Inhaltskette

Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. aliquot sequence) versteht man eine Folge positiver ganzer Zahlen, in der jede der Zahleninhalt (die Summe der echten Teiler) ihres Vorgängers ist.

Formale Definition

Die Inhaltskette mit dem Startwert n oder Inhaltskette von n ist die Folge

${\bigl (}n,\,s(n),\,s(s(n)),\,s(s(s(n))),\,\ldots {\bigr )},$

wobei $s(n)=\sigma (n)-n$ mit der Teilersumme $\sigma$.

Eigenschaften

Natürliche Zahlen, die über Inhaltsketten auf die gleiche Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) führen, bilden eine Primzahlfamilie (engl. prime family), kurz auch P-Familie (engl. p-family) genannt. Eine Ringfamilie (engl. cycle family), kurz auch R-Familie genannt (engl. c-family), terminiert in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen.

Die Catalan-Dickson-Vermutung (benannt nach Eugène Charles Catalan und Leonard Eugene Dickson) besagt, dass jede Inhaltskette periodisch wird oder mit 0 endet. Sie ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Die Längen der Inhaltsketten für n = 1, 2, ... ausgenommen vom Startwert, sind 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, ... (Folge A044050 in OEIS).

Die Inhaltsketten von 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ... (Folge A080907 in OEIS) terminieren in der 0.

Die Inhaltsketten von 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, ... (Folge A063769 in OEIS) terminieren in einer perfekten Zahl.

Perfekte Zahlen terminieren ebenfalls in einer perfekten Zahl, nämlich sich selbst (weil sie so definiert sind).

Die Inhaltsketten von 220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, ... (Folge A121507 in OEIS) terminieren in einem Zykel mit einer Länge von mindestens 2 (man sagt auch „Kette der Ordnung (von) mindestens 2“).

Befreundete Zahlen terminieren in einem Zykel mit einer Länge von 2 (weil sie so definiert sind).

Gesellige Zahlen terminieren in einem Zykel der Länge 3 oder größer (weil sie so definiert sind).

Inhaltsketten können beispielsweise in der factoring database generiert werden.

Beispiele

Beispiel 1:

Die Inhaltskette von 10 ist (10, 8, 7, 1, 0) und terminiert in der 0:

s(10) = 5 + 2 + 1 = 8

s(8) = 4 + 2 + 1 = 7

s(7) = 1

s(1) = 0

Beispiel 2:

Die Inhaltskette von 95 ist (95, 25, 6, 6,...) und terminiert in der perfekten Zahl 6:

s(95) = 19 + 5 + 1 = 25

s(25) = 5 + 1 = 6

s(6) = 3 + 2 + 1 = 6

s(6) = 3 + 2 + 1 = 6

...

Beispiel 3:

Die Inhaltskette von 220 ist (220, 284, 220, 284, 220,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 2 (220 und 284 sind befreundete Zahlen):

s(220) = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284

s(284) = 142 + 71 + 4 + 2 + 1 = 220

s(220) = 110 + 55 + 44 + 22 + 20 + 11 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 284

s(284) = 142 + 71 + 4 + 2 + 1 = 220

...

Beispiel 4:

Die Inhaltskette von 12496 ist (12496, 14288, 15472, 14536, 14264, 12496,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 5 (diese 5 Zahlen sind gesellige Zahlen):

s(12496) = 6248 + 3124 + 1562 + 1136 + 781 + 568 + 284 + 176 + 142 + 88 + 71 + 44 + 22 + 16 + 11 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14288

s(14288) = 7144 + 3572 + 1786 + 893 + 752 + 376 + 304 + 188 + 152 + 94 + 76 + 47 + 38 + 19 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 15472

s(15472) = 7736 + 3868 + 1934 + 967 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14536

s(14536) = 7268 + 3634 + 1817 + 632 + 316 + 184 + 158 + 92 + 79 + 46 + 23 + 8 + 4 + 2 + 1 = 14264

s(14264) = 7132 + 3566 + 1783 + 8 + 4 + 2 + 1 = 12496

...

Beispiel 5:

Die Inhaltskette von 14316 ist (14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716, 14316,...) und terminiert in einem Zykel mit einer Länge von 28 (diese 28 Zahlen sind somit ebenfalls gesellige Zahlen).

Lehmer-Six und -Five

Die ersten sechs offenen (nicht vollständig berechneten) Ketten im Intervall [1, 1000] wurden nach dem Ehepaar Derrick Lehmer und Emma Lehmer Lehmer-Six genannt. Ihre Startzahlen waren 276, 552, 564, 660, 840 und 966.

Die Kette mit der Startzahl 840 ist nun vollständig bekannt. Sie terminiert in der Primzahl 601, gefolgt von 1 und 0. Die restlichen 5 offenen Ketten werden nun Lehmer-Five genannt.

Die Kette mit der Startzahl 276 wurde bis s²⁰⁹⁰(276) = 1247650127029465108962068379955472803096528100594249180496228095274337112037817306231908069699728542249870132992902699369773658362397559208269397886703692788438762387659567116287140539612424782286670058019462 berechnet. Abgesehen von 2 und 3² sind keine weiteren Primfaktoren mehr bekannt. Der Restfaktor Z₂₀₁ hat 206 Stellen (Stand: 10. August 2017).

Die Kette mit der Startzahl 552 ist bis zu s¹¹³⁵(552) = 1825408737500543940514743332095912281953825119105225521269397010518932092510842682189858144174620871425737440574437302798678664917689414491520878586084821328409755211470627913982746314926215804 = 2² · 3 · 11 · 197 · 4937461 · Z₁₈₂ bekannt (Stand: 10. August 2017).

Die Kette mit der Startzahl 564 ist bis zu s³⁴⁶³(564) = 2032658982568541401672914570723585954976620117481134564991088037009624638927943387989353232243483260158155631179822774476501791576030932397379925354393561334767522221805318663486509770834564738725072 = 2⁴ · 41 · 113 · 287801 · Z₁₈₈ bekannt (Stand: 10. August 2017).

Die Kette mit der Startzahl 660 ist bis zu s⁹⁷¹(660) = 111551525152069570255156656614523512571233811729782821940399477322584269136382625190103459801758648077714142042933239896124691389224334380121209671436032770054737557024474597932536720122933111985568 = 2⁵ · 2069 · Z₁₉₃ bekannt (Stand: 10. August 2017).

Die Kette mit der Startzahl 966 ist bis zu s⁹⁷⁵(966) = 11298973110548660032823709908820442135222495249689808325428830031797441771525421468653440644769622852047781710846977933193174351735036832739627203333539565295551411169085778616514825004213377064 = 2³ · 3² · 17 · 3899864516498393539 · Z₁₇₂ bekannt (Stand: 10. August 2017).

Außerdem gibt es im Intervall [1, 10000] zurzeit 81 offene Ketten, im Intervall [1, 100000] genau 898 und im Intervall [1, 10⁶] genau 9190 offene Ketten (Stand: 29. Mai 2016). Für diese Ketten hat sich keine Bezeichnung durchgesetzt.

Literatur

• Eugène-Charles Catalan: A propos d’un théorème de M. Oltramare (Dezember 1887), Kapitel 294 in Mélanges mathématiques (Band 3), F. Hayez, Brüssel 1888, S. 240 (französisch)
• E. Catalan: Propositions et questions diverses (18. April 1888), Bulletin de la Société Mathématique de France 16, 1888, S. 128–129 (französisch)
• Leonard Eugene Dickson: Theorems and tables on the sum of the divisors of a number, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 44, 1913, S. 264–296 (englisch; Jahrbuch-Rezension)
• Richard K. Guy: B6. Aliquot sequences und B7. Aliquot cycles. Sociable numbers in Unsolved Problems in Number Theory (3. Auflage), Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7, S. 92–97 (englisch)
• Wolfgang Creyaufmüller: Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich von 1 bis 3000 im Detail, ISBN 3-9801032-2-6

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Aliquot Sequence. In: MathWorld (englisch).
• aliquot sequence – Inhaltskette in The Prime Glossary von Chris K. Caldwell
• Primzahlfamilien - aliquot sequences – Inhaltsketten von Wolfgang Creyaufmüller
• Aliquot Sequences – Inhaltsketten von Paul Zimmermann
• Online Inhaltsketten berechnen