Viereck

Ein Viereck ist ein mathematisches Objekt der ebenen Geometrie. Es ist ein geschlossener Polygonzug aus 4 Teilstrecken, den 4 Seiten.

Hierarchie der Vierecke

Ein Viereck hat 2 verschiedene Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, spricht man von einem konvexen Viereck, liegt genau eine Diagonale außerhalb, von einem konkaven Viereck. Bei einem überschlagenen Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks. (siehe Grafik)

Die Innenwinkelsumme in einem (nicht überschlagenen) Viereck beträgt 360 Grad.

Sonderformen des Vierecks

• Trapez: Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. (Meist werden nur nicht überschlagene Vierecke mit dieser Eigenschaft als Trapeze bezeichnet.)
• Parallelogramm: Viereck bei dem je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind. <==> Viereck bei dem die sich gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind.
• Rechteck: Viereck bei dem alle Innenwinkel 90° sind (siehe rechter Winkel)
• Drachenviereck: Viereck bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen . <==> Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die gleich lang sind.
• Raute (Rhombus): ein Viereck mit 4 gleichlangen Seiten
• Quadrat (Geometrie): Rechteck mit 4 gleichlangen Seiten. <==> Rhombus mit rechten Winkeln.
• Sehnenviereck: Ein Viereck mit einem Umkreis (Alle vier Eckpunkte liegen auf einem Kreis)
• Tangentenviereck: Ein Viereck mit einem Inkreis.

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten u.a. folgende Mengenrelationen:
(Dabei steht jeder Begriff X synonym für Menge aller X)

Die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, zum Beispiel:
Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ Trapez ⊂ Konvexes_Viereck

Quadrat = Rechteck ∩ Raute
Quadrat = Sehnenviereck ∩ Drachenviereck
Rechteck = Sehnenviereck ∩ Parallelogramm
Raute = Drachenviereck ∩ Trapez
Raute = Tangentenviereck ∩ Parallelogramm
Gleichschenkliges_Trapez = Sehnenviereck ∩ Trapez

Formeln

Geometrie: Bezeichnungen am Viereck

Bezeichnungen am Viereck

Innenwinkelsumme ist 360°: $\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$

$\theta =90^{\circ }\Longleftrightarrow a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

$A={\frac {1}{2}}ef\sin \theta$

$A={\frac {1}{4}}\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\tan \theta$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}}$

Eigenschaften

Ein Viereck wird durch folgende Angaben beschrieben:

• die Winkel an den Ecken
• die Seitenlängen
• der Umfang
• die Fläche
• den Schwerpunkt
• die Diagonalen