Integration durch Substitution

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Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung.

Substitution eines bestimmten Integrals

Wenn f(x) eine integrierbare Funktion ist und φ(t) eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion, die im Intervall [a, b] definiert ist und deren Bildbereich im Wertebereich von f ist. Dann gilt

$\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\phi (t))\phi '(t)\,dt$

Diese Formel wird benutzt um ein Integral in ein anderes Integral zu transformieren, dass einfacher zu bestimmen ist.

Beispiel

Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{2}t\cos(t^{2}+1)\,dt$

Durch die Substitution x = t² + 1, erhalten wir dx = 2t dt und

$\int _{0}^{2}t\cos(t^{2}+1)\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}\cos(t^{2}+1)2t\,dt={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).$

Man beachte, dass die untere Grenze des Integrals t = 0 in x = 0² + 1 = 1 umgewandelt wurde und die obere Grenze t = 2 in x = 2² + 1 = 5.

Berechnung des Integrals:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx$

Man substitutiert x = sin(t), dx = cos(t) dt (mit √(1-sin²(t)) = cos(t) ergibt sich die letzte Gleichung):

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}\cos(t)\;dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(t)\;dt$

Das Ergebnis kann mit Partieller Integration berechnet werden oder mit der trigonometrischen Formel

$\cos(t)^{2}={\frac {1+\cos(2t)}{2}}$

und einer weiteren Substitution.

Substitution eines unbestimmten Integrals

Wenn f(x) eine integrierbare Funktion ist und φ(t) eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion, deren Bildbereich im Wertebereich von f ist. Dann gilt

$\int f(x)\,dx=\int f(\phi (t))\phi '(t)\,dt$

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiel

Mit der Substition $x=t-1,dx=dt$ erhält man

$\int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}\,dx=\int {\frac {1}{1+t^{2}}}\,dt=\arctan t+C=\arctan(x+1)+C$

Mit der Substitution $t^{2}=x,2t\,dt=dx$ erhält man

$\int t\cdot \cos(t^{2})\,dt={\frac {1}{2}}\int \cos(t^{2})\cdot 2t\,dt={\frac {1}{2}}\int \cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}(\sin(x)+C')={\frac {1}{2}}\sin(t^{2})+C$

Man beachte, dass die Substitution nur für $t\geq 0$ bzw. nur für $t\leq 0$ streng monoton ist. (Warum funktioniert die Substitution trotzdem?)