Diskussion:Untermannigfaltigkeit

Der beschriebene Begriff ist "eingebettete Untermannigfaltigkeit" (oder immersiert? ich bin mir da immer unsicher). "Untermannigfaltigkeit" ist allgemeiner, also zB auch das Bild von

$\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,t{\sqrt {2}})$

unter der Projektion

$\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}/\mathbf {Z} ^{2}$

als Untermannigfaltigkeit des Torus.--Gunther 12:22, 13. Mär 2005 (CET)

Die im Artikel angegebene Definition stimmt mit der in den zwei Literaturquellen überein. Aus meiner Sicht wäre die einzige mögliche Verallgemeinerung, unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten zuzulassen (siehe [Abraham,Marsden,Ratiu]). Aber davon würde ich in diesem Wiki absehen. --Benutzer:TN

Referenz: S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, American Mathematical Society 1962 ISBN 0821827359

Darin steht auf S. 23: „M is called a submanifold of N if (1) $M\subseteq N$ (set-theoretically); (2) the identity mapping I of M into N is regular at each point of M.“

--Gunther 11:18, 3. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, vielen Dank für den Literaturhinweis. Das Buch steht bei uns in der Bibliothek. Voraussichtlich am Samstag kann ich mir diese Version einmal anschauen. --TN 21:25, 4. Mai 2006 (CEST)

Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$

Die Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$ ist kritisch. Zum Beispiel ist

$\mathbb {R} ^{n}\times \{0\}$ mit $0\in \mathbb {R} ^{m-n}$

nicht das selbe wie

$\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}\mid x_{n+1}=\ldots =x_{m}=0\right\}$.

Das erste ist eine Paarmenge und das zweite ein Unterraum des $\mathbb {R} ^{m}$. Falls, wie üblich, diese Mengen miteinander identifiziert werden sollen, so muss ein Hinweis darauf in den Artikel.

Eine Alternative wäre, zu sagen, dass die Kartenabbildungen $\phi$ in einen Banachraum $B$ abbilden und mit einem Unterraum $B'$ von $B$ für jeden Punkt $x\in N$ eine Karte $(\phi ,U)$ mit $x\in U$ existieren muss, die der Bedingung $\phi (U\cap N)=B'\cap \phi (U)$ genügt.

Das würde dann sogar den Fall unendlichdimensionaler Untermannigfaltigkeiten mit abdecken.--TN 15:43, 30. Apr 2006 (CEST)

Der erste Punkt ist i.w. die Identifizierung $X^{m}\times X^{n}=X^{m+n}$; aber man kann das natürlich erwähnen.

Einen beliebigen Unterraum zu verwenden ist mir nicht so richtig sympathisch. Koordinaten dienen ja gerade dazu, um in eine Standardsituation zu gelangen, und dann frage ich mich: Wenn schon beliebige Unterräume, warum dann nicht gleich lokale Untermannigfaltigkeiten (definiert als Niveaufläche einer lokalen Submersion $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m-n}$). Die Wahl dieses Unterraums bringt auch eine Struktur hinein, die (zumindest im endlichdimensionalen Fall) irrelevant ist. Man kann einer Untermannigfaltigkeit nicht ansehen, auf welchem $n$-dimensionalen Unterraum des $\mathbb {R} ^{m}$ sie modelliert ist.--Gunther 11:34, 3. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, vielen Dank für deinen Kommentar. Ich bin mir allerdings immer noch nicht sicher, welche Variante die bessere ist. Aus meiner Sicht zählt der Fakt, dass man auch ohne Identifikations-Trick hinkommt, relativ schwer. Man kann ja im Nachhinein sagen, dass die Wahl von $B'$ im Rahmen der Banachraum-Isomorphie willkürlich ist und dass man bei der Rechnung im $R^{n}$ für eine $m$-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit gerne $B'=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{m+1}=\ldots =x_{n}=0\}$ wählt.

Aber das ist wahrscheinlich Geschmackssache. Ein schwerwiegenderer Fakt ist, dass hier in der Wikipedia im Rahmen der Variationsprinzipien der klassischen Mechanik schon mit unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten gearbeitet wird (nämlich $C^{2}(I,N)$, wenn $I$ das Beobachtungszeitintervall und $N$ eine unendlichdimensionale Zwangsmannigfaltigkeit ist). Ein Beispiel für $N$ ist ein Balken, bei dem man die zunächst freie Bewegung des Balkenkontinuums so einschränkt, dass die Balkenquerschnitte starr bleiben. Bei der numerischen Simulation beschränkt man sich dann weiter, so dass man nur noch Balkenbewegungen zulässt, die sich mit gewissen gewichteten Formfunktionen darstellen lassen, dadurch entsteht dann eine endlichdimensionale Zwangsmannigfaltigkeit $N'$. Die zugehörige Untermannigfaltigkeit $C^{2}(I,N')$ von $C^{2}(I,N)$ ist jedoch immer noch unendlichdimensional. Zur Ermittlung der Lösung wird dann auf das reduzierte Problem ein Variationsprinzip angewandt und erst danach wird zeitlich diskretisiert.