Quotientenregel

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Wenn die Funktionen u und v an der Stelle x = x_a mit v(x_a)≠0 differenzierbar sind, dann ist auch die Funktion f mit

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}$

an der Stelle x_a differenzierbar und es gilt:

$f'(x_{a})={\frac {u'(x_{a})\cdot v(x_{a})-v'(x_{a})\cdot u(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}$

In Kurzschreibweise:

$\left({\frac {u}{v}}\right)'=\left({\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\right)$

Erklärung

Der Quotient $u(x) \over v(x)$ kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung).

Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

${\Delta \left({u \over v}\right)}={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}$

$={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}$

$={{u\cdot v+\Delta u\cdot v-u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}$

$={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}$

Dividiert man durch Δx, so folgt

${{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}$

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

${\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}$

wie behauptet.