Vektor

In der Geometrie und ist ein Vektor eine Größe, die durch eine Zahl (den Betrag) und eine Richtug gegeben ist und oft durch einen Pfeil dargstellt wird.

Allgemeiner ist in der linearen Algebra ein Vektor als Element eines Vektorraumes definiert. Dies ist eine viel umfassendere Definition, die neben den "herkömmlichen", geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist auch jeder Tensor ein Vektor.

In der Differentialgeometrie, der Physik und der Technik bezieht sich der Ausdruck Vektor normalerweise auf einen geometrischen Vektor des euklidischen Raumes, der durch einen Betrag und eine Richtung geben ist. Beispiele sind Geschwindigkeit, Impuls, Kraft, Drehmoment und Beschleunigung. Nach dieser Definition ist ein Vektor ein Tensor erster Stufe. Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich auf solche Vektoren, allgemeine Eigenschaften finden sich unter Vektorraum

Vektoren kann man skalare Größen wie Abstand, Energie, Zeit, Temperatur, Ladung, Leistung, Arbeit und Masse gegenüberstellen, die zwar einen Betrag, aber keine Richtung haben.

Vektoren sind nomalerweise ungebunden, das heißt, sie haben keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher als die Menge aller "Pfeile", die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden.

Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ausgangspunkt. Sie können zum Beispiel, als so genannte Ortsvektoren, die Position eines Punktes im Raum angeben.

Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor.

Darstellungsformen

Variablen, die für Vektoren stehen, werden normalerweise mit einem Pfeil gekennzeichnet: ${\vec {a}}$. Ist der Betrag, also die Länge, des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten Strichen eingeklammert: $|{\vec {a}}|$

Anmerkung: Die englische Wikipedia gibt an, dass Vektoren normalerweise fett gedruckt werden (a). Als weitere Möglichkeit wird ${\underline {a}}$ aufgelistet. Sind diese Varianten auch im deutschsprachigen Raum zulässsig?

Grafisch werden Vektoren normalerweise als Pfeile dargestellt:

A wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektors bezeichnet. Die Richtung des Pfeiles gibt die Richtung des Vektors an und die Länge seinen Betrag. Dieser Vektor kann auch als ${\overrightarrow {AB}}$ bezeichnet werden und sein Betrag als $|{\overrightarrow {AB}}|$ bzw. ${\overline {AB}}$. Dabei ist zu beachten, dass der Vektor nicht an die Punkte A und B gebunden ist, sondern, dass diese ihn nur definieren.

Um mit Vektoren sinnvoll rechnen zu können, ist die grafische Notation natürlich unpraktisch. In einem n-dimensionalem Euklidischen Raum können Vektoren als Linearkombination von n Basisvektoren dieses Raumes dargestellt werden. Im kartesischen Koordinatensystem nimmt man dafür n paarweise aufeinander normal stehende Einheitsvektoren.

Als Beispiel für diesen Artikel soll immer der dreidimensionale Vektorraum R³ mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen. Sind ${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$ und ${\vec {k}}$ die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-Achse, kann jeder Vektor als ${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}}$ angeschrieben werden. Die reellen Zahlen a₁, a₂ und a₃ sind eindeutig durch ${\vec {a}}$ festgelegt. Oft schreibt man Vektoren auch kurz als 3x1- oder 1x3-Matrix:

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\quad {\mbox{ oder }}\quad {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\\end{pmatrix}}$

Mit dieser Schreibweise ist zwar die Wahl des Koordinatensystems nicht festgehalten, falls nicht anderes angegeben ist aber immer das kartesische System gemeint, da es für viele Rechnungen am einfachsten ist.

Aus dem Satz von Pythagoras folgt, dass der Betrag des Vektors folgendermaßen berechnet werden kann:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}$

Rechenoperationen