Fast alle

Fast alle ist in der Mathematik eine Abkürzung für alle bis auf endlich viele:

Es heißt, eine Eigenschaft ${\mathcal {P}}$ werde von fast allen Elementen einer Menge erfüllt, wenn nur endlich viele Elemente ${\mathcal {P}}$ nicht erfüllen.

Spezialisierung auf Folgen

Die Eigenschaft ${\mathcal {E}}$ trifft auf fast alle Gliedern einer Folge zu, wenn höchstens endlich viele Folgenglieder Gegenbeispiele sind.P

Dies lässt sich auch so charakterisieren: Es gibt ein Folgenglied, von dem an die Eigenschaft für alle nachfolgenden Glieder gilt.
Formal: $\exists N\in \mathbb {N} \colon \forall n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})$ .

Dies darf nicht verwechselt werden mit der Forderung $\forall N\in \mathbb {N} \colon \exists n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})$ , die bedeutet, dass ${\mathcal {E}}$ für unendlich viele Folgenglieder gilt. Dies ist eine „echt schwächere“ Forderung, denn sie schließt nicht aus, dass ${\mathcal {E}}$ für unendlich viele Folgenglieder auch nicht gilt.

Vergleich

"fast alle" ist kein Spezialfall des maßtheoretischen Begriffs fast überall, denn wenn alle endlichen Mengen bezüglich eines Maßes Nullmengen wären, so wegen dessen σ-Additivität auch alle abzählbaren.
Teilmengen, die fast alle Elemente einer Menge enthalten, heißen auch koendlich (oder kofinit), weil ihr Komplement endlich ist.

Beispiele

Fast alle natürlichen Zahlen sind größer als 8. bedeutet Es gibt endlich viele natürliche Zahlen, die nicht größer als 8 sind, und alle anderen natürlichen Zahlen sind größer als 8.
Es gibt unendlich viele durch 3 teilbare natürliche Zahlen, genauso wie es unendlich viele nicht durch 3 teilbare gibt.
Eine reelle Zahlenfolge (a_n) in $\mathbb {R}$ :

hat einen Häufungspunkt b, wenn für jedes ε>0 unendlich viele Folgenglieder im Intervall (b-ε,b+ε) liegen.
- Sind zusätzlich für jedes ε>0 fast alle Folgenglieder kleiner als b+ε, so heißt b oberster Häufungspunkt oder Limes superior.
ist konvergent mit Grenzwert a, wenn für jedes ε>0 fast alle Folgenglieder im Intervall (a-ε,a+ε) liegen.