Verschiebungssatz (Statistik)

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Der Verschiebungssatz (auch Satz von Steiner genannt) ist eine Rechenregel für die Ermittlung der Summe quadratischer Abweichungen vom arithmetischen Mittel.

Kurzgefasst besagt er, dass für Zahlen und deren arithmetisches Mittel gilt:

.

Der Verschiebungssatz erleichtert beispielsweise die Berechnung der empirischen Varianz, wenn Messwerte fortlaufend anfallen. Es ist dann weder nötig, alle abzuspeichern (Speicher), noch nochmals alle Summanden durchzulaufen (Rechenzeit). Bei Verwendung dieser Formel mit begrenzter Rechengenauigkeit kann es jedoch zu einer numerischen Auslöschung kommen, wenn erheblich größer ist als die Varianz.

Erläuterung am Fall einer endlichen Folge von Zahlen: Das Stichprobenmittel

Der Verschiebungssatz wird zunächst am einfachsten Fall vorgeführt: Es ist eine Folge von reellen Zahlen xi gegeben, beispielsweise eine Stichprobe. Es wird die Summe Q der quadratischen Abweichungen der Einzelwerte xi vom arithmetischen Mittel dieser Werte gebildet:

 

wobei

 

das arithmetische Mittel der Zahlen ist.

Der Verschiebungssatz ergibt sich aus[1]

 
 .

Beispiel

Im Rahmen der Qualitätssicherung werden fortlaufend Kaffeepäckchen gewogen. Für die ersten vier Päckchen erhielt man die Werte (in g) xi

 

Das durchschnittliche Gewicht beträgt

 

Es ist

 

Für die Anwendung des Verschiebungssatzes berechnet man

 

und

 
 

Man kann damit beispielsweise die empirische Varianz bestimmen:

 

im Beispiel

 

Kommt nun ein weiteres Päckchen in die Stichprobe, so reicht es zur Neuberechnung der Stichprobenvarianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes, lediglich die Werte für   und   neu zu berechnen. Beim fünften Päckchen werde das Gewicht 510 g gemessen. Dann gilt:

 
  sowie
 

Die Stichprobenvarianz der neuen, größeren Stichprobe ist dann

 

Anwendungen

Zufallsvariable

Varianz

Die Varianz einer Zufallsvariablen

 

lässt sich mit dem Verschiebungssatz auch angeben als [2]

 

Dieses Resultat wird auch als Satz von König-Huygens bezeichnet. Es ergibt sich aus der Linearität des Erwartungswertes:

 
  • Man erhält bei einer diskreten Zufallsvariablen   mit den Ausprägungen   und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit   dann für
 
Mit der speziellen Wahl   ergibt sich   und die obige Formel
 
  • Für eine stetige Zufallsvariable   und der dazugehörigen Dichtefunktion   ist
 
Man erhält hier mit dem Verschiebungssatz
 

Kovarianz

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen   und  

 

lässt sich mit dem Verschiebungssatz als

 

angeben.

Für diskrete Zufallsvariablen erhält man für

 

entsprechend zu oben

 

mit   als gemeinsamer Wahrscheinlichkeit, dass   und   ist.

Bei stetigen Zufallsvariablen ergibt sich mit   als gemeinsamer Dichtefunktion von   und   an der Stelle   und   für die Kovarianz

 

entsprechend zu oben

 

Stichprobenkovarianz

Für die Stichproben-Kovarianz zweier Merkmale x und y benötigt man

 

Hier ergibt der Verschiebungssatz

 

Die korrigierte Stichprobenkovarianz berechnet sich dann als

 

Einzelnachweise

  1. Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Christian Dreger: Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele, S.86
  2. Ansgar Steland: Basiswissen Statistik, S.116