Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion denjenigen Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.

Limes einer reellen Funktion

Das Symbol $\lim _{x\to a}f(x)$ bezeichnet den Limes der reellen Funktion $f$ für den Grenzübergang der Variablen $x$ gegen $a$. Dabei kann $a$ sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der Werte $+\infty$ und $-\infty$; in jedem Fall muss $a$ jedoch im Abschluss des Definitionsbereiches von $f$ liegen. Auch für den Grenzwert selbst kommen neben reellen Zahlen auch $+\infty$ und $-\infty$ in Frage. Dementsprechend gibt es mehrere Definitionsvarianten des Limesbegriffs:

• Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$) den Limes $b$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\epsilon >0$ ein (im Allgemeinen von $\epsilon$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für beliebige $x$-Werte aus dem Definitionsbereich von $f$, die der Bedingung $|x-a|<\delta$ genügen, auch $|f(x)-b|<\epsilon$ gilt.

Qualitativ ausgedrückt bedeutet dies: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem Limes $b$ kann beliebig klein gemacht werden, wenn man $x$ genügend nahe bei $a$ wählt.

Beispiel: $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$

• Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$) den Limes $+\infty$, wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl $T$ ein (im Allgemeinen von $T$ abhängiges) $\delta >0$ gibt, sodass für beliebige $x$-Werte aus dem Definitionsbereich von $f$, die der Bedingung $|x-a|<\delta$ genügen, auch $f(x)>T$ erfüllt ist. Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes $-\infty$ definiert.

Beispiel: $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

• Definition: Die Funktion $f$ hat für $x\to +\infty$ den Limes $b$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\epsilon >0$ eine (im Allgemeinen von $\epsilon$ abhängige) reelle Zahl $S$ gibt, sodass für beliebige $x$-Werte aus dem Definitionsbereich von $f$, die der Bedingung $x>S$ genügen, auch $|f(x)-b|<\epsilon$ erfüllt ist. Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs $x\to -\infty$ definieren.

Beispiel: $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}=1$

Bei Grenzwerten des Typs $x\to a$ (mit $a\in \mathbb {R}$) ist es oft sinnvoll, durch die Zusatzbedingung $x>a$ oder $x<a$ einseitige Grenzwerte zu bilden:

$\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\searrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty$

$\lim _{x\uparrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\nearrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty$

Im ersten Beispiel spricht man von einem rechtsseitigen Grenzwert, im zweiten von einem linksseitigen Grenzwert.

Grenzwertsätze

Sei $\lim _{x\to \infty }f(x)=a$ und $\lim _{x\to \infty }g(x)=b$. Dann gelten folgende Beziehungen:

• $\lim _{x\to \infty }(f(x)\pm g(x))=\lim _{x\to \infty }f(x)\pm \lim _{x\to \infty }g(x)=a\pm b$
• $\lim _{x\to \infty }(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to \infty }f(x)\cdot \lim _{x\to \infty }g(x)=a\cdot b$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to \infty }f(x)}{\lim _{x\to \infty }g(x)}}={\frac {a}{b}}$ falls $b\neq 0$.
• Ist $|f(x)|\leq |g(x)|$ und ist $\lim _{x\to \infty }g(x)=0$, so ist auch $\lim _{x\to \infty }f(x)=0$.

Viele Grenzwerte lassen sich leicht mit der Regel von L'Hospital berechnen.

Wichtige Grenzwerte

• $\lim _{n\to \infty }\left(1+z/n\right)^{n}=e^{z}$ für reelle oder komplexe Zahlen $z$.
• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{x}}=a$
• Die geometrische Reihe $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}q^{k}$ konvergiert gegen ${\frac {1}{1-q}}$ falls $|q|<1\,$ ist und divergiert falls $|q|\geq 1$ ist.
• Die harmonische Reihe divergiert, die alternierende harmonische Reihe konvergiert jedoch: $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2$.

Weblinks

• Grenzwerte bei Funktionen