Fünfeck

Ein Fünfeck (griech. pentagon) ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (= Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.

Mathematische Zusammenhänge

Sofern nichts anderes gesagt wird, ist von einem ebenen, regelmäßigen Fünfeck die Rede. Dieses besitzt fünf gleichlange Seiten und fünf gleichgroße Innenwinkel. Die fünf Eckpunkte liegen in einer Ebene.

Formeln für Winkelberechnungen

Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt stets 540° und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall: n = 5):

$\sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }$

Reguläres Fünfeck

Formel für die Fläche A

Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge a ist das Fünffache der Fläche eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.

$A=5\cdot {\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \tan 54^{\circ }\cdot {\frac {a}{2}}={\frac {5}{4}}\cdot a^{2}\cdot \tan 54^{\circ }$

Allgemein mit dem Umkreisradius r_u

$A={\frac {5}{8}}\cdot r_{u}^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$

oder auch:

$A={\frac {5}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin {72^{\circ }}$

Formel für die Seitenlänge a

$a=2\cdot r_{u}\cdot \cos 54^{\circ }$

oder auch:

$a=r_{u}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Geometrie des Fünfecks

Abgestumpfter Dodekaeder)

Verschachteltes Pentagramm

Das regelmäßige Fünfeck besitzt einen Innenwinkel von 108° (siehe Grafik). Eine Ebene lässt sich mit regelmäßigen Fünfecken nicht lückenlos bzw. überlappungsfrei bedecken. Beispielsweise kann man einen Badezimmerboden sechseckig, jedoch nicht fünfeckig verfliesen. Aus 12 regulären Fünfecken kann man jedoch im Raum einen regelmäßigen Dodekaeder (Zwölfflächner) aufspannen.

Die wohl populärste Verwendung von Fünfecken findet man beim Fußball, der in seiner klassischen Form aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken (Abgestumpftes Ikosaeder) genäht wird – eine Struktur, der man in der Chemie beim Kohlenstoffmolekül $C_{60}$ aus der Gruppe der Fullerene wiederbegegnet.

Die Diagonalen des Fünfecks bilden das Pentagramm (fünfzackiger Stern), in dessen Inneren sich wiederum ein – um 180° gedrehtes – regelmäßiges Fünfeck befindet, welches seinerseits ein auf dem Kopf stehendes Pentagramm beinhaltet. Dieses Muster kann in beide Richtungen (nach innen und außen) unendlich lange weitergeführt werden.

Der spitze Winkel im Zacken des Pentagramms misst 36°, also ein Drittel des 108°-Winkels des Fünfecks. Diese 108° finden sich ihrerseits im stumpfen Außenwinkel des Pentagramms wieder, so dass auch hier weitere Fünfecke gebildet werden können, was dann ein sehr komplexes Muster ergibt.

siehe auch: Arabesken

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Pentagramm

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seiner Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d.h. die Strecke AD verhält sich zur Strecke BD wie die Strecke BD zur Strecke CD.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge. Im Folgenden die Erläuterungen zur nebenstehenden Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung):

1. Einen blauen Kreis mit beliebigem Radius r um den Mittelpunkt M zeichnen und die roten Mittelsenkrechten einzeichnen.
2. Ein Schnittpunkt jeder Mittelsenkrechten mit dem Kreis wird mit A bzw. E bezeichnet.
3. Mit dem selben Radius r um A einen weiteren gelben Kreis zeichnen, der den blauen Kreis zweifach schneidet.
4. Die Schnittpunkte der beiden Kreise ergeben die Punkte B und C.
5. Die gelbe Gerade BC einzeichnen, sie schneidet die Strecke AM genau in der Hälfte im Punkt D.
6. Den grünen Kreis mit dem Radius DE um D zeichnen. Er schneidet die rote Gerade AM im Punkt F.
7. Der orange Kreis mit Radius EF um E schneidet den blauen Kreis in G (und im genau gegenüberliegenden Punkt J, der hier nicht eingezeichnet ist).
8. Mit zwei weiteren Kreisen um die Punkte G und J können die nicht eingezeichneten fehlenden Eckpunkte H und I konstruiert werden.

Die Strecke E bis F entspricht exakt der Seitenlänge des zu konstruierenden Fünfecks.

Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat sehr häufig die Form eines Fünfeckes. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, dass sich eine so geformte Festung besonders leicht mit Feuerwaffen verteidigen lässt. Anschauliche Beispiele sind die vollständig erhaltene Festung Bourtange in den Niederlanden und die nur noch teilweise vorhandene Zitadelle der Festung Wesel.
Eine der wichtigen Pentagonalen Festungen in Nordwest Deutschland überhaupt, war die im Prinzip noch erhaltene Festung Orsoy (Ortsteil Stadt Rheinberg) Auch das Pentagon nutzt das Fünfeck als Grundriss und spielt damit auf diesen alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an. (Bei den bis zum 11. September 2001 möglichen Pentagonführungen wurde ein anderer Grund für die Formwahl genannt: Das Pentagon sollte ursprünglich an anderer Stelle errichtet werden, und die Form war durch die fünf um das vorgesehene Grundstück verlaufende Straßen vorgegeben. Allerdings konnte am vorgesehenen Platz nicht gebaut werden, und weil man in Zeitnot war, wurden die Pläne nicht mehr geändert.)

Weblinks

• Eine Möglichkeit, exakte Fünfecke mit SVG zu zeichnen, findet sich in den Wikimedia Commons

Vorlage:Regelmäßige Polygone