für zwei beliebige Punkte x = (x₁, ..., x_n) und y = (y₁, ...,y_n) ein Skalarprodukt definiert werden kann, indem die Koordinaten paarweise multipliziert und die entstehenden Produkte aufaddiert werden. In drei Dimensionen ergibt sich so zum Beispiel:

$x\cdot y=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$

Das Skalarprodukt ermöglicht die algebraische Definition von Abständen und Winkeln. Dazu wird zunächst für jeden Punkt x eine Norm genannte Länge festgelegt, die durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selber definiert ist. Wiederum in drei Dimensionen ergibt sich zum Beispiel:

$||x||=|x|={\sqrt {(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}+(x_{3})^{2}}}$

Der Abstand zweier Punkte x und y ergibt sich nun durch die euklidische Metrik d(x,y) (Euklidischer Abstand), die sich als Norm der Differenz x-y errechnet. Als Beispiel in drei Dimensionen gilt dann:

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}.$

Winkel zwischen zwei Vektoren x und y werden durch die Kosinus-Funktion festgelegt und zwar definiert sich der Kosinus des Winkels als Quotient aus dem Skalarprodukt von x,y und dem Produkt ihrer Normen:

$\cos \alpha (x,y)={\frac {x\cdot y}{|x||y|}}$

Euklidische Räume in der höheren Mathematik

Durch seine Metrik d ist jeder euklidische Raum R ⁿ ein metrischer Raum und somit auch ein topologischer Raum. Als Vektorraum ist er zudem das klassische Beispiel für einen topologischen Vektorraum. Insbesondere ist er ein Prähilbertraum und, weil im endlichdimensionalen auch vollständig, ein Banachraum und somit auch ein Hilbertraum. Nach einem Beweis von Brouwer sind euklidische Räume verschiedener Dimension nicht homöomorph aufeinander abbildbar.

Ein euklidischer Raum ist zugleich der Prototyp einer topologischen und differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Für alle Dimensionen außer vier ist eine zu R ⁿ homöomorphe Mannigfaltigkeit auch eine zu R ⁿ diffeomorphe. Die in vier Dimensionen bestehenden Ausnahmen werden exotische 4-Räume genannt.

Euklidische Vektorräume

Ein Euklidischer Raum muss nicht notwendigerweise durch den speziellen Raum R ⁿ beschrieben werden: Jeder endlichdimensionale Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist, das je zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnet, ist zugleich ein Modell eines Euklidischen Raums gleicher Dimension; man bezeichnet einen solchen Vektorraum daher auch als Euklidischen Vektorraum. Allerdings ist durch Auswahl einer Basis jeder Euklidische Vektorraum isomorph zu dem speziellen Raum R ⁿ, das heißt, es gibt zumindest hinsichtlich der Geometrie keine Unterschiede zwischen beiden.

Euklidische Vektorräumen sind ihrerseits spezielle Beispiele für Prähilberträume oder Skalarprodukträume und darüber hinaus Beispiele für Hilberträume; die Eigenschaften und genaue Definitionen dieser Räume werden in den entsprechenden Artikeln näher abgehandelt.

Siehe auch: Hierarchie mathematischer Strukturen