Diskussion:Euklidischer Raum

Moderne Definition des Euklidischen Raumes

Der Text ist ein wenig wirr. Soll der so stehen bleiben? --NeoUrfahraner 13:01, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich denke diese Strukturierung ist passender. Falls irgendetwas nicht gut formuliert ist, schreib bitte. ps: es war mein erster Versuch 19:00, 1. Apr 2005

Deine Notation ist irgendwie anders als bei Mathematikern üblich. Bist Du Physiker? Außerdem gibt es die Artikel Dualraum, Skalarprodukt und Prähilbertraum, da ergeben sich jedenfalls Überlappungen und Widersprüche. --NeoUrfahraner 19:43, 1. Apr 2005 (CEST)

Diese Notationen finden zwar kaum Anwendungen sind aber bei hoher Mathematik gang und gäbe. Ich nenne nur mal zwei Quellen in denen diese Form explizit verwendet wird und zwar von Mathematikern!!!

Tensoren und Felder von prof. dr.Hans jörg Dirschmid dies findest du in jeder Uni-Bibliothek und Duden Rechnen und Mathematik Dort wird auch auf die alten Formen hingewiesen, die wie auch erwähnt nicht ganz allgemein sind.

Mir ist bewusst das es überlappungen gibt, aber ich war der Meinung das es wichtig ist auch die pinibl genaue Definition zu erwähnen und auf den Unterschied/Fehler in der alten hinzuweisen.

ps: auch bei anderen Räumen spricht man von Skalarprodukten aber nicht von inneren Produkten!!! Und ich bin kein Physiker sondern Schüler. Befasse mich aber seit der 9.Klasse intensiv mit der linearen Algebra und der Relativitätstheorie. (hab bei dem Thema auch meinen ps: guten Lehrer befragt und der war auch der Meinung) 20:05 1. Apr 2005

Nun, Friedman, "Foundations of Modern Analysis" sowie auch Dunford und Schwartz, "Linear Operators" verwenden "Skalarprodukt" und "Inneres Produkt" synonym. Wie dem auch sei, Du verwendest bei der Definition des Skalarprodukts den Dualraum, ohne vorher den Dualraum definiert zu haben. Das ist jedenfalls verwirrend. Außerdem hat der Dualraum (der ja für jeden Vektorraum existiert), wie Du selber schreibst, mit Euklidischem Raum nichts zu tun. Was Du schreiben willst, steht, so weit ich es sehe, weitgehend in Prähilbertraum, wobei zugegebenermaßen die Abgrenzung zwischen den Artikeln Euklidischer Raum und Prähilbertraum derzeit nicht wirklich klar ist.--NeoUrfahraner 20:22, 1. Apr 2005 (CEST)

Ein Dualraum kann direckt über das Skalarprodukt definiert werden, wie ich geschrieben habe. Außerdem sind in den von dir gennanten Bücher die Unterschiede nicht relevant, da sie nicht über Gauß hinausführen. Ein anderes Beispiel: Einem Tensor kontravarianter und kovarianter Stufe existiert auf allgemeinen Räumen und verwenden Skalarprodukte und Dualräume. Genaugenommen ist ja auch in Prähilbertraum ein Fehler. Dort ist ein inneres Produkt definit was aber bei der Allgemeinheit nicht der Fall sein kann, denn der Minkowski-Raum hat kein indefinites inneres Produkt.

Zum Thema Themaverfehlung ich wollte den Unterschied zwischen genauer und ungenauer Definition klar machen und deswegen war das erwähnen eines Skalarproduktes unumgänglich.

ps:ein Prähilbertraum ist eine noch allgemeinere Form des euklidischen Raumes noch allgemeiner ist die Riemannsche Geometrie 21:01 1. Apr. 2005

Du hast ja $V^{*}$ bei der Definition des Skalarprodukts verwendet; Deine Definition ist zirkulär. Steht das wirklich so im Buch von Dirschmid? Was soll heißen, dass Friedman sowie Dunford/Schwartz "nicht über Gauß hinausführen"? --NeoUrfahraner 21:05, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich hab nur das Symbol verwendet ich hätte auch U schreiben können und es später zu V* ersetzen doch dies schien zu umständlich. 21:07 1.apr 2005 In diesen Schriften wäre, wie auch in der euklidischen Theorie der unterschied nicht relevant aber mathematisch nicht ganz genau.21:10 1.Apr 2005

Was steht jetzt *wirklich* im Buch von Dirschmid? --NeoUrfahraner 21:18, 1. Apr 2005 (CEST)

Man geht von der nicht-ausgearteten Bilinearform (Skalarprodukt) auf U und V aus. Durch eine Rechnung findet man die Eindeutigkeit von U und führt für diesen Raum das Symbol V* ein. Damit ist der Dualraum über ein Skalarprodukt definiert.21:25 1.apr 2005

Wenn du hier ernsthaft mitarbeiten möchtest, dann solltest du dir erstmal einen Benutzernamen zulegen. Die Unterschrift mit der Uhrzeit musst du übrigens nicht per Hand eingeben, es reicht dafür ~~~~ einzugeben. Wenn du das als angemeldeter Benutzer machst, dann wird auch automatisch dein Benutzername eingefügt.

Zum Schreibstil: Die Wikipedia ist eine Enzyklopädie. Das bedeutet, dass die Artikel möglichst so allgemeinverständlich wie möglich abgefasst werden sollten, und dass versucht werden sollte, die Notation möglichst einheitlich zu halten.

Konkreter: Lass das \mathsf weg, das wird sonst auch nirgends benutzt. Verlinke zu vorhandenen Beiträgen (mit [[ ... ]]). In diesem Fall fehlt mir z.B. ein Link auf Dualraum. Versuche, den Begriff Dualraum mit der Erklärungsseite konform zu benutzen. Führe nicht mit Gewalt einen neuen Bezeichner für das Skalarprodukt ein, wenn der übliche Bezeichner genauso ausreichen würde.

Inhaltlich: Die Gleichung $V=V^{**}$ zweifle ich an. Die beiden Räume sind bestenfalls isomorph, aber nicht gleich. Der Schreibstil weiter unten entspricht nicht dem üblichen und ist häufig ungenau. Beispielsweise ist nicht $\psi (x)$ indefinit, sondern die Abbildung $\psi$. Es müsste auch irgendwo mal etwas in der Form stehen: "Ein euklidischer Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Abbildung...", um überhaupt einen Bezug zwischen dem Skalarprodukt, von dem du schreibst, und der Definition herzustellen. Überhaupt erscheint mir die Definition nicht ganz koscher, und Motivation bzw. Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Definitionen fehlen auch.--MKI 21:30, 1. Apr 2005 (CEST)

ich will mich nicht anmelden, da ich dies als einen enmaligen Eintrag sehe. Wenn ich \mathsf nicht benutze sieht es nicht einhaltlich aus. Außerdem steht es mir doch frei dies zu benutzen zu was sollte es dann eingegeben sein? Bei dem inhaltlichen gebe ich dir recht, wobei ich einfach nicht genug darauf geachtet habe. Die Einführung dieser Notation ist für viele Räume nicht relevant aber nicht für alle siehe Dirschmid.Zu"Ein euklidischer Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Abbildung..." ich will ja die verschiedenheiten der Definitionen darstellen und bringe sie ja später in Beziehung. Allerdings steht in diesem Buch:V** wird mit V identifiziert. Es wird sogar von der Gleichheit der Basen geredet.217.93.173.93 21:47, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich schiebe noch schnell den Beweis , in der ich die Gleichheit sehe. $\left\langle \alpha ;x\right\rangle :V\times V^{*}\longrightarrow K$ und damit ist $\left\langle x;\alpha \right\rangle _{*}=\left\langle \alpha ;x\right\rangle$ ein Skalarprodukt und V und V** müssen gleich sein.217.93.173.93 22:09, 1. Apr 2005 (CEST)

Mir ist nicht bekannt, wie der Dirschmid den Dualraum einführt. Allgemein üblich ist es aber, dass $V^{*}$ die Menge der Linearformen eines Vektorraums $V$ bezeichnet, und dann ist $V$ und $V^{**}$ nicht dasselbe.--MKI 22:20, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich würde gerne wissen was ich jetzt machen soll (Andere Definition vom Skalarprodukt). Der Beweis oben geht über die Linearform denn in Dirschmid steht: $\left\langle \alpha ;x\right\rangle =\alpha (x)$ wenn alpha fest ist. 217.93.173.93 22:35, 1. Apr 2005 (CEST)

Erstmal eine sprachliche Anmerkung: Wenn der Dirschmid schreibt V** wird mit V identifiziert, dann spricht das dafür, dass die beiden Räume zunächst einmal nicht gleich sind, denn sonst müsste man auch nichts extra miteinander identifizieren. Die angedeutete Identifikation läuft über den Isomorphismus, der existiert, da die beiden Räume in unserem Fall isomorph sind.

Der K-Vektorraum V ist eine Menge von Vektoren. V* wird aus V gebildet, indem man die Menge aller linearen Abbildungen V->K bildet (dein letzter Beitrag sieht so aus, als ob das auch beim Dirschmid so gemacht wird.). Also wird V** aus V* gebildet, indem man die Menge aller linearen Abbildungen V*->K bildet, also die Menge aller linearen Abbildungen, die eine lineare Abbildung V->K auf ein Element von K abbilden. Das heißt, dass V und V** verschiedene Mengen sind (die eine enthält Vektoren aus V, die andere lineare Abbildungen, die eine lineare Abbildung V->K auf ein Element von K abbilden). Damit können V und V** nicht gleich sein.

Wenn noch Diskussionsbedarf besteht, dann schreib bitte zuerst die Definition des Dualraums her, die du verwendest, damit eine gemeinsame Diskussionsgrundlage gegeben ist.--MKI 23:11, 1. Apr 2005 (CEST)

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Ich habe die "moderne" Definition mal durch einen Verweis auf den Prähilbertraum ersetzt. Dieser Artikel soll die allgemeine Definition des Begriffs vorstellen und dann das algebraische Modell Rⁿ, das meist und nicht ohne Grund als Synonym betrachtet wird, diskutieren. Wenn überhaupt sollte die axiomatische Beschreibung, die in Euklidische Geometrie erwähnt ist, hier noch etwas ausführlicher erläutert werden. Allgemeine euklidische Vektorräume werden dagegen sinnvollerweise im Rahmen des allgemeinen Skalarproduktraum-Artikels besprochen, alles andere führt zu unnötiger Redundanz. Gruß --mmr 00:38, 2. Apr 2005 (CEST)

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Ich wollte auf eine Definition hinweisen, die in keinem existierenden Artikel verwendet wird, denen aber mehrere Personen aus meinem Bekanntenkreis als allgemeiner und besser verstehen. Aber wenn kein Bedarf einer solchen Definition in Wikipedia sein sollte, dann gut. Meiner Meinung nach führt dies nur zu einer Bereicherung, auch wenn in den meisten Fällen die alten ausreichend sind. Allerdings verweise ich auch hier auf Dirschmid der auch der Auffassung einer algemeineren Version ist.

Zu den Definitionen des Dualraumes: Was ist deiner Meinung nach für eine Gleichheit explizit nötig? Die Definition erfolgt über das Skalarprodukt, wie ich in meinem Artikel beschrieben habe. Dort stellt sich für ein beliebiges Skalarprodukt immer der gleiche Vektorraum ein. Dieser wird dann als dualer Vektorraum bezeichnet.217.227.177.250 06:54, 2. Apr 2005 (CEST)

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Mich wundert, wie eine zirkuläre Defintion, bei der das zu Definierende in der Definition vorausgesetzt wird, "allgemeiner und besser verständlich" sein soll. Vermutlich meinst Du mit "Skalarprodukt" das, was in Kowalsky, Lineare Algebra als "duales Raumpaar" bezeichnet wird:

Sei $\beta$ eine Bilinearform des Raumpaares $\left(X,Y\right)$, die außerdem noch folgende Eigenschaften hat:

Aus $\beta (a,y)=0$ für alle $y\in Y$ folgt $a=0$.

Aus $\beta (x,b)=0$ für alle $x\in X$ folgt $b=0$.

Dann heißt $\left(X,Y;\beta \right)$ ein duales Raumpaar. Kowalsky bezeichnet dann weiter $\beta$ als das die Dualität bestimmende skalare Produkt. Er zeigt dann weiter, dass, wenn einer der beiden Vektorräume endlichdimensional ist, beide Vektorräume isomorph sind und somit gleiche Dimension haben. Den Dualraum definiert Kowalsky als Vektorraum aller linearen Abbildungen; $\left(V,V^{*}\right)$ bilden dann ein duales Raumpaar uns sind daher im endlichdimensionalen Fall isomorph; bis auf Isomorphie ist dann tatsächlich $\left(V,V^{*}\right)$ das einzige duale Raumpaar. Im unendlichdimensionalen Fall kann der Bidualraum $V^{**}$ aber wesentlich "größer" als $V$ sein. Ist das das, was Du uns sagen willst? --NeoUrfahraner 08:44, 2. Apr 2005 (CEST)

Man könnte das entsprechende Vokabular mal aus dem Glossar nach Bilinearform kopieren, das ist der richtige Ort. Ich mach das mal.--Gunther 09:56, 2. Apr 2005 (CEST)

Nein das meine ich nicht und die Definition ist nicht zirkulär wie ich schon weiter oben geschrieben habe. Die Quellen dieser Definition steht auch schon da!!!! Es ist nur die Symbolik verwendet worden. Man kann einen beliebigen Raum vorraussetzen dies führt der Author von Tensoren und Felder wieder auf einen Vektorraum zurück. Um die Leser nicht zu verwirren hab ich die Symbolik von Anfang an verwendet. ps: euklidische Räume sind automatisch endlich sonst wären sie Hilberträume.217.227.184.59 17:05, 2. Apr 2005 (CEST)

Du meinst endlichdimensional. Endlich sind euklidische Räume nicht.--MKI 17:38, 2. Apr 2005 (CEST)

Ich bin Deine Änderungen durchgegangen. Hier, was mir dazu eingefallen ist (inklusive aller Kleinigkeiten):

• Die Notation mit dem Strichpunkt habe ich noch nirgendwo vorher gesehen.
• Den Dualraum über eine nichtausgeartete Paarung einzuführen ist unüblich, zumal er ja dann von der Paarung abhängt.
• Im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume sind nicht alle Dualräume eines Vektorraums isomorph (Beispiel: ist $H$ ein Hilbertraum und $H_{0}\subsetneq H$ ein dichter Teilraum, dann ist die Einschränkung des Skalarproduktes auf $H\times H_{0}$ nicht ausgeartet).
• Die Formel $V^{**}=V$ ist interpretationsbedürftig, wenn man den Dualraum definiert als "irgendein Raum, zu dem es eine nichtausgeartete Paarung mit dem Vektorraum gibt". Natürlich: wenn es eine Paarung zwischen $V$ und $V^{*}$ gibt, dann auch zwischen $V^{*}$ und $V$.
• Das Attribut "positiv definit" kann nicht auf derart definierte Skalarprodukte angewandt werden. Dies ist aber üblich (wenn es nicht sogar Teil der Definition eines Skalarproduktes ist).
• Die Formulierung "echt euklidisch" (bzw. deklinierte Formen davon) haben keine Google-Hits.
• In der Definition des Index fehlt die Voraussetzung, dass die Basis orthogonal sein muss. (Beispiel: Es sei $V=\mathbb {R} ^{2}$,

$(x;y):=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}.$

Wir wählen die Basis $\{b_{1}=(1,0),b_{2}=(n,1)\}$ mit $n\in \mathbb {R}$ variabel. Es ist

$\psi (b_{1})=1,\quad \psi (b_{2})=n^{2}-1$

Je nachdem, ob $|n|$ größer oder kleiner als 1 ist, sind beide oder nur einer der Psi-Werte positiv.)

• Norm und Winkel gehören nicht zur Struktur eines metrischen Raumes. Auch in normierten Räumen, die nicht von inneren Produkten herkommen, kann man m.W. keine Winkel definieren.
• Im Beispiel $\mathbb {C}$ verrätst Du das innere Produkt nicht.

Mir scheint, der Autor kümmert sich wenig um die allgemein übliche Verwendung von Begriffen. Laut Zentralblatt-Review wendet sich das Buch auch eher an Nichtmathematiker. Wenn Du Zugang zu einer Bibliothek hast, möchtest Du vielleicht zum Vergleich auch mal einen Blick in das Buch von Jänich werfen. --Gunther 21:51, 2. Apr 2005 (CEST)

Orientierung eines Euklidischen Raumes

Wie sieht es mit der Orientierung eines Euklidischen Raumes aus? Die ist hier noch gar nicht erwähnt, wird aber im Artikel zu Determinante mit einem Link nach hier erwähnt.

n-dimensionaler Raum

Hallo,
Zitat: „.. und "n-dimensionaler Raum" ist kein Synonym für "euklidischer Raum".“
Hmm.., wofür soll bitte n-dimensionaler Raum sonst stehen?
Gruß .. Spawn 11:55, 24. Apr 2006 (CEST)
p.s. Entschuldigt bitte, aber ich bin kein Mathematiker.

Jeder Vektorraum hat eine Dimension, und unter Dimension (Mathematik) finden sich noch ein paar andere Dimensionsbegriffe, die auch auf allgemeinere Räume anwendbar sind. Wenn ich das richtig mitbekommen habe (kenne mich da allerdings nicht aus), dann sind die 10-, 11-, 26- oder whatever-dimensionalen Räume, die die moderne Physik vorschlägt, eben auch keine Vektorräume mehr, sondern "in einigen Richtungen kompakt". Mannigfaltigkeit wäre dann schon eher das richtige Ziel für einen Redirect, aber wenn man sich mal auf dieses Niveau begibt, dann gibt es eben auch noch einige andere Kandidaten, beispielsweise dürfte der fraktale Dimensionsbegriff häufig nachgeschlagen werden, und das sind in der Regel gerade keine Mannigfaltigkeiten.--Gunther 11:45, 24. Apr 2006 (CEST)

(verschoben von Benutzer Diskussion:Spawn_Avatar#Leie)

Noch ein Punkt: Variablennamen im Artikelnamen sind keine wirklich gute Idee, d-dimensionale oder m-dimensionale Räume sind nichts anderes.--Gunther 12:11, 24. Apr 2006 (CEST)

Nein, eine Mannigfaltigkeit paßt da noch weniger, da das n in n-dimensionaler Raum ja auch für natürliche Zahlen steht. Also ich denke das ist dann schon eher als n-dimensionaler Vektorraum zu verstehen, wobei diese Bezeichnung (n-dimensionaler Vektorraum) vielleicht auch etwas genauer sein könnte und auch eher zum euklidischen Raum paßt. (Aber wie gesagt, ich bin kein Mathematiker, sondern eher ein Querdenker.) :-)

Gruß .. Spawn 12:23, 24. Apr 2006 (CEST)

Hast Du überhaupt einen Blick in Mannigfaltigkeit geworfen? Da kommt nämlich schon im ersten Satz das n vor.--Gunther 12:27, 24. Apr 2006 (CEST)

Achso, ja stimmt, dann könnte das passen. Entschuldigt bitte, aber ich hatte das R zuerst als rationale Zahl oder als reelle Zahl interpretiert, dabei soll das wohl eher für den Raum hoch n stehen. :-)

Gruß .. Spawn 12:36, 24. Apr 2006 (CEST)

Nein, das steht schon für "reelle Zahlen", weil die Koordinaten ebensolche sind.--Gunther 12:37, 24. Apr 2006 (CEST)

Achso.., ja so betrachtet ergibt das natürlich auch einen Sinn. :-) Dann müßte aber der Begriff n-dimensionaler Vektorraum tatsächlich auf diesen Artikel hier umgeleitet werden, oder?

Gruß .. Spawn

Nein. Wie gesagt: Variablennamen im Artikelnamen sind nicht sinnvoll, und das zusammengesetzte Lemma ist ohnehin überflüssig, es gibt Raum und Dimension. Wir haben ja auch nicht grüner Apfel und roter Apfel und gelber Apfel.--Gunther 12:56, 24. Apr 2006 (CEST)

Ok, dann mal im Klartext: Ich – und andere Nicht-Mathematiker ganz sicher auch – verwenden im allgemeinen den Begriff n-dimensionaler Raum oder (sehr selten auch) n-dimensionaler Vektorraum wenn sie eben die mathematische Mannigfaltigkeit oder eben den euklidischen (Vektor-)Raum meinen. Und ohne jetzt respektlos wirken zu wollen, ist es mir persönlich im Allgemeinen auch völlig egal, daß dieser Euklid diese Gedanken schon ca. 300 Jahre vor Christus hatte, aber diese Information ist heutzutage für viele Menschen sicher auch ohne Belang. Und bei bunten Äpfeln ist das meiner Meinung nach ganz was anderes, außer z.B. bei Äpfel-Sorten die evtl. eine Farbe schon in ihrem Namen tragen. :-)

Gruß .. Spawn 13:24, 24. Apr 2006 (CEST)

Hm, ebenso Klartext: Du und andere Nicht-Mathematiker verwenden die Wörter "n-dimensionaler Raum", wenn sie keine Ahnung haben, wovon sie eigentlich reden. Was sie genau meinen, kann man im allgemeinen nicht wissen, deshalb gibt es auch nicht n-dimensionaler Raum, sondern einerseits die Seite Raum (Mathematik), wo man herausfinden kann, was man mit "Raum" meint, und andererseits Dimension (Mathematik), um nachzuschlagen, was man für diese Räume unter der Dimension versteht. Es gibt nun einmal nicht "den n-dimensionalen Raum", der alle glücklich macht.--Gunther 13:36, 24. Apr 2006 (CEST)

Ja das mag ja alles sein, aber leider sind die mathematischen Erklärungen für Nicht-Mathematiker (wie mich) eben größtenteils nur unverständliche Kauderwelsch (es tut mir leid, aber ein besseres Wort fällt mir dazu nicht ein) und nicht jeder bekommt Mathematik auch als seine Muttersprache beigebracht.

Gruß .. Spawn 13:43, 24. Apr 2006 (CEST)

p.s. Und ich finde eine annähernd-richtige Erklärung allemal besser als garkeine. Und meiner Erfahrung nach, ist die Realität eben für die meisten Menschen (mich eingeschlossen) auch viel zu komplex, um sie wirklich in jeder Einzelheit ganz präziese (bzw. mathematisch korrekt) begreifen – geschweige denn beschreiben – zu können, deshalb verwenden wir (Nicht-Mathematiker) eben auch solche Krücken. :-)

Wo ist für einen Nicht-Mathematiker das Problem. Angenommen dich interessiert, was ein n-dimensionaler euklidischer Raum ist. Dann gelangst du nach Verzicht auf die Adjektive zu Raum bzw. Raum (Mathematik). Da gibt es einen Verweis auf Euklidischer Raum. Im ersten Satz wird hier erklärt was das ist. Tiefergehendes erschließt sich ohne Mathematik eh nicht. Auch ein Verweis auf den Begriff Dimension ist gegeben. Ob dir deren Erklärung weiterhilft, weiß ich nicht. Allerdings fiele mir auch keine bessere ein. Alles in allem ist dann der komplette Begriff „n-dimensionaler euklidischer Raum“ geklärt. Das Abspalten von Adjektiven erspart dir wohl keine Enyklopädie; siehe auch Gunthers Hinweis auf die schönen bunten Äpfel. --Squizzz 14:02, 24. Apr 2006 (CEST)

Und wo ist dein Problem (bzw. für einen Mathematiker?), bei alternativen (modernen) Bezeichnungen für einen Sachverhalt? Ich meine, was ist einfacher als eine Umleitung, um Mehrfach-Artikel zu verweiden? Zudem ist eine Ezyklopädie nicht nur für Mathematiker (und andere Fachleute) gedacht, sondern für Jeden, also auch für Laien.

Gruß .. Spawn 16:37, 24. Apr 2006 (CEST)

p.s. Übrigens hab ich da noch ein schönes Beispiel zu den bunten Äpfeln: Das schwarze Loch, oder auch Quantensingularität genannt. ;-)