Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Ellipsoid mit (a, b, c) = (4, 2, 1)

Definition

Die Gleichung eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten im Hauptträgheitsachsen-System des Ellipsoids

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$

mit positiven reellen Zahlen a, b und c, den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix $Q=(q_{ij})$:

$E=\left\{x=(x_{1}\ldots x_{n})\in R^{n}:x^{T}Qx=\sum _{1\leq i,j\leq n\ }q_{ij}x_{i}x_{j}=1\right\}.$

Durch Hauptachsentransformation kann man Q auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Für das Volumen V gilt: $V={\frac {4}{3}}\pi \cdot a\cdot b\cdot c$ wobei wie oben a,b,c die Radien in der Breite, Höhe und Tiefe bezeichnen.

Dreidimensionale Ellipsoide erhält man zum Beispiel durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen, wobei man von Rotationsellipsoiden spricht. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Sind alle drei Achsen verschieden, spricht man von triaxialen Ellipsoiden. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

Zur Berechnung der Oberfläche S eines Rotationsellipsoids nehmen wir an, dass a ≥ b ≥ c ist. Weiters seien $k={\frac {c}{a}}$ das Verhältnis der Halbachsen c und a und $\epsilon ={\sqrt {1-k^{2}}}$ die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der xz-Ebene y = 0 ergibt.

Dann ist für

• a = b (Rotationsachse = z-Achse): $S=2\pi a^{2}\left(1+k^{2}{\frac {\operatorname {atanh} {\left(\epsilon \right)}}{\epsilon }}\right)$
• b = c (Rotationsachse = x-Achse): $S=2\pi c^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}{\frac {\arcsin \left(\epsilon \right)}{\epsilon }}\right)$

siehe auch: Rotationsellipsoid, Paraboloid, Homöoid, Fokaloid, Walter Neuhäusser

praktische Bedeutungen

In der Geodäsie hat das Ellipsoid als Referenzfläche für geodatische Berechnungen eine grundlegende Bedeutung. Ein Beispiel dafür sind die verschiedenen Definitionen nach Bessel, Hayford, Krassowski etc. sowie die internationalen Vereinbarungen wie GRS80, das Bestandteil des WGS84 ist, was wiederum das Bezugssystem für GPS darstellt.