Sehnenviereck

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf ein- und demselben Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck, dieses ist notwendigerweise konvex. Kurzform: ein Viereck mit einem Umkreis

Ein Sehnenviereck ABCD mit Umkreis k

Sätze über Sehnenvierecke (Auswahl)

Das Sehnenviereck wird mit ABCD bezeichnet.

1. Die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte sind gleich groß. Das heißt, wenn $P$ der Schnittpunkt von ${\overline {AC}}$ und ${\overline {BD}}$ (Diagonalenschnittpunkt) ist, so gilt ${\overline {AP}}\cdot {\overline {CP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}$.

Die folgenden Sätze gelten nur für nicht überschlagene Sehnenvierecke ABCD:

1. Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°, also $\alpha +\gamma =\beta +\delta =180$° (Nachweis weiter unten).
2. Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$.

Formeln zum Sehnenviereck
Flächeninhalt	$A\,=\,{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$
Flächeninhalt	$A\,=\,{\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}$
Seitenlängen	$a,\,b,\,c,\,d$
Halber Umfang	$s\,=\,{\frac {a+b+c+d}{2}}$
Diagonalenlängen	$e={\overline {AC}}={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\,,\,f={\overline {BD}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}$
Umkreisradius	$R={\frac {1}{4A}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}},$

Die zuerst genannte Flächenformel ist verwandt mit der heronischen Flächenformel für Dreiecke und wird als Formel von Brahmagupta bezeichnet.

Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel 180°.

$\,\alpha +\gamma =180^{0}$

$\,\beta +\delta =180^{0}$

Beweis siehe Weblinks unten.

Verwandte Vierecke

Ein Sehnenviereck, das gleichzeitig Trapez ist, heißt gleichschenkliges Trapez. Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez und damit ein Sehnenviereck.

Ein Viereck, das einen Inkreis hat, heißt Tangentenviereck.

Weblinks

Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Beweis zur Größe des gegenüberliegenden Winkels im Sehnenviereck – Lern- und Lehrmaterialien