Fixpunktsatz von Brouwer

Der Fixpunktsatz von Brouwer besagt, dass die Vollkugel $D^{n}$ die Fixpunkteigenschaft hat, also jede stetige Abbildung $f$ der $n$-dimensionalen Vollkugel in die $n$-dimensionale Vollkugel einen Fixpunkt besitzt. In Formeln:

$\forall f\in C(D^{n},D^{n}):\exists x\in D^{n}:f(x)=x$

Der Satz bietet also eine Existenzaussage für reelle, nichtlineare Gleichungssysteme.

Beweisidee

Mittels des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß kann man sich auf $C^{1}$-Funktionen beschränken.

Nun nimmt man an, $f$ habe keinen Fixpunkt, also müsste die glatte Abbildung $F:D^{n}\to S^{n-1}$, die jedem Punkt in der Vollkugel einen Schnittpunkt der Gerade durch $x$ und $f(x)$ mit der Sphäre zuordnet:

$F(x):=x+\left({\sqrt {1-|x|^{2}+\left\langle x,{\frac {x-f(x)}{|x-f(x)|}}\right\rangle ^{2}}}-\left\langle x,{\frac {x-f(x)}{|x-f(x)|}}\right\rangle \right){\frac {x-f(x)}{|x-f(x)|}}$

wohldefiniert sein. $F$ ist eine Retraktion, d.h. $F(x)=x$ für $x\in S^{n-1}.$

Datei:Theorem of brouwer-F.png

Illustration von F in D²

Dies führt man auf einen Widerspruch,ddf gcfb xyindem man zunächst zeigt, dass für $\omega ^{n-1}:=F^{1}\,dF^{2}\wedge \cdots \wedge dF^{n}$ gilt: $d\omega ^{n-1}=0$. Dies sieht man leicht ein, da die Determinante der Jacobi-Matrix von F nach dem Satz von der inversen Funktion 0 sein muss.

Also gilt:

$0=\int _{D^{n}}\mathrm {d} \omega ^{n-1}=\int _{S^{n-1}}\omega ^{n-1}$

nach dem Satz von Stokes. Auf der Sphäre ist $F$ aber die Identität. Damit gilt also (wieder nach dem Satz von Stokes):

$=\int _{S^{n-1}}x_{1}dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}=vol(D^{n})\neq 0$.