Tensor

Ein Tensor ist in der Mathematik ein geometrisches, unter Koordinatentransformationen invariantes Objekt, das aus Vektoren und/oder linearen Abbildungen aufgebaut ist.

Es gibt eine Hierarchie komplexer werdender Tensoren. So sind z. B. Tensoren 0. Stufe Skalare, Tensoren 1. Stufe Vektoren und Tensoren 2. Stufe quadratische Matrizen.

Das mathematische Teilgebiet Lineare Algebra handelt von Tensoren und wird ohne klare Bedeutungsunterscheidung auch Tensorrechnung, Tensoralgebra oder multilineare Algebra genannt. Die Tensoranalysis behandelt Differentialoperationen auf Tensorfeldern über Mannigfaltigkeiten.

In der Physik wird „Tensor“ oft als Abkürzung für Tensorfeld verwendet. Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums (allgemeiner: einer Mannigfaltigkeit) einen Tensor zuordnet; jede physikalische Feldtheorie handelt von Tensorfeldern.

Wort- und Begriffsgeschichte

Das Wort Tensor (lat.: tendo ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn.

Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.

In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Einstein unter großer Mühe die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er erfand überdies die einsteinsche Summationskonvention, nach der über doppelt auftretende Indizes stillschweigend summiert wird.

Anwendungen

Tensoren und Tensorfelder werden in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Physik angewandt. Diese Anwendungen sind von sehr unterschiedlicher Komplexität:

• in einigen Fällen genügt es, sich Tensoren als eine Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix vorzustellen; in anderen Fällen steht die Invarianz eines Tensors unter Koordinatentransformationen im Vordergrund;
• in einigen Fällen ist es erforderlich, zwischen ko- und kontravarianten Tensoren zu unterscheiden (mehr dazu unten), in anderen Fällen ist diese Unterscheidung irrelevant.

Man muss deshalb damit rechnen, dass Tensoren in verschiedenen Anwendungsgebieten verschieden definiert, verschieden notiert und verschieden gehandhabt werden.

Wichtige Anwendungsgebiete umfassen:

• Algebra: Tensorprodukte sind die algebraische Entsprechung zum kartesischen Produkt geometrischer Objekte.
• Analysis: Die in der Taylorentwicklung einer Funktion in mehreren Veränderlichen

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)(h)+{\frac {1}{2!}}f''(x)(h,h)+{\frac {1}{3!}}f'''(x)(h,h,h)+\ldots$

auftretenden multilinearen Ableitungen $f^{(n)}(x)$ kann man als symmetrische, rein kovariante Tensoren aufsteigender Stufe auffassen.

• Differentialgeometrie: Differentialformen und Vektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit sind spezielle Tensorfelder, ebenso Riemannsche Metriken.
• Physik und Ingenieurwissenschaften: Die physikalische Bedeutung von Tensoren liegt darin begründet, dass Naturgesetze, die durch Tensorgleichungen ausgedrückt werden, in beliebigen Koordinatensystemen die gleiche Gestalt haben. Die Tensorsprache erweist sich als besonders zweckmäßig
  • in der Elastizitätstheorie, Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik;
  • in der Elektrodynamik und Speziellen Relativitätstheorie;
  • sie ist unentbehrlich zum Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Erste Annäherung: Tensoren als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix

Für manche Anwendungen, zum Beispiel in der Elastizitätstheorie und fast überall in den Ingenieurwissenschaften, ist es vollkommen ausreichend, sich Tensoren als eine Fortsetzung der Reihe Skalar, Vektor, Matrix vorzustellen. Dabei unterscheidet man Tensoren verschiedener Stufen (auch Rang genannt):

• Ein Tensor nullter Stufe ist eine Zahl, auch Skalar genannt.
• Ein Tensor erster Stufe wird durch einen Spaltenvektor dargestellt. Im n-dimensionalen Raum hat ein solcher Tensor genau n Koeffizienten.
• Ein Tensor zweiter Stufe wird durch eine quadratische Matrix dargestellt, also ein Zahlenschema, in dem jeder der n² Koffizienten des Tensors durch zwei Indizes bezeichnet ist (Beispiele: Arbeitsblatt in einem Tabellenkalkulationsprogramm; zweidimensionales Pixelbild)
• Ein Tensor dritter Stufe ließe sich durch eine würfelförmige Anordnung seiner n³ Koeffizienten darstellen, die durch je drei Indizes "adressiert" werden (Arbeitsmappe in der Tabellenkalkulation; Videosequenz [Pixelbilder mit zusätzlicher Zeitkoordinate]).
• Ein Tensor m-ter Stufe hat dementsprechend n^m Koeffizienten, die mit Hilfe von m Indizes auseinander gehalten werden.

Für diese Objekte sind zwei Operationen definiert, die Verjüngung und die Überschiebung, wobei die Verjüngung als Überschiebung mit der Einheitsmatrix gesehen werden kann.

Die Überschiebung eines Tensors a der Stufe 2 mit einem Tensor b der Stufe 1 ist die normale Matrix-Vektor-Multiplikation

$(a_{ij},b_{k})\mapsto \sum _{j}a_{ij}b_{j}$.

Überschiebt man 2 Tensoren 3. Stufe in einem Index, so entsteht ein Tensor 4. Stufe.

Die Verjüngung eines Tensors 2. Stufe entspricht der Berechnung der Spur einer Matrix:

$a_{ij}\mapsto \sum _{i}a_{ii}$;

durch Verjüngen eines Tensors 3. Stufe entsteht ein Tensor 1. Stufe.

Tensorbegriff der Mathematik

In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.

Es sei $K$ ein Körper, also beispielsweise $K=\mathbb {R}$ oder $K=\mathbb {C} ,$ und es seien $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{s}$ Vektorräume über $K$.

Das Tensorprodukt $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ von $V_{1},\ldots ,V_{s}$ ist ein $K$-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{s},\quad v_{i}\in V_{i},$

sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:

• $v_{1}\otimes \cdots \otimes (v_{i}'+v_{i}'')\otimes \cdots \otimes v_{s}$

${}=(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}'\otimes \cdots \otimes v_{s})+(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}''\otimes \cdots \otimes v_{s})$

• $v_{1}\otimes \cdots \otimes (\lambda v_{i})\otimes \cdots \otimes v_{s}=\lambda (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}\otimes \cdots \otimes v_{s}),\quad \lambda \in K$

Die Tensoren der Form $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{s}$ heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Ist $\{e_{i}^{(1)},\ldots ,e_{i}^{(d_{i})}\}$ eine Basis von $V_{i}$ (für $i=1,\ldots ,s$; $d_{i}=\dim V_{i}$), so ist

$\{e_{1}^{(j_{1})}\otimes \cdots \otimes e_{s}^{(j_{s})}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i}\}$

eine Basis von $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}.$ Die Dimension von $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume $V_{1},\ldots ,V_{s}.$

Tensorprodukte und Multilinearformen

Der Dualraum von $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ kann mit dem Raum der $s$-Multilinearformen

$V_{1}\times \cdots \times V_{s}\to K$

identifiziert werden:

• Ist $\lambda \colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}\to K$ eine Linearform auf $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s},$ so ist die entsprechende Multilinearform

$(v_{1},\ldots ,v_{s})\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{s}).$

• Ist $\mu \colon V_{1}\times \cdots \times V_{s}\to K$ eine $s$-Multilinearform, so ist die entsprechende Linearform auf $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ definiert durch

$\sum _{j=1}^{k}v_{1}^{(j)}\otimes \cdots \otimes v_{s}^{(j)}\mapsto \sum _{j=1}^{k}\mu (v_{1}^{(j)},\ldots ,v_{s}^{(j)}).$

Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man

$(V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s})^{*}\quad \mathrm {und} \quad V_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{s}^{*}$

miteinander identifizieren, d.h. Elemente von $V_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{s}^{*}$ entsprechen $s$-Multilinearformen auf $V_{1}\times \cdots \times V_{s}.$

(r,s)-Tensoren

Es sei $V$ ein fester endlichdimensionaler Vektorraum über $K$.

Elemente von

${\begin{matrix}(V^{*})^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}&=&\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} &\otimes &\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} \\&&r&&s\end{matrix}}$

heißen (r,s)-Tensoren oder Tensoren der Stufe (r,s).

Beispielsweise sind (0,0)-Tensoren Skalare, (0,1)-Tensoren Elemente des Vektorraums und (1,0)-Tensoren Linearformen auf $V$. (1,1)-Tensoren können mit Endomorphismen von V und (2,0)-Tensoren mit Bilinearformen auf V identifiziert werden (siehe unten).

Für (r,s)-Tensoren gibt es drei wichtige Konstruktionen:

• Einem (r,s)-Tensor kann auf verschiedene Weisen ein $(r-1,s-1)$-Tensor gebildet werden: Für $1\leq i\leq r$ und $1\leq j\leq s$ wird einem Tensor

$\lambda _{1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{i}\otimes \cdots \otimes \lambda _{r}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{j}\otimes \cdots \otimes v_{s}$

der Tensor

$\lambda _{i}(v_{j})\cdot (\lambda _{1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{i-1}\otimes \lambda _{i+1}\otimes \cdots \otimes \lambda _{r}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{j-1}\otimes v_{j+1}\otimes \cdots \otimes v_{s})$

zugeordnet. Dieser Vorgang heißt Kontraktion oder Spurbildung: im Falle von (1,1)-Tensoren entspricht die Abbildung

$V^{*}\otimes V\to K$

unter der Identifizierung $V^{*}\otimes V=\mathrm {End} \,V$ der Spur eines Endomorphismus.

• Aus einem $(r_{1},s_{1})$-Tensor und einem $(r_{2},s_{2})$-Tensor kann ein $(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})$-Tensor gebildet werden:

$((V^{*})^{\otimes r_{1}}\otimes V^{\otimes s_{1}})\otimes ((V^{*})^{\otimes r_{2}}\otimes V^{\otimes s_{2}})\cong (V^{*})^{\otimes (r_{1}+r_{2})}\otimes V^{\otimes (s_{1}+s_{2})}.$

• Ist auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben, so können $V$ und $V^{*}$ miteinander identifiziert werden, es gibt also Entsprechungen zwischen $(r,s)$-Tensoren und $(r+k,s-k)$-Tensoren.

Beispiel

Es sei $g$ ein (2,0)-Tensor und $X,Y\in V$ zwei Vektoren. Dann ist

$g\otimes X\otimes Y$

ein (2,2)-Tensor, der durch zweimalige Spurbildung ein Element von $K$ liefert. Da alle diese Konstruktionen multilinear sind, definiert $g$ also eine Bilinearform

$V\times V\to K$.

(2,0)-Tensoren können also mit Bilinearformen identifiziert werden.

Beispiele

• Die Determinante von $(n\times n)$-Matrizen, aufgefasst als alternierende Multilinearform der Spalten, ist ein (n,0)-Tensor.
• Lineare Abbildungen $V\to W$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen können als Elemente von $V^{*}\otimes W$ aufgefasst werden.

In der Differentialgeometrie spielen Tensorfelder eine wichtige Rolle: Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf $M$ eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet. Meist werden auch noch gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften gefordert.

Beispiele sind:

• Differentialformen vom Grad $k$, insbesondere das totale Differential einer Funktion im Fall $k=1$, sind Schnitte von ${\bigwedge }\!{}^{k}\,\mathrm {T} ^{*}M\subseteq (\mathrm {T} ^{*}M)^{\otimes k}.$
• Riemannsche Metriken sind (2,0)-Tensoren.
• Der riemannsche Krümmungstensor ist ein (3,1)-Tensor, der mithilfe der riemannschen Metrik als (4,0)-Tensor aufgefasst werden kann.

Siehe auch Tensoralgebra, äußere Algebra, symmetrische Algebra.

Ko- und Kontravarianz als Eigenschaften von Abbildungen

Sei $V$ ein fester $K$-Vektorraum und $W$ ein beliebiger weiterer $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $f:W\to V$ heißt kovariant bezüglich $V$, eine lineare Abbildung $g:V\to W$ heißt kontravariant in $V$.

Eine Quelle der Verwirrung über diese Begriffe ist, dass in der Physik und älteren Lehrbüchern davon gesprochen wird, dass sich die Matrizen dieser Abbildungen ko- bzw. kontravariant unter Basiswechsel transformieren. Jedoch kehren sich dabei die Zuordnungen um - eine kovariante Abbildung hat eine Matrix, die kontravariant bzgl. Basiswechsel ist und umgekehrt.

Grundlegende Beispiele:

• Ein Vektor $\mathbf {v} \in V$ ist mit der Abbildung $i:K\to V$ zu identifizieren, welche $K$ auf die Gerade $x\mapsto x\cdot \mathbf {v}$ mit der Richtung $\mathbf {v}$ abbildet. Ein Vektor ist also kovariant.

• Ein Kovektor $\mathbf {v} ^{*}\in V^{*}$ ist als lineares Funktional $\mathbf {v} ^{*}:V\to K$ definiert, somit ist er kontravariant in $V$.

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie

Man kann das Tensorprodukt ${\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V$ eines Vektorraumes V mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten $a\otimes b$ die Faktoren zu vertauschen,

$\Pi _{12}(a\otimes b):=b\otimes a$.

Das Quadrat dieser Abbildung ist die Identität, woraus folgt, dass es Eigenvektoren zum Eigenwert 1 und zum Eigenwert -1 gibt.

• Ein $w\in U\otimes V$, welches $\Pi _{12}(w):=w$ erfüllt, heißt symmetrisch. Beispiele sind die Elemente

$w=a\otimes b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b+b\otimes a)$.

Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit ${\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{12})(V\otimes V)$ bezeichnet.

• Ein $w\in U\otimes V$, welches $\Pi _{12}(w):=-w$ erfüllt, heißt antisymmetrisch oder alternierend. Beispiele sind die Elemente

$w=a\wedge b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b-b\otimes a)$.

Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit $\Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12})(V\otimes V)$ bezeichnet.

Mittels ${\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V$ können Tensorpotenzen von V beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen j und k auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen.

$\Pi _{jk}=\Pi _{1j}\circ \Pi _{1k}\circ \Pi _{1j}$

Tensorbegriff der Physik

Tensoren im physikalischen Sinne als Multilinearformen

Tensoren $T$ sind multilineare Abbildungen in einen Körper $K$:

$T:V_{1}^{}\times V_{2}^{}\times \dots \times V_{s}^{}\to K$.

$V_{1},\dots \ ,V_{s}$ sind jeweils Vektorräume über dem gemeinsamen Körper $K$. Mit $s$ wird die Stufe des Tensors bezeichnet.

Multilineare Abbildungen sind genau dann Tensoren, wenn jeder der Vektorräume $V_{1},\dots \ ,V_{s}$ entweder $V^{*}$ oder $V$ ist.

$V$ ist ein beliebiger Vektorraum über dem Körper $K$. $V^{*}$ ist der sogenannte duale Vektorraum. Dieser umfasst die Menge der linearen Abbildungen vom Vektorraum $V$ in den Körper $K$.

Beispielsweise sei der folgende Tensor angegeben:

$T:V\times V^{*}\to K$

Den beispielhaften Tensor erhält man, indem man für $V_{1}=V$ und $V_{2}=V^{*}$ in die allgemeingültige Definition für multilineare Abbildung einsetzt.

Die Vektorräume $V$ und $V^{*}$ haben dieselbe Dimension. Das kann man folgendermaßen ausdrücken:

$\mathrm {dim} (V)=\mathrm {dim} (V*)=d$

$d$ ist eine natürliche Zahl und steht für die Dimension der Vektorräume.

Tensoren im physikalischen Sinne als "indizierte Größen"

Ein Tensor n-ter Stufe ist eine n-fach indizierte Größe $T_{i_{1},i_{2},...,i_{n}}$. Es wird weiter gefordert, dass der Tensor ein bestimmtes Transformationverhalten hat. Wird das Koordinatensystem mit einer Drehmatrix $a_{i,j}$ gedreht, so lautet der Tensor in den neuen Koordinaten:

$T'_{i_{1},i_{2},...,i_{n}}=\sum _{j_{1}=1}^{3}...\sum _{j_{2}=1}^{3}a_{i_{1},j_{1}}...a_{i_{n},j_{n}}T_{j_{1},j_{2},...,j_{n}}$.

Diese Definition ist äquivalent mit der obigen. Weitere Informationen über das Thema finden sie unter Indexdarstellungen der Relativitätstheorie.

Beispiele von wichtigen Tensoren in der Physik

Das Kronecker-Delta $\delta$ ist ein Tensor zweiter Stufe. Es ist ein Element von $\mathbb {R} ^{3}\otimes \mathbb {R} ^{3}$; es ist also eine lineare Abbildung $\delta :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$. Lineare Abbildungen sind durch die Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt. So ist das Kronecker-Delta eindeutig durch

$\delta (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{falls }}i=j\\0&{\mbox{falls }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

bestimmt.

Das Levi-Civita-Symbol ist ein Tensor dritter Stufe. Es gilt $\epsilon :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$. Man schreibt $\epsilon (e_{i},e_{j},e_{k})=\epsilon _{ijk}$. Zur Definition von $\epsilon _{ijk}$ siehe Levi-Civita-Symbol.

Basis und Koordinaten von Vektoren

Für ein tieferes Verständnis von Tensoren ist es unerlässlich, zu rekapitulieren, was eigentlich ein Vektor ist: nämlich

• ein geometrisches Objekt,
• das einem Vektorraum angehört,
• das durch Koordinaten bezüglich einer Basis (Vektorraum) dargestellt werden kann,
• das aber nicht von einer bestimmten Basis abhängt, sondern unter Basiswechsel (= Koordinatentransformation) invariant bleibt.

Wir betrachten einen Vektor v aus einem n-dimensionalen Vektorraum V. Bezüglich einer gegebenen Basis {e₁, ..., e_n} ist v durch seine Koordinaten v¹, ..., v ⁿ gegeben:

v = v¹e₁ + ... + v ⁿe_n.

Das Hochstellen der Koordinatenindizes ist in einigen, aber nicht allen Anwendungen der Tensorrechnung üblich; es steht im Zusammenhang mit der Unterscheidung von ko- und kontravarianten Größen; mehr dazu unten.

Summationskonvention

Im weiteren Verlauf dieses Artikels verwenden wir die von Einstein eingeführte Summationskonvention: über jeden Index, der auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt, wird automatisch summiert. Statt

v = v¹e₁+ ... + v ⁿe _n = $\sum _{i=1}^{n}$ v ⁱe_i

schreiben wir also ab sofort

v = v ⁱe_i.

Kovariante und Kontravariante Tensoren

Die Vektoren des dualen Vektorraums $V^{*}$ sind Tensoren der Stufe 1. Sie werden als kovariante Tensoren bezeichnet.

$\mathbf {v} ^{*}:V\to K$

Die Basisvektoren des dualen Vektorraums $V^{*}$ seien gegeben durch:

$B^{*}=(\mathbf {e} ^{1},\dots \ ,\mathbf {e} ^{d})$

Für einen beliebigen Vektor $\mathbf {v} ^{*}$ des Dualraums gibt es folgende Koordinatendarstellung:

$\mathbf {v} ^{*}=x_{i}\cdot \mathbf {e} ^{i}$

Die Koordinaten $x_{i}$ eines kovarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen tiefgestellten Index i.

Jeder Basisvektor stellt einen Tensor der Stufe 1 dar. Für die Basistensoren der Stufe 1 gelten die Gleichungen

$\mathbf {e} ^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)=\delta _{ij}$ für alle $i$, $j$ Element von ${1,\dots \ ,d}$ ,

wobei das sogenannte Kronecker-Delta $\delta _{i,j}$ für $i=j$ den Wert 1, sonst den Wert 0 hat.

Die Vektoren $\mathbf {v} ^{**}$ des bidualen Vektorraums $V^{**}$ sind Tensoren der Stufe 1. Sie werden als kontravariante Tensoren bezeichnet.

$\mathbf {v} ^{**}:V^{*}\to K$

Die Abbildung $\mathbf {\iota } _{v}$, die jedem Element $\mathbf {v} ^{*}$ des Dualraums $\mathbf {v} ^{*}(\mathbf {v} )$ zuordnet, ist Element des Bidualraums. Denn $\mathbf {v} ^{*}(\mathbf {v} )$ ist Element des zugrundeliegenden Körpers K.

$\mathbf {v} ^{*}\mapsto \mathbf {v} ^{*}(\mathbf {v} )$

$\mathbf {\iota } _{v}\left(\mathbf {v} ^{*}\right):=\mathbf {v} ^{*}(\mathbf {v} )$,

Jedem Vektor $\mathbf {v}$ kann somit genau ein Bidualvektor $\mathbf {\iota } _{v}$ zugeordnet werden:

$\mathbf {v} \mapsto \mathbf {\iota } _{v}$

Es kann gezeigt werden, dass diese Zuordnung eine bijektive Abbildung zwischen dem Vektorraum $V$ und dem Bidualvektorraum $V^{**}$ darstellt. Die Elemente des Bidualraums $V^{**}$ werden deshalb häufig mit den Elementen des Vektorraums $V$ identifiziert, d.h. es wird nicht zwischen den Elementen von $V$ und $V^{**}$ unterschieden. Die nachfolgende Schreibweise bringt das zum Ausdruck:

$\mathbf {v} \left(\mathbf {v} ^{*}\right)=\mathbf {v} ^{*}\left(\mathbf {v} \right)$

Die Koordinaten $x^{i}$ eines kontravarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen hochgestellten Index $i$.

Häufig werden die Koordinaten $x$ eines Vektors mit dem Vektor identifiziert. Die Darstellung des Vektors durch dessen Koordinaten in einer bestimmten Basis wird mit dem Vektor an sich gleichgesetzt. In dieser Sprechweise ist ein "Vektor" mit tiefgestelltem Index kovariant und ein Vektor mit hochgestelltem Index kontravariant.

Tensoren der Stufe r+s

Man definiert einen Tensor vom Grad (r,s) als multilineare Abbildung mit s Argumenten $v^{1},...,v^{s}$ und r Argumenten $\lambda _{1},...,\lambda _{r}.$ Die Argumente $v^{1},...,v^{s}$ sind Elemente eines Vektorraumes $V$ und $\lambda _{1},...,\lambda _{r}$ Argumente des zum Vektorraum gehörenden Dualraumes $V^{*}$.

Der Tensor hat dann die Form

${\begin{matrix}\underbrace {V\times V\times \dots \times V} \\s\;mal\end{matrix}}{\begin{matrix}\times \underbrace {V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}} \rightarrow \mathbb {R} \\r\;mal\end{matrix}}$

$(v^{1},...,v^{s},\lambda _{1},...,\lambda _{r})\rightarrow T(v^{1},...,v^{s},\lambda _{1},...,\lambda _{r})$

Die Summe r + s heißt Stufe oder Rang des Tensors.

Je nachdem, ob die Argumente aus einem Vektorraum sind oder aus dessen Dualraum, wird der Tensor als kovariant oder kontravariant bezeichnet. Im obigen Fall liegt ein s-fach kovarianter, r-fach kontravarianter Tensor vor.

Komponenten eines Tensors

Als Komponenten des oben beispielhaft angegebenen Tensors T werden die folgenden Größen bezeichnet:

$T_{i}{}^{j}{}:=T\left(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} ^{j}\right)$

Die Koordinaten eines Tensors der Stufe 1 sind die Komponenten dieses Tensors. Der Tensor T lässt sich nach den kovarianten und kontravarianten Basistensoren entwickeln, so dass gilt:

$T=T_{i}{}^{j}{}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$

Tensorprodukt

Das Produkt $e^{i}\otimes e_{j}$ zwischen dem kovarianten Tensor $e^{i}$ der Stufe 1 und dem Kontravarianten Tensor $e_{j}$ der Stufe 1 ist wiederum ein Tensor der Stufe 2. Ist d die Dimension des Vektorraums V, so gibt es $d^{2}$ Basistensoren $e^{i}\otimes e_{j}$ der Stufe 2.

Die Verknüpfung $\otimes$ ist für jegliche Tensoren vom Rang 1 definiert. Die Verknüpfung ist eine Bilineare Funktion.

Für das Symbol v$\otimes$w gelten folgende Rechenregeln:

• $(v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w$
• $v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$
• $(\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$    ($\lambda$ ein Element des Grundkörpers K)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt.

Im Allgemeinen gilt jedoch:

$v\otimes w\not =w\otimes v$

Der Sprachgebrauch hinsichtlich des Begriffs Tensors ist nicht immer einheitlich in der Physik. Häufig wird nicht die multilineare Abbildung T als Tensor bezeichnet, sondern deren Komponenten $T_{i}{}^{j}{}$. Die Komponenten ändern ihre Gestalt, wenn die Basis des Vektorraums V gewechselt wird. Der Tensor T selbst bleibt gleich. Die Abbildung zwischen den neuen und alten Komponenten der Vektoren in V nennt man Koordinatentransformation. Die wohl bekanntesten Koordinatentransformationen sind die Galileitransformation und die Lorentztransformation. Tensoren können durch Skalare (Tensor der Stufe 0), Vektoren (Stufe 1), Matrizen (Stufe 2) dargestellt werden. Die Komponenten dieser Tensoren kann man sich als Zahlentupel vorstellen. Im Sprachgebrauch der Physik werden derartige Zahlentupel Tensoren genannt, wenn sie unter einer Koordinatentransformation ein festgelegtes Verhalten aufweisen.

Basiswechsel und Koordinatentransformationen

Bei einem Basiswechsel im Vektorraum $V$ tritt an die Stelle der bisherigen Basis $E:=(\mathbf {e} _{1},\dots \ ,\mathbf {e} _{n})$ eine neue Basis $E':=(\mathbf {e} _{1}',\dots \ ,\mathbf {e} _{n}')$.

Dem Wechsel der Basis entspricht eine bijektive lineare Abbildung $a:V\to V$, welche jedem alten Basisvektor den neuen zuordnet,

$\mathbf {e} _{i}'=a(\mathbf {e} _{i})=\mathbf {e} _{j}\cdot a_{ji}$

(mit Summation über $j$). Die zweite Gleichheit resultiert daraus, dass wir jeden neuen Basisvektor als Linearkombination in der alten Basis ausdrücken können. Fassen wir die Koeffizienten zusammen, so erhalten wir die Matrix $A=(a_{ij})$ des Basiswechsels.

Ein Vektor $\mathbf {v}$, der invariant bleiben soll, hat in beiden Basen verschiedene Koordinatendarstellungen:

$\mathbf {v} =\mathbf {e} _{i}\cdot x_{i}=\mathbf {e} _{j}'\cdot x_{j}'=\mathbf {e} _{j}\cdot a_{ji}\cdot x_{i}'$.

Man liest ab, dass die Koordinatentransformation von $x_{i}$ nach $x_{j}'$ der Vorschrift

$x=Ax'$ beziehungsweise $x_{j}=a_{ji}\cdot x_{i}'$

genügt. Wollen wir also die neuen mittels der alten Koordinaten ausdrücken, so müssen wir die Matrix $A$ invertieren:

$x'=A^{-1}x$ und in Indizes $x_{i}'=(a^{-1})_{i,j}\cdot x_{j}$.

Man erkennt, dass sich Basis und Vektorkoordinaten gegenläufig transformieren:

• von $\mathbf {e} _{j}$ nach $\mathbf {e} _{i}'$ mit der Matrix $(a_{ji})$,
• von $x_{j}$ nach $x_{i}'$ dagegen mit der inversen Matrix $\left((a^{-1})_{ij}\right)$.

In der physikalischen Literatur wird oft das Beschriebene mit der Beschreibung gleichgesetzt, besonders in der Teilchenphysik. So wird ein Tensor mit seiner Koordinatendarstellung gleichgesetzt. Ein Tensor, dessen Koordinaten kontravariant transformieren, wird dann als kontravarianter Tensor bezeichnet, obwohl das beschriebene Objekt invariant bleibt. Vektoren werden demnach als kontravariante Tensoren erster Stufe bezeichnet, obwohl nur ihre Koordinatendarstellung es ist, als geometrische Objekte sind sie ja invariant.

Linearformen (1-Formen) als kovariante Tensoren erster Stufe

Eine Linearform ist eine lineare Abbildung aus einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Skalarkörper. Der Vektorraum aller Linearformen über einem Vektorraum $V$ ist dessen Dualraum $V^{*}$.

Wenn eine bestimmte Basis $\mathbf {e} _{1},\dots \ ,\mathbf {e} _{n}$ von $V$ gegeben ist, dann kann man in kanonischer Weise eine Basis $\mathbf {e} ^{1},\dots \ ,\mathbf {e} ^{n}$ von $V^{*}$ wählen, so dass gilt:

$\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{i,j}$ (wobei das Kronecker-Delta $\delta _{i,j}$ für $i=j$ den Wert 1, sonst den Wert 0 hat).

Eine Linearform

$\mathbf {f} =f_{i}\cdot \mathbf {e} ^{i}$,

auf einen Vektor $\mathbf {v}$ angewandt, liefert dann

$\mathbf {f} (\mathbf {v} )=f_{i}\cdot \mathbf {e} ^{i}(v^{j}\cdot \mathbf {e} _{j})=f_{i}\cdot v^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=f_{i}\cdot v^{j}\cdot \delta _{i,j}=f_{i}\cdot v^{i}$.

Damit die Beziehungen $\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{i,j}$ und $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=f_{i}\cdot v^{i}$ unabhängig von der Wahl bestimmter Basen gelten, ist zu fordern:

Bei einem Basiswechsel im Vektorraum $V$ transformieren

• die Basisvektoren $\mathbf {e} ^{i}$ des Dualraums $V^{*}$ kontravariant, und
• die Koeffizienten $f_{i}$ einer Linearform $f$ kovariant,

wie wir es in der Notation durch Hoch- beziehungsweise Tiefstellen der Indizes schon vorweggenommen haben.

Eine Linearform, die diese Transformationseigenschaften aufweist, heißt 1-Form oder kovarianter Tensor erster Stufe oder kovarianter Vektor.

Matrizen und Tensorprodukte

Wir können einer beliebigen quadratischen Matrix $B$ ein invariantes Objekt, nämlich ein Skalar, zuordnen, indem wir mit zwei Koordinatenvektoren $x$ und $y$ das Produkt

$x^{t}\cdot B\cdot y=b_{ij}\cdot x^{i}\cdot y^{j}$ bilden.

Drücken wir es in den von den Koordinaten beschriebenen invarianten Vektoren $\mathbf {v} =\mathbf {E} \cdot x$ und $\mathbf {w} =\mathbf {E} \cdot y$ aus, können wir das invariante Objekt ablesen, welches $A$ zuzuordnen ist:

$x^{t}\cdot B\cdot y=(\mathbf {E} ^{-1}v)^{t}B\mathbf {E} ^{-1}w=b_{ij}\cdot e^{i}(v)\cdot e^{j}(w)$.

Wir erhalten also eine Bilinearform $b:V\times V\to K$, man schreibt sie als

$b=b_{ij}\cdot e^{i}\otimes e^{j}$

Verhalten von Tensorkomponenten unter Koordinatentransformation

Für die Koordianten bzw. Komponenten ($T^{i}$) eines Kontravarianten Tensors der Stufe 1 gilt:

${\bar {T}}^{i}=T^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{r}}}.$

Für die Koordianten bzw. Komponenten ($T_{i}$) eines Kovarianten Tensors der Stufe 1 gilt:

${\bar {T}}_{i}=T_{r}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}.$

Wobei ${\bar {x}}^{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{r}}}x^{r}$ eine beliebige Koordinatentransformation darstellt.

Für einen beliebigen Tensor höherer Stufe transformieren sich die Komponenten auf folgende Weise:

${\bar {T}}_{\left[j_{1},j_{2},...j_{q}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},...i_{p}\right]}=T_{\left[s_{1},s_{2},...s_{q}\right]}^{\left[r_{1},r_{2},...r_{p}\right]}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{1}}}{\partial x^{r_{1}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{2}}}{\partial x^{r_{2}}}}...{\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{p}}}{\partial x^{r_{p}}}}{\frac {\partial x^{s_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{1}}}}{\frac {\partial x^{s_{2}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{2}}}}...{\frac {\partial x^{s_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{q}}}}.$

Es ist nochmals zu betonen, dass der eigentliche Tensor T invariant unter Koordinatentransformation ist. In einigen Lehrbüchern werden die Komponenten Tij eines Tensors als "Tensor" bezeichnet. Als "Tensor" wird dann jegliche inidizierte Größe angesehen, die sich wie oben dargestellt unter Koordinatentransformationen verhalten. Das Transformationsverhalten ist damit konstitutiv für den Tensorcharakter.

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Für Anwendungen in der Statistik, speziell für multivariate Verfahren, wird das Tensorprodukt von Spaltenvektoren und diese transformierender Matrizen benötigt. Für diesen Zweck wird das Kronecker-Produkt von Matrizen eingesetzt. Diesem liegt zugrunde, dass aus einem Multiindex durch alphabetische Anordnung ein einfacher Index erzeugt wird. Wenn beispielsweise das Produkt eines zwei- und eines dreidimensionalen Vektors gebildet wird, so wird dem Indexpaar (i,j) der einfache Index 3i+j-3 zugeordnet, d.h.

$a\otimes b:={\begin{pmatrix}a_{1}b\\a_{2}b\end{pmatrix}}:=(a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{1}b_{3},\;a_{2}b_{1},a_{2}b_{2},a_{2}b_{3})^{t}$.

Im Kronecker-Produkt zweier Matrizen wird dieses Verfahren in beiden Dimensionen separat angewandt.

Siehe auch

• Tabelle mathematischer Symbole

Weblinks

• Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren (pdf-Datei; 132 KB)