Axiom (gr. axioma, Geltung, Forderung) nennt man eine Aussage, die einer deduktiven Theorie als Grundlage dienen soll (vgl. auch Prinzip) und die deshalb nicht selber durch diese Theorie begründet werden kann. Wenn eine Theorie aus begründeten Sätzen bestehen soll, so muss es notwendig solche Axiomata geben, denn sonst würde die Argumentation nie enden: Jeder Satz, den ich zur Begründung anführte, bedürfte wieder einer Begründung usw.
- Ausnahme: sog. Logizismus, vertreten von Gottlob Frege, der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte (aber dann stellt sich (nicht für ihn, aber für uns) die Frage nach der Begründung der Logik).
Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Gültigkeit haben soll, so müssen ihre Axiomata wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie). Sie müssen »selbstverständlich« und »offenbar« sein.
Beispiele:
- »Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt« Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen; schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nicht-euklidische Geometrien konzipiert, die zumindest bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.
- »Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen.« Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großem Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.
- »Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1« ist ein offenbar nicht umstrittenes Axiom(enschema) der Arithmetik. Es ist plausibel, weil es die Zählbewegung simuliert (man kann es mit Streichölzern schreiben), deren protomathematische Evidenz klar ist.
Axiomatische Theorien
[ . . .]