Jackknife-Methode

Jackknife ist in der Statistik eine Methode des Resampling. Jackknife dient dazu, den zufälligen Fehler einer Schätzmethode und eine etwaige Verzerrung (engl. Bias) zu schätzen. Jackknife ist ein Spezialfall des Bootstrapping. Die Methode wurde 1956 bzw. 1958 zuerst von M. H. Quenouille und John W. Tukey veröffentlicht. Der Name soll die allgemeine Einsetzbarkeit der Methode für statistische Zwecke betonen.

Methode

Häufig wird Jackknife mit delete-1 Jackknife gleichgesetzt. Dabei wird aus der ursprünglichen Stichprobe $x_{1}\dots x_{N}$ jeweils ein Wert weggelassen und der Schätzer für diese reduzierte Stichprobe berechnet. Wird aus der ursprünglichen Stichprobe nicht nur ein Wert weggelassen, sondern d viele, so spricht man von delete-d Jackknife. Durch das Weglassen von d von insgesamt N Werten, können ${\binom {N}{d}}$ unterschiedliche reduzierte Stichproben erzeugt werden, die $N-d$ viele Werte haben.

Im Folgenden wird die delete-1-Jackknife-Methode beschrieben. Der Mittelwert der reduzierten Jackknife-Stichprobe i, welche durch Streichen des Wertes $X_{i}$ entsteht, sei:

$A_{(i)}:={\frac {1}{N-1}}\sum _{k\neq i}x_{k}$

und der Mittelwert der ursprünglichen Stichprobe sei ${\hat {A}}$. Dann ist der Mittelwert über alle Jackknife-Stichproben gegeben durch:

$A_{(*)}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{(i)}$.

Die Varianz des Schätzers kann nun abgeschätzt werden durch :

$var(x)={\frac {N-1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(A_{(i)}-{A}_{(*)}\right)^{2}$.

Die Jackknife-Methode liefert für das Bias $B$ den Wert:

$B=(N-1)({A}_{(*)}-{\hat {A}})$

Siehe auch

• Bootstrapping
• Kreuzvalidierungsverfahren

Literatur

Joseph Lee Rodgers: The Bootstrap, the Jackknife, and the Randomization Test: A Sampling Taxonomy. Multivariate Behavioral Research, 34, Nr. 4 S.441ff (1999)