Primzahl

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur die Zahlen 1 und p als positive Teiler hat. Gleichwertig damit ist folgende Definition: Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Teiler hat.

Eine natürliche Zahl, die größer als 1 und nicht Primzahl ist, nennt man zusammengesetzte Zahl. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Die ersten Primzahlen sind

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,...

(Sequenz A000040 in OEIS)

Die Zahl 4 ist die kleinste zusammengesetzte Zahl; sie hat genau drei positive Teiler (1, 2, 4). Die Zahl 6 ist die nächstgrößere zusammengesetzte Zahl; sie besitzt vier positive Teiler (1, 2, 3, 6). Die Liste der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ...

(Sequenz A002808 in OEIS)

Mit Ausnahme der 2 sind alle Primzahlen ungerade, denn alle geraden Zahlen lassen sich ja durch 2 teilen. Zwei aufeinander folgende ungerade Zahlen, die beide Primzahlen sind, heißen Primzahlzwillinge, z.B. 11 und 13.

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (siehe Primfaktorzerlegung), die in dieser Darstellung auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl.

Primzahlen besitzen vor allem aufgrund dieses Satzes eine besondere Stellung in der Mathematik. Alexander K Dewdney bezeichnet ihre Stellung als ähnlich den Elementen der Chemie.

Eine wichtige Rolle spielen sie z.B. in der Kryptologie: Einige Verschlüsselungssysteme basieren darauf, dass man zwar relativ schnell große Primzahlen erzeugen und mit ihnen rechnen kann, dass es aber (noch) kein schnelles Faktorisierungsverfahren gibt, um große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen (große Zahlen sind hier Zahlen mit mehr als hundert Stellen).

Verfahren zur Prüfung der Primalität einer Zahl

Wenn man wissen möchte, ob eine Zahl eine Primzahl ist, dann hat man dafür verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung. Die Variationen dieser Verfahren sind unter Primzahltest nachzulesen.

Eigenschaften von Primzahlen

Abgesehen von der Eigenschaft einer Primzahl, durch nur zwei natürliche Zahlen teilbar zu sein, haben Primzahlen im Besonderen in Bezug auf Modulo noch eine Menge Eigenschaften.

Euler

Für jede ungerade Primzahl p und jede natürliche Zahl a, die teilerfremd zu p ist, was auf jede Zahl a mit $2\leq a<p$ zutrifft, gilt entweder:

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1\mod p

oder

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\mod p

bzw.

a^{\frac {p-1}{2}}\equiv (p-1)\mod p

Aus

a^{\frac {p-1}{2}}*a^{\frac {p-1}{2}}=(a^{\frac {p-1}{2}})^{2}=a^{2*{\frac {p-1}{2}}}=a^{p-1}

und

1*1=(-1)*(-1)=1

folgt dann,

Der kleine Fermat-Satz

dass für jede ungerade Primzahl p und jede natürliche Zahl a mit $2\leq a<p$ gilt:

a^{p-1}\equiv 1\mod p

bzw.

a^{p-1}-1\equiv 0\mod p

gilt.

Dieser Satz gilt für jede Primzahl. Es gibt aber auch Zahlen, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch, zu einem Teil der Basen a, wie Primzahlen verhalten. Solche Nichtprimzahlen nennt man Pseudoprimzahlen. Pseudoprimzahlen, die pseudoprim zu allen Basen a sind, welche nicht Teiler dieser Pseudoprinzahlen sind, nennt man Carmichael-Zahlen.

Besonders in diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik von Pseudoprimzahlen: sie werden von den Algorithmen fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren Primzahltests verwendet werden, die mit einer sehr hohen Wahrscheinlichkeit Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen unterscheiden können. Diese Wahrscheinlichkeit ist bei Verwendung des kleinen Satzes von Fermat als Basis allein nicht hoch genug, es gibt aber sicherere Primzahltests.

Binomialkoeffizient

Aus dem Satz von Wilson (p ist genau dann eine Primzahl, wenn $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$ ist) folgt, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n die Kongruenz

{{np-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}

erfüllt ist.

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p>2 diese Kongruenz gilt:

{{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p>3 die folgende Kongruenz gilt:

{{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}

Größte Primzahl

Euklid hat sich mit der Frage beschäftigt, ob es endlich viele, oder unendlich viele Primzahlen gibt. Mit seinem Euklidschen Satz hat er gezeigt, dass die Annahme, es gebe nur endlich viele Primzahlen, zu einem Widerspruch führt, und damit bewiesen, daß es unendlich viele Primzahlen geben muss. Nach ihm haben das noch einige andere gezeigt .

Die derzeit größte bekannte Primzahl ist $2^{24.036.583}-1$ , eine Zahl mit 7.235.733 Dezimalstellen, gefunden im Mai 2004. Für den ersten Primzahlbeweis einer Zahl mit mehr als 10 Millionen Stellen hat die Electronic Frontier Foundation einen Preis von 100.000 US-Dollar ausgeschrieben.

Verteilung der Primzahlen

Man hat sich natürlich auch Gedanken darüber gemacht, wie viele Primzahlen es in einem begrenzten Bereich von 1 bis z.B. 1.000.000 gibt. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert.

Die Funktion für die Verteilung ist $\pi (x)$ , wobei die Anzahl der Primzahlen bis zur Grenze x zurückgeliefert wird. Beispiel:

\pi (10)=4\ ;\ \pi (100)=25\ ;\ \pi (1000)=168

Verschiedene Mathematiker haben sich nun daran gemacht, Funktionen zu finden, die sich $\pi (x)$ annähern.

Die Näherung von Carl Friedrich Gauß 1792 lautet:

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}

Siehe auch: Primzahlsatz

Spezielle Primzahlen

Warum ist die 1 keine Primzahl?

Die einfachste (und von Mathematikern gern gegebene) Antwort zitiert die Definition:

Die Zahl 1 hat nur einen natürlichen Teiler (die 1). Eine natürliche Zahl ist genau dann Primzahl, wenn sie genau 2 natürliche Teiler hat.

Eine Motivation für diese Definition geben dagegen diese Antworten:

Damit man eine eindeutige Primfaktorzerlegung bekommt (man hätte sonst beliebig viele 1-Faktoren mit drin).
Weil 1 eine Einheit ist (siehe den Artikel Primelement).
Weil man ansonsten bei nahezu allen Aussagen über Primzahlen schreiben müsste: „Für alle Primzahlen mit Ausnahme der 1 gilt...“. Beispielsweise in der Theorie der endlichen Körper.

Verallgemeinerung

Verallgemeinerungen des Begriffs Primzahl auf beliebige Ringe sind die Begriffe Primelement und irreduzibles Element. Zum Beispiel sind in den ganzen Zahlen auch die Negativen der Primzahlen sowohl Primelemente als auch irreduzible Elemente. In einigen anderen Ringen unterscheiden sich jedoch diese beiden Begriffe.

Siehe auch

Literatur

The New Book of Prime Number Records, Paolo Ribenboim, Springer Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5

Weblinks

http://www.primzahlen.de
http://www.utm.edu/research/primes/
http://www.utm.edu/research/primes/howmany.shtml
http://www.heise.de/newsticker/data/as-02.12.03-000/
http://www.mersenne.org/freesoft.htm - Mit GIMPS Primzahlen finden
http://www.informatik.uni-frankfurt.de/~fp/Tools/Sieve.html
http://members.surfeu.fi/kklaine/primebear.html - The Prime Number Shitting Bear