Denavit-Hartenberg-Transformation

Die Denavit-Hartenberg-Transformation (DH-Transformation) aus dem Jahr 1955 ist ein mathematisches Verfahren, das auf der Basis von homogenen Matrizen und der sogenannten Denavit-Hartenberg-Konvention (DH-Konvention) die Überführung von Ortskoordinatensystemen (OKS) innerhalb von kinematischen Ketten beschreibt. Sie erleichtert so vor allem die Berechnung der direkten Kinematik (Vorwärtskinematik) und gilt hierbei mittlerweile als das Standardverfahren, insbesondere im Bereich Robotik.

Beispiel einer kinematischen Kette anhand eines Roboters; mit Koordinatensystemen und DH-Parametern

DH-Konvention

Folgende Voraussetzungen sind notwendig:

1. die $z_{n-1}$-Achse liegt entlang der Bewegungsachse des n-ten Gelenks
2. die $x_{n}$-Achse ist das Kreuzprodukt von $z_{n-1}$-Achse und $z_{n}$-Achse (= $z_{n-1}$ x $z_{n}$).
3. das Koordinatensystem wird durch die $y_{n}$-Achse so ergänzt, dass es ein rechtshändiges System ergibt.

Für das erste Gelenk wird die $x$-Achse vom zweiten Gelenk übernommen.

DH-Transformation

Die eigentliche DH-Transformation vom Objektkoordinatensystem (OKS) $T_{n-1}$ in das OKS $T_{n}$ besteht in der Hintereinanderausführung folgender Einzeltransformationen:

• einer Rotation $\theta _{n}$ (Gelenkwinkel) um die $z_{n-1}$-Achse, damit die $x_{n-1}$-Achse parallel zu der $x_{n}$-Achse liegt

Schritt 1 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter

$\operatorname {Rot} (z_{n-1},\theta _{n})={\begin{pmatrix}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

• einer Translation $d_{n}$ (Gelenkabstand) entlang der $z_{n-1}$- Achse bis zu dem Punkt, wo sich $z_{n-1}$ und $x_{n}$ schneiden

Schritt 2 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter

$\operatorname {Trans} (z_{n-1},d_{n})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

• einer Translation $a_{n}$ (Armelementlänge) entlang der $x_{n}$-Achse, um die Ursprünge der Koordinatensysteme in Deckung zu bringen

Schritt 3 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter

$\operatorname {Trans} (x_{n},a_{n})={\begin{pmatrix}1&0&0&a_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

• einer Rotation $\alpha _{n}$ (Verwindung) um die $x_{n}$-Achse, um die $z_{n-1}$-Achse in die $z_{n}$-Achse zu überführen

Schritt 4 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter

$\operatorname {Rot} (x_{n},\alpha _{n})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

In Matrixschreibweise lautet die Gesamttransformation dann (von links nach rechts zu interpretieren):

Koordinatensysteme und die zugehörigen Denavit-Hartenberg parameter

${\begin{aligned}{}^{n-1}T_{n}=&\operatorname {Rot} (z_{n-1},\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} (z_{n-1},d_{n})\cdot \operatorname {Trans} (x_{n},a_{n})\cdot \operatorname {Rot} (x_{n},\alpha _{n})\\&\\=&{\begin{pmatrix}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&a_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&a_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}$

Die Inverse dieser Matrix

${\begin{aligned}{}^{n-1}T_{n}^{-1}=&\operatorname {Rot} (x_{n},-\alpha _{n})\cdot \operatorname {Trans} (x_{n},-a_{n})\cdot \operatorname {Trans} (z_{n-1},-d_{n})\cdot \operatorname {Rot} (z_{n-1},-\theta _{n})\\&\\=&{\begin{pmatrix}\cos -\theta _{n}&-\sin -\theta _{n}&0&-a_{n}\\\sin -\theta _{n}\cos -\alpha _{n}&\cos -\theta _{n}\cos -\alpha _{n}&-\sin -\alpha _{n}&-\sin(-\alpha _{n})(-d_{n})\\\sin -\alpha _{n}\sin -\theta _{n}&\sin -\alpha _{n}\cos -\theta _{n}&\cos -\alpha _{n}&\cos(-\alpha _{n})(-d_{n})\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\\&\\=&{\begin{pmatrix}\cos \theta _{n}&\sin \theta _{n}&0&-a_{n}\\-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \alpha _{n}&-d_{n}\sin \alpha _{n}\\\sin \alpha _{n}\sin \theta _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&-d_{n}\cos \alpha _{n}\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

beschreibt die Transformation eines Punktes vom OKS $T_{n}$ ins OKS $T_{n-1}$. Entsprechend kann die ursprüngliche Matrix ${}^{n-1}T_{n}$ auch als Transformation eines Punktes vom OKS $T_{n-1}$ ins OKS $T_{n}$ interpretiert werden, wenn der Ortsvektor des Punktes von rechts an die Matrix multipliziert wird. Es ist zu beachten, dass die Matrizen-Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ und somit die Berechnungsfolge der Gesamttransformation nicht vertauschbar ist.

Die Parameter $\theta _{n},d_{n},a_{n}$ und $\alpha _{n}$ werden dabei auch Denavit-Hartenberg-Parameter genannt.

Bei offenen kinematischen Ketten sind $\theta _{n}$ und $d_{n}$ variable Größen während der Bewegung des Roboters, abhängig von dessen spezieller Geometrie und Maßen. Bei einem rotatorischen Gelenk ist $\theta _{n}$ variant und $d_{n}$ konstant, bei einem Schubgelenk umgekehrt. $\alpha _{n}$ und $a_{n}$ dagegen sind sowohl bei Rotations-, als auch bei Schubgelenken invariante Größen und müssen für die spätere Berechnung der direkten Kinematik nur einmal für jedes einzelne Armelement bestimmt werden.

Literatur

• Hans-Jürgen Siegert, Siegfried Bocionek: Robotik, Programmierung intelligenter Roboter. Springer Verlag 1996, ISBN 3-540-60665-3.
• Wolfgang Weber: Industrieroboter, Methoden der Steuerung und Regelung. Carl Hanser Verlag, München Wien, 2009, ISBN 978-3-446-41031-2.
• Jorge Angeles: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. Springer Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94540-7.
• Friedrich Pfeiffer, Eduard Reithmeier: Roboterdynamik. Teubner Verlag, Stuttgart, 1987, ISBN 3-519-02077-7.
• Miomir Vukobratvic: Introduction to Robotics. Springer Verlag, Berlin, 1989, ISBN 0-387-17452-4.
• John J. Craig: Introduction to Robotics, Mechanics and Control. Pearson Prentice Hall, NJ 07458, 2005, ISBN 0-201-54361-3.

Weblinks

Commons: Denavit-Hartenberg-Transformation – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eine Visualisierung zur Ermittlung der Denavit-Hartenberg-Parameter in englischer Sprache verfügbar unter:
  • Denavit-Hartenberg Reference Frame Layout auf YouTube
  • 1280x720 MPEG-4(MP4; 49,8 MB),
  • 640x360 MPEG-4 (MP4; 19,2 MB)
• 3D Visualisierung zur Ermittlung der Denavit-Hartenberg-Parameter (Deutsch): Denavit-Hartenberg Parameter 3D Video Tutorial für einen KUKA Industrieroboter auf YouTube
• Denavit-Hartenberg Parameters (englisch)