Wahrscheinlichkeitsfunktion

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, auch Zähldichte genannt, ist eine spezielle reellwertige Funktion in der Stochastik. Wahrscheinlichkeitsfunktionen werden zur Konstruktion und Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, genauer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet. Dabei kann jeder diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung eine eindeutige Wahrscheinlichkeitsfunktion zugeordnet werden. Umgekehrt definiert jede Wahrscheinlichkeitsfuntion eine eindeutig bestimmte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Wahrscheinlichkeitsfunktion eines fairen Würfels. Alle Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6.

In den meisten Fällen werden Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf den natürlichen Zahlen definiert. Sie ordnen dann jeder Zahl die Wahrscheinlichkeit zu, dass diese Zahl auftritt. So würde bei der Modellierung eines fairen Würfels die Wahrscheinlichkeitsfunktion den Zahlen von eins bis sechs jeweils den Wert ${\tfrac {1}{6}}$ zuordnen und allen anderen die null.

Aus der Sicht der Maßtheorie handelt es sich bei Wahrscheinlichkeitsfunktionen um spezielle Dichtefunktionen (im Sinne der Maßtheorie) bezüglich des Zählmaßes Diese werden im allgemeineren Kontext auch Gewichtsfunktionen genannt.

Definition

Zur Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Gegeben sei eine Funktion

$f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$,

für die gilt

• Es ist $f(i)\in [0,1]$ für alle $i\in \mathbb {N}$. $f$ ordnet also jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zwischen null und eins zu.
• $f$ ist normiert in dem Sinne, dass sich die Funktionswerte zu eins aufsummieren. Es gilt also

$\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=1$.

Dann heißt $f$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion und definiert durch

$P(\{i\}):=f(i)$ für alle $i\in \mathbb {N}$

eine eindeutig bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$, versehen mit der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ als Ereignissystem.

Aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgeleitet

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$, versehen mit ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$, und sei $X$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\mathbb {N}$. Dann heißt

$f_{P}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$

definiert durch

$f_{P}(i):=P(\{i\})$

die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $P$. Analog heißt

$f_{X}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$

definiert durch

$f_{X}(i):=P(X=i)$

die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$

Beispiele

Eine typische Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

$f_{n,p}(k)={\begin{cases}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}&{\text{ für }}k\in \{0,1,\dots ,n\}\\0&{\text{ sonst}}\end{cases}}$

für eine natürliche Zahl $n$ und eine reelle Zahl $p\in (0,1)$. Die Normiertheit folgt hier direkt aus dem binomischen Lehrsatz, denn es ist

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{n,p}(k)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=((1-p)+p)^{n}=1$.

Die so erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung.

Eine weitere klassische Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

$f_{p}(k)=p(1-p)^{k}$ für $k\in \{0,1,2,\dots \}$

und ein $p\in (0,1)$. Hier folgt die Normiertheit aus der geometrischen Reihe, denn es ist

$\sum _{k=0}^{\infty }f_{p}(k)=p\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1$.

Die so erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Geometrische Verteilung

Allgemeine Definition

Die Definition lässt sich von den natürlichen Zahlen auf beliebige höchstens abzählbare Mengen ausweiten. Ist $\Omega$ solch eine Menge und ist

$f\colon \Omega \to [0,1]$

mit

$\sum _{i\in \Omega }f(i)=1$,

so definiert $f$ durch

$P(\{i\}):=f(i)$ für alle $i\in \Omega$

eine eindeutig bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))$. Ist umgekehrt $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))$ und $X$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\Omega$, so heißen

$f_{P}\colon \Omega \to [0,1]$ definiert durch $f_{P}(i):=P(\{i\})$

und

$f_{X}\colon \Omega \to [0,1]$ definiert durch $f_{X}(i):=P(X=i)$

die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $P$ beziehungsweise $X$.

Alternative Definition

Manche Autoren definieren zuerst reelle Folgen $(p_{i})_{i\in \Omega }$ mit $p_{i}\in [0,1]$ für alle $i\in \Omega$ und

$\sum _{i\in \Omega }p_{i}=1$

und nennen diese Folgen Wahrscheinlichkeitsvektoren oder stochastische Folgen .

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion wird dann definiert als

$f\colon \Omega \to [0,1]$

gegeben durch

$f(i)=p_{i}$ für alle $i\in \Omega$

Umgekehrt definiert dann jede Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Zufallsvariable auf $\Omega$ auch eine stochastische Folge/Wahrscheinlichkeitsvektor über $(P(\{i\}))_{i\in \Omega }$ beziehungsweise $(P(X=i))_{i\in \Omega }$

Andere Autoren nennen bereits die Folge $(p_{i})_{i\in \Omega }$ eine Zähldichte.

Weitere Beispiele

Typisches Beispiel für Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf beliebigen Mengen ist die diskrete Gleichverteilung auf einer endlichen Menge $\Omega$. Sie besitzt dann per Definition die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f(i)={\tfrac {1}{|\Omega |}}$ für alle $i\in \Omega$.

Der Zugang über die stochastischen Folgen erlaubt die folgende Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsfunktionen: Ist eine beliebige (höchstens abzählbare) Folge von positiven reellen Zahlen $(a_{i})_{i\in \Omega }$ mit Indexmenge $\Omega$ gegeben, für die

$\sum _{i\in \Omega }a_{i}<\infty$

gilt, so definiert man

$c=\sum _{i\in \Omega }a_{i}$.

Dann ist $({\tfrac {a_{i}}{c}})_{i\in \Omega }$ eine stochastische Folge und definiert damit auch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Betrachtet man zum Beispiel die Folge

$a_{k}:={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ für $k\in \mathbb {N}$,

so ist

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=e^{\lambda }$.

Somit ist die Normierungskonstante $c=e^{\lambda }$ und als Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich

$f(k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$.

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung.

Verteilungsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, dass sich über eine Wahrscheinlichkeitsfunktion definieren lässt. Charakteristischerweise hat die Verteilungsfunktion an der Stelle $i$ einen Sprung um $p_{i}$ nach oben.

Ist $f$ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\mathbb {N}$, so ist die Verteilungsfunktion des entsprechenden Wahrscheinlicheitsmaßes gegeben als

$F_{P}(x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }p_{i}$.

Dabei bezeichnet $\lfloor \cdot \rfloor$ die Abrundungsfunktion, das heißt $\lfloor x\rfloor$ ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.

Ist $f$ auf einer höchstens abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen definiert, also auf $A\subset \mathbb {R}$, so ist die Verteilungsfunktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert durch

$F_{P}(x)=\sum _{i\leq x}p_{i}$.

Beispiel hierfür ist $A=\mathbb {Z}$.

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972. 
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8. 
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.