Polarkoordinaten

Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.

Ebene Polarkoordinaten: Kreiskoordinaten

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung (einem Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein im Koordinatenursprung beginnender Strahl) angegeben

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man

\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos \varphi \cos \varphi +r\sin \varphi \sin \varphi =r

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergibt sich

${\vec {r}}=r\,\cos \varphi \,{\vec {e}}_{x}+r\,\sin \varphi \,{\vec {e}}_{y}$

als Transformation zu kartesischen Koordinaten.

Polar zu kartesisch lässt sich demnach folgendermaßen umrechnen:

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi

Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}}

Einige Programmier- und Skriptsprachen benutzen eine bivariate "Arkustangens"-Funktion atan2(y,x), die den korrekten Wert für φ für jedes gegebene x und y findet.

Das Linienelement

Aus der obigen Transformationsgleichung

${\vec {r}}=r\,\cos \varphi \,{\vec {e}}_{x}+r\,\sin \varphi \,{\vec {e}}_{y}$

folgen

$dx=dr\,\cos \varphi -r\,d\varphi \,\sin \varphi$

$dy=dr\,\sin \varphi +r\,d\varphi \,\cos \varphi$

Für das kartesische Linienelement gilt

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$

wofür in Polarkoordinaten folgt

$ds^{2}=dr^{2}+d\varphi ^{2}r^{2}$

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Die Geschwindigkeit ${\dot {\vec {r}}}$ ist gegeben durch ${\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }$

Die Beschleunigung ${\ddot {\vec {r}}}$ ist gegeben durch ${\ddot {\vec {r}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{r}+(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\vec {e}}_{\varphi }$

Räumliche Polarkoordinaten: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich

x = r cos φ,

y = r sin φ

z = h

als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. Der Abstand r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung, sondern von der z-Achse.

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\varphi ,h)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\\sin \varphi &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

\mathrm {d} V=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} h

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi

z=h\quad

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y

h=z\quad

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\\sin \varphi &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind, und zwar in der gleichen Art und Weise, nämlich indem man einen Winkel für die dritte Achse spezifiziert. Diese dritte Koordinate beschreibt den Winkel der Geraden zwischen Ursprung und Punkt P und der Ebene x,y. Der Punkt P wird auch als Aufpunkt bezeichnet. Eine Erklärung des Wirkungprinzips folgt bei Christoph & Irina.

Für eine genauere Erklärung, siehe Kugelkoordinaten.