Einhängung

In der Topologie bezeichnet die Einhängung SX eines topologischen Raums X den Quotientenraum

Einhängung eines Kreises. Der Original-Raum ist blau, die kollabierten Endpunkte in grün.

$SX=(X\times I)/\{\forall x,y\in X:(x,0)\sim (y,0),\ (x,1)\sim (y,1)\}$

des Produkts von X mit dem Einheitsintervall I = [0, 1].

Anschaulich wird X erst zu einem »Zylinder« $X\times I$ ausgedehnt, dessen Enden dann zu Punkten zusammengefasst werden, und man betrachtet X als zwischen diesen Endpunkten »eingehängt«. Man kann die Einhängung auch als zwei Kegel über X, die auf ihrer Grundseite miteinander verklebt sind, betrachten. Eine dritte Möglichkeit ist ihre Betrachtung als Quotient des Kegels über X, bei dem die Punkte der Grundseite als äquivalent zusammengefasst werden.

Einhängung ist ein Funktor, der grob gesagt die Dimension eines Raums um eins erhöht: $\forall n\in \mathbb {N} _{0}\colon S(S^{n})\cong S^{n+1}.$

Reduzierte Einhängung

Ist X punktierter Raum (mit Basispunkt x₀), so gibt es eine abgewandelte Einhängung von X, die wieder punktiert ist: Die reduzierte Einhängung ΣX von X is der Quotientenraum:

$\Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)$.

Die Konstruktion kollabiert die Gerade (x₀ × I) in SX, wobei die Enden zu einem Punkt zusammengefasst werden. Der Basispunkt von ΣX ist die Äquivalenzklasse von (x₀, 0). Σ ist Endofunktor in der Kategorie punktierter Räume.

Man kann zeigen, daß die reduzierte Einhängung von X homöomorph zum Smash-Produkt von X mit dem Einheitskreis S¹ ist:

$\Sigma X\cong S^{1}\wedge X$,

allgemeiner ist die $n$-fach iterierte reduzierte Einhängung im wesentlichen das Smash-Produkt mit der $n$-Sphäre:

$\Sigma ^{n}X\cong S^{n}\wedge X$.

Für CW-Komplexe ist die reduzierte Einhängung homotopieäquivalent zur gewöhnlichen.

Eigenschaften

• Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraumes: Sind $X,Y$ kompakt erzeugt, so gibt es einen kanonischen natürlichen Isomorphismus

$[\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y].$

Insbesondere gilt

$\pi _{n+1}(Y)=\pi _{n}(\Omega Y).$

• Die Funktorialität der Einhängung induziert Abbildungen

$\pi _{k}(X)=[S^{k},X]\to [\Sigma S^{k},\Sigma X]=\pi _{k+1}(\Sigma X).$

zwischen Homotopiegruppen. Der Freudenthalsche Einhängungssatz besagt, dass diese Abbildungen für $n$-zusammenhängende Räume $X$ im Bereich $k\leq 2n$ Isomorphismen und für $k=2n+1$ Epimorphismen sind. Der direkte Limes

$\pi _{k}^{s}(X)=\operatorname {colim} _{m}\pi _{k+m}(\Sigma ^{m}X)$

über diese Abbildungen ist die $k$-te stabile Homotopiegruppe von $X$. Ist insbesondere $X=S^{0}$, so ist das induktive System für $m\geq k+2$ im wesentlichen konstant, d.h.

$\pi _{2k+2}(S^{k+2})=\pi _{2k+3}(S^{k+3})=\ldots =\pi _{k}^{s}(S^{0})=:\pi _{k}^{s};$

wegen $\pi _{k}^{s}(S^{n})=\pi _{k-n}^{s}$ nennt man die Gruppen $\pi _{k}^{s}$ auch einfach stabile Homotopiegruppen der Sphären.

• $H_{n}(X)=H_{n+1}(SX)$