Polygon

Ein Polygon (v. griech.: polys = viel + gonos = Winkel) oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Einfach gesagt erhält man ein Polygon, wenn man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene durch Strecken so miteinander verbindet, dass eine geschlossene Figur entsteht. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind Beispiele für besondere Polygone.

Mathematische Definition

Ein Polygon ist eine geschlossene Figur, die durch ein Tupel $P:=\left(P_{1},P_{2},...,P_{n}\right),P_{i}\in \mathbb {R} ^{m},1\leq i\leq n$ von n Punkten (die Eckpunkte oder kurz Ecken genannt werden) eindeutig definiert wird.

Die Strecken ${\overline {P_{i}P_{i+1}}}\left(i=1,...,n-1\right)$ und ${\overline {P_{n}P_{1}}}$ bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken ${\overline {P_{i}P_{j}}}$ zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen.

Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:

• Das Polygon hat mindestens 3 paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte.
• Die Kanten schneiden (berühren) sich nur in den Eckpunkten. Andernfalls bezeichnet man das Polygon auch als überschlagen.
• Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch $P_{n},P_{1},P_{2}$ und $P_{n-1},P_{n},P_{1}$ gelten als angrenzende Eckpunkte.
• Falls der Schnitt zweier Kanten entweder leer oder eine Ecke ist, und jede Ecke zu höchsten zwei Kanten gehört (das heisst keine Selbstüberschneidung), bezeichnet man das Polygon als einfach.

In einigen Fällen wird die Kante ${\overline {P_{n}P_{1}}}$ nicht mitgezählt und das Polygon als offen bezeichnet, falls $P_{n}\neq P_{1}$ ist.

Mathematische Beziehungen

In einem nicht überschlagenen n-Eck ist die Summe der Innenwinkel

$\alpha _{1}+...+\alpha _{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }$

Und bei einem gleichwinkligen Polygon der Winkel

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }$

Typische Polygone

• Dreieck
• Viereck
  • Drachenviereck
  • Parallelogramm
  • Quadrat
  • Raute
  • Rechteck
  • Trapez
• Fünfeck (=Pentagon)
• Sechseck (=Hexagon)
• Siebeneck (=Heptagon)
• Achteck (=Oktogon)
• Neuneck (=Nonagon, Enneagon)
• Zehneck (=Dekagon)
• Elfeck (=Undekagon)
• Zwölfeck (=Dodekagon)
• Dreizehneck (=Tridekagon)
• Vierzehneck (=Quadridekagon)
• Fünfzehneck (=Pentadekagon)
• Sechszehneck (=Hexadekagon)
• Siebzehneck (=Heptadekagon)
• Achtzehneck (=Oktadekagon)

Spezielle Typen

Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein; hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Winkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck (Isogon) bezeichnet. Ein reguläres n-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius $r_{u}$ und einen Inkreis mit Radius $r_{i}$. Die Länge jeder Seite wird mit $a$ bezeichnet, die Seitenanzahl mit $n$. Daraus ergeben sich folgende Formeln für nicht überschlagene reguläre Polygone:

• Flächeninhalt:
  $A\ =\ {\frac {n}{2}}\,a\,r_{i}\ =\ {\frac {n}{2}}\,r_{u}^{2}\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\ =\ {\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}={\frac {n\cdot a^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}$

• Inkreisradius:
  $r_{i}={\frac {a}{2}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}={\frac {a}{2\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}$

• Umkreisradius:
  $r_{u}={\frac {a}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}$

Nicht überschlagene Vielecke können konvex oder konkav sein.

Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.

Berühmte Vielecke

• das Pentagon
• das Pentagon in Kronach,
  • die Festung Rosenberg zeigt ein Fünfeck als Grundriss
• Frankreich wird aufgrund seiner geographischen Form auch als Hexagon bezeichnet.
• das karolingische Oktogon im Grundriss des Aachener Dom

Polygone in der Computergraphik

Datei:Polygon face.jpg

Polygonmodell mit verfeinerten Surfacemodell im Wechsel

In der Computergrafik sind Polygone meist Vielecke, aus denen durch komplexe Grafikroutinen eine 3D-Landschaft zusammengesetzt wird. Flächen, umgrenzt von geschlossenen Linien, werden dabei verwendet, um räumliche Elemente zu beschreiben. Die Repräsentation erfolgt in Vektorform. Um Cyberwelten besonders echt wirken zu lassen, ist also eine gehörige Portion mathematisches Know-how von Nöten.

Mit Hilfe spezieller 3D-Grafiksoftware kann ein Polygon aus beliebigen einzelnen Eckpunkten und Kanten/Segmenten zusammengefügt werden. Sobald ein Linienzug zu einem einfachen Polygon geschlossen wird, verschwinden alle übriggebliebenen Punkte und Segmente und nur das einfache Polygon bleibt übrig. In diesem geschlossenen Polygon wird nun der Kern bzw. das Sichtbarkeitspolygon eingezeichnet. Auch nach dem Schließen des Polygons kann dessen Gestalt weiterverändert werden; der Grafik-Editor erlaubt neben dem Verschieben von Eckpunkten, Kanten oder des gesamten Polygons auch das Rotieren, Skalieren oder Scheren des Polygons in einem Kontextmenü. Eckpunkte und Kanten können auch gelöscht und neue hinzugefügt werden.

Je zahlreicher und kleiner die Polygone sind, desto realistischer kann die künstliche Bildschirmwelt wirken.

Die technische Grafik-Leistung eines Computerspiels bemisst sich zu einem großen Teil nach der Anzahl der gleichzeitig darstellbaren Bildpunkte, Farben, bewegten Flächen und Lichtreflexe. Je mehr solcher Attribute ohne sichtbare Zeitverzögerung für jede Perspektivänderung zu berechnen sind, desto räumlicher und plastischer wirkt die Grafik im Spiel. Voraussetzung für eine "wirklichkeitsnahe" Wiedergabe am Bildschirm ist ein schneller Prozessor, denn je schneller der Prozessor, desto mehr Polygone können in den vier Dimensionen der Raumzeit berechnet werden. Die PlayStation 2 kann theoretisch 70 Millionen Polygone pro Sekunde verarbeiten.

Siehe auch

• Polyeder, Polytop, Winkelsumme, Außenwinkel
• Satz von Pick (für Polygone auf dem Gitter)

Weblinks

• Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone
• In siebzig Millionen Polygonen um die Welt
• Sichtbarkeit in einfachen Polygonen
• Rasterung von Polygonen