Quantenlogik

Die Quantenlogik (engl.: quantum logic) ist der Versuch, die Quantenmechanik in einer logischen Sprache zu formulieren. Die mathematischen Strukturen der Quantenphysik beinhalten schwer verständliche, paradox wirkende Fragestellungen und fordern zu Gedankenspielen wie etwa Schrödingers Katze heraus. Im Kontext der mathematischen Strukturen der Schrödingergleichung und der Heisenbergsche Unschärferelation wurde deshalb eine Logik gesucht, die Deutungen der Quantenmechanik wie dem Komplementaritätsprinzip nachempfunden ist. Dazu musste die herkömmliche Logik modifiziert werden. Es gibt im Wesentlichen drei verschiedene Ansätze zur Quantenlogik:

• Johann von Neumann und Garrett Birkhoff entdeckten als erste in den mathematischen Strukturen der Quantenphysik (Hilbertraum, Hamiltonoperator) eine der Boolschen Algebra ähnliche so genannte orthomodulare Logik.
• Hans Reichenbach und andere entwickelten aus einer Wahrscheinlichkeitslogik eine dreiwertige Quantenlogik mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbestimmt.
• Carl Friedrich von Weizsäcker und Peter Mittelstaedt entwickelten die Dialogische Logik zu einer zeitlichen Logik der Quantenprozesse um.

Schrödingers Katze ist sowohl lebendig als auch tot. Das gilt in der herkömmlichen Logik als unlogisch.

Einführung

Die Quantentheorie hatte im 20. Jahrhundert eine bewegte Geschichte. Zusammen mit der Relativitätstheorie wirkte sie zu Beginn des Jahrhunderts wie eine Revolution der Physik. Im Jahre 1926 erschienen sechs Arbeiten von Erwin Schrödinger, die schließlich zu einer komplexen Differentialgleichung führten, die man Schrödingergleichung nennt. 1927 wurde die Heisenbergsche Unschärferelation formuliert. Die Lösungen dieser dieser beiden Gleichungen der Quantenmechanik führten zu Gedankenmodellen, die eine Herausforderung an das Verständnis der Mikrowelt der Elementarteilchen darstellten.

1936 fragten sich Johann von Neumann und Garrett Birkhoff ob die Bestandteile dieser Gleichungen (besonders die Hilbertraum-Unterräume, die den Zuständen eines quantenphysikalischen Systems entsprechen) als Aussagen über das System verstanden werden können. Den Projektonsoperatoren im Hilbertraum entsprechen die elementaren Aussagen der Logik und den Eigenwerten 1 und 0 entsprechen die Wahrheitswerte dieser Logik. Damit war die Quantenlogik geboren. Sie wich allerdings in einigen Punkten von der herkömmlichen Logik ab. Das algebraisch formulierte Logiksystem der Booleschen Algebra musste zu einem nicht-distributiven Verband modifiziert werden.

Die Quantenmechanik erlaubt inkompatible Experimente. Die Unschärferelation besagt beispielsweise, dass zwei komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Wenn man aus der Quantenmechanik eine Logik entwickeln will, wird deshalb das Distributivgesetz der Verknüpfung von und und oder verletzt. Sei p die Aussage: "Das Elektron ist schnell" (Der Impuls sei in einem bestimmten Intervall); q sei die Aussage: "Das Elektron ist in einem linken Intervall" und r sei die Aussage: "Das Elektron ist rechts". Dann gilt grob und verkürzt gesagt nicht mehr unbedingt: (p und q) oder (p und r). Deshalb wurde dieses Distributivgesetz zwischen den Junktoren verworfen und durch das nicht so weitreichende Gesetz der Orthomodularität ersetzt.

Das System der Orthomodularität

Den algebraischen Beziehungen der Unterräume entsprechend gibt es Beziehungen zwischen den Aussagen, die einen Kalkül bilden, in dem – entgegen der klassischen Aussagenlogik – das Distributivgesetz durch die so genannte Orthomodularität ersetzt wird und das Tertium non datur nur noch eingeschränkt gilt.

Die Quantenlogik lässt sich analog zum orthomodularen Verband formalisieren, hier werden neun axiomatische Schlüsse nach dem System des natürlichen Schließens wiedergegeben, hinzu kommt die Orthomodulalität:

1. ${\frac {A}{A}}$ (Schluss von A auf A: Implikativer Satz der Identität)
2. ${\frac {A\wedge B}{A}}$ ($\wedge$-Beseitigung 1)
3. ${\frac {A\wedge B}{B}}$ ($\wedge$-Beseitigung 2)
4. ${\frac {\lnot \lnot A}{A}}$ (Duplex negatio affirmat)
5. ${\frac {A}{\lnot \lnot A}}$ (Doppelte Negation Einführung)
6. ${\frac {A\wedge \lnot A}{B}}$ (Ex contradictione sequitur quodlibet)
7. ${\frac {A\rightarrow B,B\rightarrow C}{A\rightarrow C}}$ (Kettenschluss)
8. ${\frac {A\rightarrow B,A\rightarrow C}{A\rightarrow B\wedge C}}$ ($\wedge$-Einführung mit Prämissen A)
9. ${\frac {A\rightarrow B}{\lnot B\rightarrow \lnot A}}$ (Kontraposition)
10. ${\frac {A\wedge (\lnot A\vee (A\wedge B))}{B}}$ Orthomodularität

Der 10. axiomatische Schluss ist hier nach André Fuhrmann wie die anderen neun Schlüsse der herkömmlichen Logik in junktorenlogischer Schreibweise notiert. Sie ist der für diese Logik namensgebende Schluss und wird meist in Verband-Schreibweise notiert, weil sie keiner in der ersten Stufe der Prädikatenlogik formulierbaren Rahmen-Bedingung entspricht. Als Axiom im Verband lautet die Orthomodularität so: Wenn $1=(a^{\perp }\cup b^{\perp })^{\perp }\cup (a\cup b)^{\perp }$ dann $a=b$

Diese quantenlogischen Forschungen wurden 1963–1968 vornehmlich in der Schweiz durch Josef-Maria Jauch und Constantin Piron fortgesetzt, dann seit etwa 1970 vor allem in Köln (Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow), Florenz (Maria Luisa Dalla Chiara) und Toronto (Bas C. van Fraassen), Genua (Enrico Beltrametti) und Amherst (Charles H. Randall, David J. Foulis). 1976 fand ein erstes internationales Treffen von Quantenlogikern in Bad Homburg statt; es folgten Kolloquien in Erice/Sizilien 1979 und in Köln 1984, bei denen die große Bandbreite der philosophischen, logischen, linguistischen, algebraischen, geometrischen und wahrscheinlichkeitstheoretischen Forschungen zum Thema Quantenlogik sichtbar wurden, die heute in verschiedenen Sektionen der IQSA vertreten sind.

Dreiwertige Logik

Die Statue Quantum Man (2006) von Julian Voss-Andreae zeigt die in der Quantenlogik versuchte verschiedene Ansicht von ein und demselben Realen.

Da in der Quantenmechanik die klassisch vorausgesetzte Kommensurabilitätsbedingung nicht erfüllt zu sein braucht, haben einige Wissenschaftler wie z.B. Paulette Destouches-Février, Hans Reichenbach und Bas van Fraassen versucht, eine dreiwertige Logik als Quantenlogik einzuführen. Damit wird das Prinzip der Zweiwertigkeit allerdings verlassen.

Wenn man verneint, dass eine physikalische Größe m den Wert r hat, so kann dies im Sinne einer von van Fraassen entwickelten Ausschlußnegation nicht nur bedeuten, dass m einen Wert $\neg$r ungleich r hat, sondern auch, dass sich das System in keinem Zustand befindet, zu dem ein Wert von m gehört.

Nachdem Ulrich Blau eine 3-wertige Logik der natürlichen Sprache zur Diskussion gestellt hat, wurde eine gewisse Parallele zur Dreiwertigkeit bei Reichenbach gezogen, weil bereits alltägliche Beispiele für den Fall unerfüllter Präsuppositionen eine solche Bewertung nahelegen.

Für die Junktoren und $(\land )$, oder $(\lor )$ und nicht $(\neg )$ (sofern nicht das „schwache nicht“ verwendet wird) gelten folgende Wahrheitstafeln mit falsch (f), unbestimmt (u) und wahr (w):

a und b b a f u w f f f f u f u u w f u w

a oder b b a f u w f f u w u u u w w w w w

nicht a a $\neg$ a f w u u w f

Die Subjunktion wird nicht einheitlich gestaltet. Hier sind die Versionen von Jan Łukasiewicz (Ł) und Ulrich Blau (B) wiedergegeben:

wenn a dann b in Ł b a f u w f w w w u u w w w f u w

wenn a dann b in B b a f u w f w w w u w w w w f u w

Dialogische Logik zeitlicher Aussagen

Carl Friedrich von Weizsäcker (links) und Peter Mittelstaedt während des Internationalen Symposiums für Quantenlogik, Köln 1984

1955 regte Carl Friedrich von Weizsäcker in Göttingen an, den von Birkhoff und v. Neumann aufgestellten Aussagenkalkül aus grundsätzlichen erkenntnistheoretischen Überlegungen zur Quantenmechanik abzuleiten. Dies wurde in den Jahren 1958–1963 erstmals durch den bei Werner Heisenberg in Göttingen promovierten Peter Mittelstaedt so weit ausgeführt, wie es mit den seinerzeit zur Verfügung stehenden mathematischen Mitteln möglich war. Die Ausarbeitung einer Logik zeitlicher Aussagen Weizsäckers, das auch im Spätwerk Rudolf Carnaps anklang, wurde 1959 durch Mittelstaedt begonnen, der unter dem Einfluss der Erlanger Konstruktivismus (Paul Lorenzen) Dialoge zur semantischen Begründung zusammengesetzter Aussagen über physikalische Größen (Observable) verwendete, deren Regeln auch die Prüfung der Kommensurabilität dieser Größen vorsieht. Aus dieser dialogischen Logik wurde eine zeitliche Quantenlogik erforscht.

In der dialogische Logik Lorenzens wird die Wahrheit eines Satzes durch einen Dialog von Proponent (P) und Opponent (O) bestimmt. Bei dem Junktor Subjunktion ($\rightarrow$ wenn-dann) gibt es zwei Dialoge. Einen um den Wenn-Satz und anschließend einen um den Dann-Satz, in dem der Proponent auf voriges Behaupten und Zeigen des Opponenten zurückgreifen darf:

$O$	$P$	Kommentar
	$A\rightarrow A$	Zusammengesetzte Gesamtaussage: Wenn A dann A.
$A?$		Der Wennsatz wird behauptet und dadurch die Gesamtaussage angegriffen.
	$A$	Als Verteidigung wird der Dannsatz behauptet.

An dieser Stelle setzt Carl Friedrich von Weizsäcker an. Man kann nämlich die dialogische Logik so gestalten, dass eine zu Beginn gemachte Aussage nach einer gewissen Zeit nicht mehr zur Verfügung steht. Der Opponent muss beim Dann-Satz aufpassen, ob die Aussage vom Wenn-Satz nach einer Weile noch zur Verfügung steht, um sich darauf berufen zu können.

Sei nun m die Einsetzung in die Aussage A: "Der Mond ist zu sehen".

„Der Opponent setzt m für A ein. Zum Beweis aufgefordert, sagt er: "Hier sieh den Mond, gerade über dem Horizont!". Der Proponent erkennt den Beweis an. Nunmehr selbst zum Beweis aufgefordert, sagt er: "Hier sieh den Mond, gerade über dem Horizont!" Der Opponent muss den Beweis und damit seine Niederlage anerkennen. - Aber der Proponent muss in diesem Beispiel darauf achten, dass er schnell genug reagiert. Sonst könnte der Opponent, der ihm gerade noch den Mond gezeigt hatte, die Anerkennung des zweiten Beweises verweigern: der Mond ist inzwischen untergegangen.“

– Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur 1981², S. 245.

Peter Mittelstaedt hat gezeigt, dass in der Quantenlogik aus diesen Gründen das Gesetz $A\rightarrow (B\rightarrow A)$ nicht gilt. Er versetzt dieses Gesetz in den Zusammenhang der Unschärferelation: Man setze für A die Aussage "dieses Elektron hat den Impuls p" und für B "dieses Elektron hat den Ort q" ein. Der Opponent misst nun den Impuls des Elektrons und findet p, dann misst er den Ort und findet q. Jetzt wiederholt der Proponent die Impulsmessung, aber leider findet er den Wert p nicht wieder.

Die Logik bekommt also eine zeitliche Dimension dadurch, dass vorherige Aussagen später nicht mehr zur Verfügung stehen und wird dadurch der Unschärferelation gerecht.

Status der Logik

Die Forschungen zur Quantenlogik brachten Fragen zum Status der Logik überhaupt auf, denn die Abweichungen von der klassischen Logik entzünden immer wieder die Frage nach der Absolutheit der Logik. Irritierende Fragen tauchten auf:

• Gibt es mehrere Logiken, so wie es mehrere Geometrien gibt?
• Ist die Logik selbst ein empirischer Forschungsgegenstand und nicht mehr als der Wissenschaft vorgelagert anzusehen?
• Hat sie denselben Status wie die Geometrie?

Andreas Kamlah fragt kritisch, ob die dialogische Quantenlogik eine analytische Theorie sei, Hilary Putnam fragte, ob die Logik empirisch ist.

Weiterentwicklungen und Resonanz

Es gibt Erweiterungen zu einer Relativistischen Quantenlogik und eine Modale Quantenlogik

Erhard Scheibe behauptet, dass ein Aufbau der Quantentheorie unter Beibehaltung der klassischen Logik möglich ist, wenn man für das kontingente Verhalten eines Systems eine epistemische Formulierung wählt, die sich unmittelbar auf unsere experimentelle Feststellungen bezieht und nicht auf Behauptungen über das Vorliegen von Eigenschaften.

Nach 2000 wurden zunehmend die Verdienste der Quantenlogik als wertvoller Beitrag zur Sprachforschung anerkannt, so unter anderen von Brigitte Falkenburg.

Literatur

• Garrett Birkhoff, Johann von Neumann: The logic of quantum mechanics. In: Ann. of Math. 37 (1936). S. 823.
• Ulrich Blau: Die Logik der Unbestimmtheiten und Paradoxien, Heidelberg 2008, S. 191–290.
• Carl Friedrich von Weizsäcker: Die Einheit der Natur. Studien, Hanser, München 1971
• Carl Friedrich von Weizsäcker: Komplementarität und Logik, Die Naturwissenschaften 42 (1955), S. 521-529 u. 545-555.
• Enrico Beltrametti, Bas van Fraassen (Hg.): Current Issues in Quantum Logic (Ettore Majorana International Science Series Vol. 8), New York/London 1981, ISBN 0-306-40652-7.
• Peter Mittelstaedt, Ernst-Walther Stachow (Hg.): Recent Developments in Quantum Logic (Grundlagen der exakten Naturwissenschaften Bd. 6), Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01695-7.
• Peter Mittelstaedt: Quantum Logic (Synthese Library Vol. 126). Doordrecht 1978, ISBN 90-277-0925-4.
• Ewald Richter: Quantenlogik. In: Joachim Ritter et al. (Hg.): Historisches Wörterbuch der Philosophie, Band 7, Basel 1989, ISBN 978-3-7965-0698-7, S. 1782–1785.
• André Fuhrmann: Quantenlogik. In: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 6, Metzler 2016, ISBN 978-3-476-02105-2, S. 532–533

Weblinks

• D. J. Foulis: A Half Century of Quantum Logic — What Have we Learned?, University of Massachusetts, Amhest 1995.
• Maria Luisa Dalla Chiara, Roberto Giuntini: Quantum Logics., Florenz 2008.
• A. Wilce: Quantum Logic and Probability Theory. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy., Stanford 2002/2012.