Folge (Mathematik)

Eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Zahlen heißt in der Mathematik Zahlenfolge oder kurz Folge. Die einzelnen Zahlen, aus denen die Folge zusammengesetzt ist, heißen die Glieder der Folge.

In den meisten Anwendungen sind die Folgenglieder ganze, rationale oder reelle Zahlen. In der Funktionalanalysis wird der Begriff Folge erweitert, so dass die Folgenglieder Elemente eines beliebigen metrischen Raums sein dürfen. Folgen, deren Glieder nicht Zahlen, sondern Mengen sind, werden in einem eigenen Artikel Mengenfolge behandelt.

Anwendungen

Zeitreihen, wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen, können mathematisch als Folgen aufgefasst werden.

In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen.

Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis, denn auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der Riemannsche Integralbegriff. Wichtige Folgen erhält man als Koeffizienten von Taylorreihen stetiger Funktionen. Manche elementare Funktionen wie $tan(x)$ führen dabei auf recht exotische Folgen, wie zum Beispiel die Bernoullischen oder Eulerschen Zahlen.

Eine Reihe ist eine Folge, deren einzelne Glieder sich aus der Summe der Glieder einer anderen Folge ergeben. Reihen werden insbesondere zur Approximation irrationaler Zahlenwerte verwendet (siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik)).

Formale Definition

Die Glieder einer Folge sind in ihrer Reihenfolge festgelegt. Daher kann jedes Glied durch eine Art "Hausnummer", einen Index, eindeutig bezeichnet werden. Die Indizes entnimmt man fast immer der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$. Je nach Anwendungsfall schließt man dabei die Null ein (bei Bedarf explizit als Menge $\mathbb {N} _{0}$ notiert) oder man schließt sie aus (entspricht der Menge $\mathbb {N} ^{+}$).

Wie so oft, kehrt man in der formalen Definition die Logik der Begriffsentstehung um und erklärt eine unendliche Folge als eine Funktion

${\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &X\\&i\mapsto &a_{i}\end{matrix}},$

die jedem Index $i$ aus der Indexmenge $N$ ein Folgenglied $a_{i}$ aus der Zielmenge $X$ zuordnet. In der Regel ist $X$ ein metrischer Raum. In der Schulmathematik und in den wichtigsten Anwendungsfällen ist $X$ ganz konkret die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.

Für eine endliche Folge mit $n$ Gliedern definiert man den Index statt aus $\mathbb {N} _{0}$ aus einer endlichen Menge, und zwar üblicherweise entweder aus der Menge $\{0,\,...,\,n-1\}$ oder aus der Menge $\{1,\,...,\,n\}$.

Bemerkung: Diese Wahlmöglichkeit spiegelt sich auch in der Computertechnik wieder: In älteren (Fortran) oder didaktischen (Pascal) Programmiersprachen werden $n$-dimensionale Felder mit Indizes zwischen 1 und $n$ adressiert. In den meisten anderen Programmiersprachen werden jedoch Indizes von 0 bis $n-1$ verwendet.

Zur Notation: Es ist gebräuchlich, eine Folge mit runden oder spitzen Klammern als $(a_{i})$ oder $\langle a_{i}\rangle$ zu notieren. Davon zu unterscheiden ist die Bildmenge der Folge $\{a_{i}\vert i\in \mathbb {N} \}$.

Beispiel: Die Folge 0, 1, 0, 2, 0, 4, ... hat die Bildmenge (oder unterliegende Menge) { 0, 1, 2, 4, ... }.

Bildungsgesetz einer Folge

Es gibt mehrere Möglichkeiten eine Folge anzugeben:

• Nennen aller Folgeglieder (nur endliche Folgen)
• Funktion
• Reihe
• Rekursion
• Algorithmus

Eine endliche Folge kann man angeben, indem man sämtliche Folgenglieder nennt. Bei einer unendlichen Folge geht das offensichtlich nicht, stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen.

Folgen, deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lassen, werden zuweilen regelmäßige Folgen genannt. Dies ist jedoch keine mathematisch strenge Klassifikation, da letzten Endes jede Folge, die überhaupt wohldefiniert ist, eine Funktionsvorschrift besitzt. Bei unregelmäßigen Folgen lässt sich lediglich sagen, dass die Angabe einer Funktionsvorschrift nach derzeitigem mathematischen Wissen aufwendig ist oder/und über algorithmische Vorschriften erfolgt, die mit der üblichen Notation nicht in funktionaler Form dargestellt werden können. [Diese Thematik hängt mit der schwierigen Frage der Berechenbarkeit zusammen].

Angabe von Anfangsgliedern

Die in manchen Intelligenztests gestellte Aufgabe, eine Folge fortzusetzen, deren erste Glieder gegeben sind, ist aus mathematischer Sicht problematisch. Denn auch durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt. Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen.

Beispiele:

• Gegeben ist 0, 1, 2, 3. Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4, 5, 6, ..., also die Folge aller natürlichen Zahlen. Möglich ist aber auch die Fortsetzung 0, 1, 2, 3, 0, ...., also als die periodische Folge der natürlichen Zahlen modulo 4. In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit, also modulo 2³¹ dargestellt. Beim sukzessiven Erhöhen eines Registers durchläuft man dann die Zahlenfolge 0, 1, 2, 3, ..., 2147483647, -2147483646, -2147483645, ..., -1 und periodisch weiter.
• Ein mathematisch unvorgebildeter Proband nennt für die Zahlenfolge 3, 1, 4, 1, 5 als plausibelste Fortsetzung 1, 6, 1, 7, ... Andere würden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl $\pi$ wiedererkennen und die Fortsetzung 9, 2, 6, ... vorschlagen.

Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) enthält tausende mathematisch relevanter Folgen. Darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen.

Zur Notation: Wenn eine Folge nichtganze Zahlen enthält und Folgenglieder als Dezimalzahlen angegeben werden sollen, trennt man die Folgenglieder zweckmäßigerweise durch ein Semikolon anstelle des sonst meist verwendeten Kommas, also z.B. 1; 0,5; 0,25; 0,125; ...

Angabe einer Funktionsvorschrift

Für viele, aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift

$i\mapsto a_{i}$

als eine geschlossene Gleichung angeben.

In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge $\mathbb {N} _{0}$ zugrunde:

• Die Folge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, ... Dieses Beispiel ist speziell, weil die Werte von Folgenglied und Index übereinstimmen. Die Funktionsvorschrift lautet einfach

$a_{i}=i$.

• Die Folge der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, .... hat die Funktionsvorschrift

$a_{i}=2i+1$.

• Die Folge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, ...

$a_{i}=2^{i}$.

Daran anknüpfende Aufgaben (für Schüler)

Die Aufgabe, zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen, ist einfach. Man nimmt nacheinander die Werte $i=0$, $i=1$, $i=2$ usw., setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$ usw. Zweck dieser Rechnung ist es, sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen. Aber Achtung: Eine Folge kann für wirklich große Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten war. Beispiel: die Folge $a_{i}=1/(1+(i-1000)^{2})$, die bis $i=1000$ monoton zunimmt, dann aber wieder abnimmt, wie man durch Einsetzen höherer Zehnerpotenzen überprüfen kann.

Die Umkehraufgabe, zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen, ist dagegen deutlich schwieriger. Streng genommen kann es gar keine eindeutige Lösung geben, denn jeder Folgenanfang lässt sich ja in verschiedener Weise fortsetzen (wie oben bereits bemerkt). In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur für Folgen gestellt, deren Glieder $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$ usw. in einigermaßen überschaubarer Weise vom Index $i=0,\,1,\,2,\,...$ abhängen. Im einzelnen können folgende Eigenschaften überprüft werden:

• Ist die Folge alternierend? Wenn ja, bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor $(-1)^{i}$ in der Funktionsvorschrift. Beispiel: 0, -1, 2, -3, 4, ... hat die Vorschrift $a_{i}=(-1)^{i}\cdot i$.
• Sind die Folgeglieder Brüche? Wenn ja, konstruiere man unabhängig voneinander Funktionsvorschriften für Zähler und Nenner. Beispiel: 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... hat die Vorschrift $a_{i}=(i+1)/2^{i}$.
• Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen $d$ zu (oder ab, mit $d<0$) ? Wenn ja, hat man eine arithmetische Folge $a_{i}=a_{0}+d\cdot i$. Beispiel: 1, 3, 5, 7, ... hat die Vorschrift $a_{i}=1+2i$ .
• Genügen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Glieder einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgeglieder selbst? Wenn ja, kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten). Beispiel: Für 1, 3, 6, 10, 15, ... lauten die Differenzen 1, 2, 3, 4, ...
• Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten Verhältnis $1:q$ zueinander? Wenn ja, hat man eine geometrische Folge $a_{i}=a_{0}\cdot q^{i}$ . Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51,2; ... nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0,8 ab; also lautet die Vorschrift $a_{i}=100\cdot (0,8)^{i}$ .

Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch, dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen. Das liegt daran, dass ein Summand 0, ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben, sondern sofort ausgerechnet werden. In der gekürzten Form 1, 1, 3/4, 1/2, ... ist dem oben genannten Beispiel 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... die Funktionsvorschrift beim besten Willen nicht mehr anzusehen.

Angabe als Reihe

Eine Folge $\langle s_{n}\rangle$, deren $n$-tes Glied als Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge $\langle a_{i}\rangle$ geschrieben werden kann, heißt eine Reihe:

$s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Erläuterungen zur Notation:

• Der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck $\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ ist nichts anderes als eine Abkürzung für den Ausdruck $a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}$.
• Innerhalb und außerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden. Dass wir speziell $n$ und $i$ gewählt haben, entspricht einer weit verbreiteten Konvention, ist aber nicht zwingend.
• Um $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ als konkreten Zahlenwert zu berechnen, muss ein konkreter Zahlenwert für den Index $n$ vorgegeben werden. Im Gegensatz dazu ist der Index $i$ kein (von außen) vorzugebender Wert, sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt. Welches $n$ auch immer gegeben ist, für den "Laufindex" $i$ müssen nacheinander die Werte 0, 1, ..., $n$ eingesetzt und die Summe der zugehörigen $a_{0}$, $a_{1}$, ..., $a_{n}$ berechnet werden.

Man kann jede Folge $\langle s_{n}\rangle$ als eine Reihe auffassen, indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine Folge

$a_{i}={\begin{cases}0&{\mbox{wenn }}i=0,\\s_{i}-s_{i-1}&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

konstruiert. Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar. Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen. Viele Erklärungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte, sondern deren zeitliche Veränderungen, was für die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht.

Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe, wenn man die Summation für beliebige $n$ ausführen kann. Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt für

• die arithmetische Reihe
• die geometrische Reihe

Siehe dazu den Artikel Summe.

Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert. Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien. Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe immer darauf schließen, dass die zugrundeliegende Folge gegen Null konvergiert.

Angabe einer Rekursion

Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden. Dazu nennt man $m$ Anfangswerte (mit $m\geq 1$; meistens ist $m=1$ oder $m=2$) sowie eine Vorschrift, wie ein Folgenglied $a_{i}$ aus den vorhergehenden $m$ Gliedern $a_{i-m}$, ..., $a_{i-1}$ berechnet werden kann.

Das bekannteste Beispiel für eine Folge, die sich wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift als durch eine Funktionsvorschrift beschreiben lässt, ist die Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Für sie ist $m=2$, gegeben sind die zwei Anfangsglieder $a_{0}=0$ und $a_{1}=1$ sowie die Rekursionsvorschrift

$a_{i}=a_{i-2}+a_{i-1}$ .

Die Funktionsvorschrift

$a_{i}={1 \over {\sqrt {5}}}\left(\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{i}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{i}\right)$

steht in engem Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt. Beachte, dass die $a_{i}$ alle ganzzahlig sind, da sich die ungeraden Potenzen der ${\sqrt {5}}$ herauskürzen.

Für manche Folgen kann man umgekehrt aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten. Zum Beispiel folgt für die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift

$a_{i}=a_{0}\cdot q^{i}$

die Rekursionsvorschrift

$a_{i}=q\cdot a_{i-1}$ .

Die Rekursion

$a_{1}=2\,,\quad a_{i+1}={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}$

definiert die Folge rationaler Zahlen 2, 3/2, 17/12, ..., die gegen ${\sqrt {2}}$ konvergiert.

Angabe über einen Algorithmus

Für manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift, aber keine Funktionsvorschrift. Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, ... Bereits den alten Griechen (möglicherweise auch Indern) war es bekannt, wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet. Eine Möglichkeit ist, das Sieb des Eratosthenes anzuwenden. Es gibt jedoch keine Methode, zu einem gegebenen $i$ die $i$-te Primzahl anzugeben, ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur $(i-1)$-sten Primzahl zu berechnen (oder nachzuschlagen). Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste, sondern die $10^{20}$-ste Primzahl wissen möchte, macht dies den Unterschied zwischen berechenbar und nicht berechenbar aus und hat weitreichende Implikationen für die Sicherheit von Verschlüsselungs- und Authentifizierungsalgorithmen, die auf Primzahlen beruhen.

Charakterisierung von Folgen

Wie Funktionen kann man auch Folgen über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren:

Monotonie (Mathematik)

• Eine Folge heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt, wenn also für alle $i$ aus $\mathbb {N}$ gilt: $a_{i}\leq a_{i+1}$.
• Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also für alle $i$ aus $\mathbb {N}$ gilt: $a_{i}<a_{i+1}$.
• Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.

Beschränktheit

• Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke $S$ besitzt, so dass für alle $i$ aus $\mathbb {N}$ gilt: $a_{i}<S$.
• Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt auch ihr Supremum.
• Die Begriffe nach unten beschränkt, untere Schranke und Infimum sind analog definiert.

Sonstige

• Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierend.
• Eine Folge, deren Glieder alle übereinstimmen, könnte man eine triviale oder konstante Folge nennen.
• Eine unendliche Folge, die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht, heißt periodisch. Es gibt eine Periodenlänge $n$, und für alle $i$ aus $\mathbb {N}$ gilt: $a_{i}=a_{i+n}$ .

In der Analysis gilt das Hauptinteresse der Frage, ob eine Folge einen Grenzwert hat. Siehe dazu den Artikel Grenzwert. Eine unendliche Folge, die gegen keinen Grenzwert konvergiert, kann nichtsdestoweniger Häufungspunkte besitzen (Beispiel: die Folge -1/2, 3/4, -5/6, 7/8, ... besitzt die Häufungspunkte -1 und 1).

Die vorgenannte Charakterisierung einer Folge über ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich kann helfen, zu bestimmen, ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Besonders nützlich ist folgender Satz:

Eine monoton steigende, nach oben beschränkte Folge konvergiert und ihr Grenzwert stimmt mit ihrem Supremum überein (Beispiel: die Folge 0, 1/2, 2/3, 3/4, ... konvergiert gegen ihr Supremum 1). Eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Infimum.

Daran anknüpfende Aufgaben (insbesondere für Schüler und Studienanfänger)

Wenn Aufgaben zur Monotonie oder/und Beschränktheit von Folgen gestellt werden, sind die Folgen in der Regel über eine Funktionsvorschrift, eventuell auch über eine Rekursion gegeben.

Nachweis der Monotonie

• Wenn man vermutet, dass eine Folge nicht monoton (bzw. streng monoton) ist, setzt man ein paar Indizes in die Funktionsvorschrift ein, berechnet die zugehörigen Folgenglieder und hofft, ein Gegenbeispiel zu finden. Beispiel: Die durch $a_{i}=2^{i}/(3i+1)$ gegebene Folge ist nicht monoton, denn $a_{0}=1\,>\,a_{2}=4/7\,<\,a_{5}=32/16$.
• Wenn man vermutet, dass eine Folge streng monoton steigt, schreibt man $a_{i}<a_{i+1}$, wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus (indem man auf der rechten Seite $i+1$ anstelle von $i$ in die Vorschrift einsetzt), und überprüft die so entstandene Ungleichung, indem man sie durch Äquivalenzumformungen vereinfacht. Beispiel: [Siehe Lehrbücher]
• Manche Funktionsvorschriften lassen sich durch Termumformungen in eine Summe aus konstanten Termen und einer bekannten, einfacheren Folge zerlegen, deren Steigungsverhalten schon bekannt ist. Beispiel: $a_{i}={\frac {2i+1}{i+1}}={\frac {2(i+1)-1}{i+1}}=2-{\frac {1}{i+1}}$ . Wenn man weiß, dass $1/(i+1)$ streng monoton fällt, kann man schließen, dass $-1/(i+1)$ streng monoton steigt. Weil der Term 2 konstant ist, steigt auch $a_{i}$ streng monoton.

Nachweis der Beschränktheit / Bestimmung einer Schranke

• Ein Nachweis per Gegenbeispiel ist hier nicht möglich, denn mit auch noch so vielen Beispielen kann man nicht sicherstellen, dass es nicht irgendeine sehr große bzw. sehr kleine Zahl gibt, durch die die Folge beschränkt ist.

• Es muss also angenommen werden, dass es eine Schranke gibt. Nun wird die passende Ungleichung angesetzt, d.h. für eine obere Schranke also $a_{i}\leq S$. Auf der linken Seite der Ungleichung wird die Funktionsvorschrift angewandt und dann nach $i$ aufgelöst. Dadurch erhält man (mit etwas Glück) ein Ergebnis der Form $i\leq f(S)$ oder $i\geq f(S)$, wobei $f(S)$ für einen von $S$ abhängigen Term steht. Im ersten Fall hat man herausgefunden, dass die Folge nicht nach oben beschränkt ist (egal wie groß $f(S)$ ist, es ist immer möglich, ein noch größeres $i$ zu finden, das die Ungleichung verletzt). Im zweiten Fall versucht man ein $S$ zu finden, für das $f(S)\leq 0$ ist. Für dieses $S$ ist $i\geq f(S)$ immer erfüllt und somit ist der Nachweis gelungen, dass $S$ eine obere Schranke ist.

• Auch diese Aufgabe kann sich vereinfachen, wenn es gelingt, die Funktionsvorschrift in eine Summe aus einfacheren Termen zu zerlegen.

Wichtige Folgen

Arithmetische Folgen und Reihen

Hauptartikel: Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern. Beispiele sind die häufig verwendeten Folgen der geraden Zahlen 2, 4, 6, ... mit der Funktionsvorschrift

$a_{i}=2i$

und die der ungeraden Zahlen mit der Funktionsvorschrift

$a_{i}=1+2i$.

Im allgemeinen Fall (mit konstanter Differenz $d$) lautet die Funktionsvorschrift

$a_{i}=a_{0}+i\cdot d$

Folgen die sich auf arithmetische Folgen zurückführen lassen, nennt man Folgen höherer Ordnung. So ist die Folge der Dreieckszahlen eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Folge:	$1\$		$3\$		$6\$		$10\$		$15\$		$...\$
1.Differenzfolge:		$2\$		$3\$		$4\$		$5\$		$...\$
2.Differenzfolge:			$1\$		$1\$		$1\$		$...\$

Arithmetische Folgen $g$-ter Ordnung sind genau diejenigen Folgen, die sich durch ein Polynom $g$-ten Grades beschreiben lassen.

Folgen auf Basis der Potenzfunktion

Die Folge der Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, ... hat die Funktionsvorschrift $a_{i}=i^{2}\$. Die Folge der Quadratzahlen ist ebenfalls eine arithmetische Folge 2. Ordnung, da sie sich als Reihe auffassen läßt, der die Folge der ungeraden Zahlen zugrunde liegt.

die Folge der Kubikzahlen: 0, 1, 8, 27, ...

$a_{i}=i^{3},$

was man für $s$-te Potenzen der natürlichen Zahlen zu

$a_{i}=i^{s}$

verallgemeinern kann, wobei $s$ eine beliebige reelle Zahl sein darf. Mit $s=1/2$ erhält man die Folge 0, 1, √2, √3, 2, √5, ... der Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen,

$a_{i}=i^{0,5}={\sqrt {i}}$ .

Bei negativen Exponenten $s<0$ ist zu beachten, dass $0^{s}$ nicht existiert. Beispielsweise ist es nicht möglich, mit $s=-1$ und der Funktionsvorschrift

$a_{i}=i^{-1}={\frac {1}{i}}$ , dass Folgenglied zum Index $i=0$ zu berechnen.

Man kann den Index 0 ausschließen, indem man sich die Indexmenge $\mathbb {N} ^{+}$ beschränkt. Oft ist es jedoch zweckmäßiger, die Indexmenge $\mathbb {N} _{0}$ unverändert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in

$a_{i}=(i+1)^{-1}={\frac {1}{i+1}}$

zu ändern. Dann lauten die ersten Folgenglieder 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift für beliebige Exponenten $s$ aufstellen:

$a_{i}=(i+1)^{s}$.

Geometrische Folgen

So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben, so stehen in einer geometrische Folge

$a_{i}=a_{0}\cdot q^{i}$

aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten Verhältnis zueinander, $a_{i+1}/a_{i}=q$ . Zum Beispiel ergibt sich mit $q=2$ die Folge der Zweierpotenzen

$a_{i}=2^{i},$

also zum Beispiel für die ersten zehn Glieder die Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 (jedes Glied ist doppelt so groß wie das vorangegangene). Wichtig ist diese Folge speziell für die Umwandlung von den in der Informatik verwendeten Dualzahlen in Dezimalzahlen (und umgekehrt). Eine geometrische Folge mit $\vert q\vert <1$ konvergiert gegen Null, wie beispielsweise die Folge 1; 0,1; 0,01; ... zu $q=0,1$:

$a_{i}=\left({\frac {1}{10}}\right)^{i}$

Wenn $q=1$ erhält man die triviale Folge 1, 1, 1, ...; wenn $q=-1$, erhält man aus

$a_{i}=(-1)^{i}$

die fundamentale alternierende Folge 1, -1, 1, -1, ...

Ein Beispiel für die Alltagsanwendung der geometrischen Folge ist die gleichstufige Stimmung der musikalischen Tonleiter - die aufeinanderfolgenden Glieder, hier Halbtonschritte, besitzen zueinander ein konstantes Frequenzverhältnis.

Verallgemeinerungen

In der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge.

Siehe auch

• Tabelle mathematischer Symbole
• Additionskette

Noch nicht eingebaut

Zum Beweis der Konvergenz ist die Methode der Vollständigen Induktion ein nützliches Hilfsmittel.

Weblinks

• Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) enthält eine Sammlung gebräuchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion.
• Zahlenfolgen für Schüler erklärt