Cramersche Regel

Die Cramersche Regel oder Determinantenmethode ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie man die Lösung eines quadratischen linearen Gleichungssystems mittels Determinanten berechnen kann im Fall, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat. Die Regel wurde 1750 von Gabriel Cramer gefunden.

Die Cramersche Regel besagt, dass sich die Werte der Unbekannten des linearen Gleichungssystems $Ax=b$ nach folgender Formel berechnen:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}$

Die Matrix $A_{i}$ entsteht aus der Koeffizientenmatrix $A$ des Gleichungssystems indem man die $i$-te Spalte durch $b$ ersetzt. Wenn eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems existiert, ist $A$ ein reguläre Matrix und die Determinante $\det(A)\neq 0$. Deshalb tritt auch keine Division durch Null auf.

Die Cramersche Regel ist für Gleichungssysteme mit vielen Unbekannten nur von theoretischem Interesse, da dann die erforderliche Berechnung der Determinanten sehr aufwändig ist. Im Fall von zwei oder drei Unbekannten kann sie aber durchaus für die schnelle Lösungsberechnung herangezogen werden. Gut einsetzbar ist die Cramersche Regel bei Systemen mit Parametern (diese machen die Rechnungen fast nicht schwieriger).

Mit Hilfe der Cramerschen Regel lässt sich einfach zeigen, dass die triviale Lösung $x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0$ die Lösung jedes eindeutig lösbaren, homogenen linearen Gleichungssystems ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass $\det(A_{1})=\det(A_{2})=\ldots =\det(A_{n})=0$ und $\det(A)\neq 0$. Daraus folgt unmittelbar $x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0$.

Beispiel

Sei folgendes Gleichungssystem über ${\mathbb {R}}$ gegeben:

1x₁ + 2x₂ = 3

4x₁ + 5x₂ = 6

Dann ist die zugehörige Koeffizientenmatrix

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}$

und es ist

$b={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$

Die Matrizen $A_{1}$ und $A_{2}$ entstehen indem man die 1. bzw. 2. Spalte von $A$ durch $b$ ersetzt:

$A_{1}={\begin{pmatrix}3&2\\6&5\end{pmatrix}}$

$A_{2}={\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}}$

Die einzelnen Determinanten berechnen sich zu

$\det(A)=a_{11}*a_{22}-a_{21}*a_{12}=1*5-4*2=-3$

$\det(A_{1})=b_{1}*a_{22}-b_{2}*a_{12}=3*5-6*2=3$

$\det(A_{2})=a_{11}*b_{2}-a_{21}*b_{1}=1*6-4*3=-6$

Mit der Cramerschen Regel ist die Lösung des Gleichungssystems wie folgt aufgestellt:

$x_{1}={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}={\frac {3}{-3}}=-1$

$x_{2}={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}={\frac {-6}{-3}}=2$

Komplexität

Das Anwenden der Cramerschen Regel für ein lineares Gleichungssystem mit $n$ Unbekannten erfordert die Berechnung von $n+1$ Determinanten. Die Laufzeit und damit die Anzahl arithmetischer Operationen eines Algorithmus, der die Cramersche Regel verwendet hängt damit vom Algorithmus zur Berechnung der Determinanten ab. Sie ist durch O(nn!) beschränkt.

Konkret benötigt man, wenn man die Determinanten durch das Zurückführen auf zweireihige Determinanten berechnet, für ein System mit 3 Unbekannten zur Berechnung aller Unbekannten bis zu 36 Multiplikationen und 20 Additionen oder Subtraktionen, bei einem mit 4 Unbekannten sind es bis zu 200 Multiplikationen und 115 Additionen; hier ist sie keinesfalls mehr sinnvoll.