Reine Untergruppe

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Vorausgesetzte Begriffe:

abelsche Gruppe Gruppenhomomorphismus Untergruppe Faktorgruppe

Reine Untergruppen

Reine Untergruppen spielen in der Theorie der abelschen (kommuativen ) Gruppen eine wichtige Rolle. Ist $A$ eine abelsche Gruppe und $U\hookrightarrow A$ eine Untergruppe, so kann man eine Gleichung der Form $u=n\cdot x$, die in $A$ lösbar ist, normalerweise nicht in $U$ lösen. Das heißt gibt es ein $a\in A$ mit $u=n\cdot a$, so braucht es kein $v\in U$ zu geben, das ich für $x$ einsetzen kann. So ist die Gleichung $1=2\cdot x$ in $\mathbb {Q}$ lösbar, aber nicht in der Menge der ganzen Zahlen. Bei reinen Untergruppen ist dies stets möglich.

Definition

Es sei $U$ eine Untergruppe der abelschen Gruppe $A$. Sind $u\in U$ und $n\in \mathbb {N}$ so heißt eine Gleichung

$u=n\cdot x$

lösbar in $A$, wenn es ein $a\in A$ gibt, so dass $u=n\cdot a$ gilt. Sie heißt lösbar in $U$, wenn es ein $v\in U$ gibt mit $u=n\cdot v$. Ist zum Beispiel $U=\mathbb {Z}$ und $A=\mathbb {Q}$, so ist die Gleichung $1=2\cdot x$ in $\mathbb {Q}$ lösbar aber nicht in $\mathbb {Z}$.

Eine Untergruppe $U$ der abelschen Gruppe $A$ heißt rein, wenn jede in $A$ lösbare Gleichung $u=n\cdot x$ mit $n\in \mathbb {N} ,u\in U$ auch in $U$ lösbar ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N}$ gilt: $U\cdot n=U\cap A\cdot n$.

Einfache Beispiele

1. $\mathbb {Z}$ ist in $\mathbb {Q}$ nicht rein. Denn die Gleichung $1=2\cdot x$ ist in $\mathbb {Q}$ lösbar aber nicht in $\mathbb {Z}$.
2. $0$ ist in jeder Gruppe rein.

Einfache Tatsachen

• Es seien $C\hookrightarrow B\hookrightarrow A$ Untergruppen. Dann gilt:
  • Ist $C$ rein in $B$ und $B$ rein in $A$, so ist $C$ rein in $A$.
  • Ist $C$ rein in $B$ und $B$ rein in $A$, so ist $C$ rein in $A$.
  • Ist $B$ rein in $A$ so ist $B/C$ rein in $A/C$.
  • Ist $(A_{n}|n\in \mathbb {N} )$ eine aufsteigende Kette reiner Untergruppen von $A$ , so ist $\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ eine reine Untergruppe von $A$.

Einzelnachweise

Kategorie:Mathematik Kategorie:Algebra