Minkowski-Diagramm
Das nach Hermann Minkowski benannte Minkowski-Diagramm ist eine Darstellung der Raumzeit auf zwei Dimensionen. Es dient zur Veranschaulichung der Effekte der speziellen Relativitätstheorie (SRT).
Minkowski-Diagramm
Minkowski-Diagramm Newtonscher Mechanik
Minkowski-Diagramm für die Galilei-Transformation
Minkowski-Diagramm relativistischer Mechanik, Beobachter 1
Minkowski-Diagramm für die Lorentz-Transformation, Beobachter 1
Minkowski-Diagramm für die Lorentz-Transformation, Beobachter 2
Prinzip des Diagramms
Da sich drei Raum- und eine Zeitdimension nicht mehr innerhalb eines Diagramms darstellen lassen, beschränkt man sich bei Minkowski-Diagrammen auf eine Raumrichtung, die auf die x-Achse aufgetragen wird. Die Zeit t wird auf die y-Achse aufgetragen.
Photonen, die vom Ursprung ausgehen entfernen sich mit Lichtgeschwindigkeit. Die Zeitachse wählt man oftmals als ct, wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Wegen x=ct sind Lichtstahlen genau diagonal im Diagramm. In der theoretischen Physik ist es übrigens üblich c=1 zu setzen, was durch eine Redefinition der grundlegenden Einheiten erreicht werden kann. Die vom Ursprung ausgehenden Lichtstrahlen werden oftmals auch als Lichtkegel bezeichnet.
Photonen, die im Punkt genau in der Mitte eintreffen (also der Standort des Beobachters, sozusagen das "Hier-und-jetzt") sind entlang der blauen Linien von unten gekommen. Da Zeit gegen Raum aufgetragen ist, entspricht die Schiefe einer Linie einer Geschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit ist in den Beispielen der 45-Grad Winkel, alle steileren Linien sind langsamer, alle flacheren schneller.
Der Bereich oben zwischen den blauen Linien ist der, den wir mit Signalen erreichen und so beeinflussen können. Er wird im Minkowskidiagramm mit "Zukunft" bezeichnet. Der entgengesetzte Bereich ist die Region der Raumzeit, aus der uns Signale erreichen können, er ist als "Vergangeheit" definiert.
Der Bereich außerhalb dieses Lichtkegels ist das "absolute Anderswo", Dinge die dort sind, können keinen Einfluß auf das "Hier-und-jetzt" des Beobachters haben, und umgekehrt.
Die rote senkrechte Linie zeigt die Position des Beobachters, der das Diagramm zeichnet. Wenn er sich nicht bewegt, war er in der Vergangenheit "hier" und bleibt er auch in der Zukunft "hier". Ereignisse, die nach seiner Messung gleichzeitig stattfinden, liegen in der Raum-Zeit alle auf der waagrechten roten Linie. Die ist also seine persönliche "Gleichzeitigkeit".
Bis hierher ist das Diagramm auch für Newtonsche Dynamik gültig. Die Besonderheiten der speziellen Relativitätstheorie ergeben sich erst beim Vergleich zweier sich gegeneinander bewegender Beobachter. Ein zweiter Beobachter bewege sich also mit der Geschwindigkeit v gegen den ersten.
Galilei-Transformation im Minkowski-Diagramm
Im Newtonschen Bild geschieht der Vergleich mit Hilfe der Galilei-Transformation, nach der sich Geschwindigkeiten linear aufaddieren. Da es sich immer entscheiden läßt, welcher Beobachter sich tatsächlich in Ruhe befindet, bleibt die Achse gleicher Zeit fest (Wenn es sich nicht entscheiden ließe, kommt man automatisch zur speziellen Relativitätstheorie, so wurde sie auch tatsächlich von Einstein gefunden). Ein einziges Diagramm gilt absolut für alle Beobachter. Der andere Beobachter ist sich seiner Bewegung bewußt. Er bewegt sich auf der violetten Linie. Lichtstrahlen, die er aussendet, bewegen sich mit c vom ihm fort. Je nach Richtung, in die er sie sendet, bewegen die Lichstrahlen sich relativ zum ersten Beobachter mit c-v oder c+v. Es wurde vielfach versucht, einen solchen Unterschied zu messen, das Michelson-Morley-Experiment und seine Nachfolger sind nur die beaknntesten Vertreter dieser Experimente. Der Nachweis einer von c abweichenden Geschwindigkeit des Lichtes, egal unter welchen Voraussetzungen, gelang nicht.
Lorentz-Transformation im Minkowski-Diagramm
Dies begründete das absolute Relativitätsprinzip, nach dem jeder der beiden Beobachter mit gleichem Recht von sich behaupten kann, er befinde sich in Ruhe. Es ist prinzipiell (auch einem allwissenden Dämon) nicht möglich einem der beiden mehr Recht zu geben als dem anderen. Wenn also alle Beobachter Licht immer mit der Geschwindigkeit c messen (was, wie gesagt, experimentell bestätigt ist), dann sind es die blauen Linien im Minkowski-Diagramm, die sich nicht ändern dürfen.
Und nicht nur das, jeder Beobachter glaubt mit vollem Recht, das seine "Hier"-Achse in immergleichem Winkel zu den blauen Linien steht und diese auf genau halbem Wege zu seiner "Jetzt"-Achse liegen. Das heißt für Beobachter zwei sieht genau dieselbe Situation anders aus, und zwar symmetrisch vertauscht. Jeder Beobachter zeichnet sich also gleichberechtigt sein eigenes Diagramm.
Wenn sich Beobachter zwei (lila Linien) relativ zu Beobachter eins (rote Linien) bewegt, drehen sich sowohl sein "Hier" als auch sein "Jetzt" auf die blaue Linie zu. Dieser Effekt wird mathemathisch durch die Lorentz-Transformation beschrieben. Er hat auch sehr gut nachgewiesene Auswirkungen, nämlich die so genannte Raum- und Zeitdilatation, nach der z.B. die Zeit für ein sich gegen Beobachter eins bewegendes Objekt langsamer vergeht. Beispielsweise die Großexperimente der Teilchenphysik bestätigen die Dilatationseffekte aufs genaueste.
Überlichtgeschwindigkeit und Zeitreise in der SRT
An den Minkowski-Diagrammen läßt sich unmittelbar die Äquivalenz der Überlichtgeschwindigkeit mit der Zeitreise ablesen: Die Überlichtreise sei instantan, also eine Ortsverschiebung auf der Gleichzeitigkeitsachse (Es funktioniert prinzipiell auch, wenn man einen Versatz postuliert, ist dann aber umständlicher zu erklären). Der Beobachter (rot) in der Abbildung "Minkowski-Diagramm für die Lorentz-Transformation, Beobachter 1" versetzt sich nach rechts auf seiner Gleichzeitigkeitsachse. Dann muß er beschleunigen, so daß seine Gleichzeitigkeitsachse kippt (so wie bei Beobachter lila) und seine alte Ortsachse schneidet. Nun muß er sich nur auf seiner jetzigen Gleichzeitigkeitsachse zurückversetzen (also nach links), und kommt damit in seiner eigenen Vergangenheit heraus. Da hiermit alle bekannten Zeitreiseparadoxa möglich würden, verbietet sich dieser Ablauf von selbst.
Diese Äquivalenz ist ein sehr elementarer Bestandteil der SRT, und auch wenn die Relativitätstheorie in Teilen der Quantentheorie widerspricht, sind zumindest die oben genannten Teile so gut experimentell bestätigt, dass auch eine erweiterte Theorie diese Äquivalenz beinhalten dürfte.