Homogene Funktion

Eine mathematische Funktion heißt homogen vom Grad $n$, wenn bei proportionaler Änderung aller Variablen um den Proportionalitätsfaktor $\alpha$ sich der Funktionswert um den Faktor $\alpha ^{n}$ ändert.

Funktionen dieses Typs sind zum Beispiel in den Wirtschaftswissenschaften und in den Naturwissenschaften wichtig.

Definition

Eine Funktion auf dem $k$-dimensionalen reellen Koordinatenraum

$\Phi \colon \mathbb {R} ^{k}\rightarrow \mathbb {R}$

heißt homogen vom Grad $n$ genau dann, wenn für alle $\alpha ,x_{i}\in \mathbb {R}$

$\Phi (\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{k})=\alpha ^{n}\cdot \Phi (x_{1},\ldots ,x_{k})$

gilt.

Beispiele aus den Wirtschaftswissenschaften

In der Mikroökonomie ist eine (Produktions-)Funktion homogen vom Grad $r$, wenn für eine beliebige reelle Zahl $\alpha$

$f(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})=\alpha ^{r}f(x_{1},\ldots ,x_{n})$

erfüllt ist.

Ist $r>1$, heißt die Funktion überlinear homogen, bei $r=1$ linear homogen und sonst ($r<1$) unterlinear homogen. Bei einer linear homogenen Produktionsfunktion führt eine Erhöhung des Faktoreinsatzes um $z$ Prozent zur Erhöhung des Outputs um $z$ Prozent.

Bei homogenen Produktionsfunktionen stimmt der Homogenitätsgrad mit der Skalenelastizität (nur in einer Richtung) überein. Überlinear homogene Produktionsfunktionen weisen steigende, linear homogene konstante und unterlinear homogene abnehmende Skalenerträge auf. Der Umkehrschluss, von Skalenerträgen auf den Homogenitätsgrad zu schließen, ist jedoch nicht möglich, weil bei Skalenerträgen auch das Faktoreinsatzverhältnis zu ihrer Erzielung geändert werden kann, zur Feststellung der Homogenitätseigenschaft jedoch nicht.

Individuelle Nachfragefunktionen $x=x(p,E)$ stellen einen Zusammenhang zwischen Preisen $p$, Einkommen $E$ und den nachgefragten Mengen $x$ nach den Gütern dar. Kommt es z. B. im Zuge einer Währungsumstellung (von DM zu Euro) zu einer Halbierung aller Preise und der Einkommen und wird dies von den Individuen vollständig berücksichtigt (Freiheit von Geldwertillusion), so werden sich die nachgefragten Mengen nicht ändern. Das heißt, es gilt:

$\alpha ^{0}x=x(\alpha p,\alpha E)$

Nachfragefunktionen sind somit homogen vom Grad 0 in den Variablen Preise und Einkommen (Nullhomogenität).

Produktionsfunktionen $y=f(x_{1},\dots ,x_{n})$ stellen einen Zusammenhang zwischen Inputs $x_{i}$ und dem zugehörigen Output $y$ her. Kommt es dann in der Produktion jeweils bei proportionaler Änderung (z. B. Verdoppelung) aller Inputs zu einer entsprechenden proportionalen Änderung (Verdoppelung) des Outputs, so gilt:

$\alpha ^{1}y=f(\alpha x_{1},\dots ,\alpha x_{n})$

Eine solche Produktionsfunktion wäre dann homogen mit dem Homogenitätsgrad 1 (linear homogen).

Homothetie

Bei ordinalen Nutzenfunktionen ist die Annahme der Homogenität nicht sinnvoll, weil eine streng monoton wachsende Transformation $T(u)$ einer Nutzenfunktion $u$ dieselben Präferenzen repräsentiert wie die Funktion $u$ selbst. Eine homothetische Nutzenfunktion ist eine streng monoton wachsende Transformation einer homogenen Nutzenfunktion. Bei Nutzenfunktionen mit dieser Eigenschaft verlaufen die Engelkurven linear.

Beispiel: Sei $u(x,y)={\sqrt {xy}}$ und $T(u)=\ln {u}$. Offensichtlich ist die Nutzenfunktion linear-homogen. Ihre Transformation ist inhomogen, aber homothetisch; sie repräsentiert dieselbe Präferenzordnung.

Positive Homogenität

Eine Funktion $\Phi :\mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}\to \mathbb {R}$ heißt positiv homogen vom Grad $\lambda \in \mathbb {R}$, falls

$\Phi (tx_{1},\ldots ,tx_{k})=t^{\lambda }\cdot \Phi (x_{1},\ldots ,x_{k})$

für alle $t>0$ und alle $x\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}$ gilt.

Im Unterschied zu homogenen Funktionen brauchen positiv homogene Funktionen nur auf $\mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}$ definiert zu sein und der Homogenitätsgrad $\lambda$ kann jede beliebige reelle Zahl sein.

Für solche Funktionen gibt der Eulersche Satz (oder Euler-Theorem) über positiv homogene Funktionen eine äquivalente Charakterisierung an:

Eine differenzierbare Funktion $\Phi :\mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}\to \mathbb {R}$ ist genau dann positiv homogen vom Grad $\lambda >0$ wenn gilt

$\lambda \cdot \Phi (x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}\quad {\text{(Eulersche Homogenitätsrelation)}}$

für alle $x\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}$.

Eine positiv homogene Funktion kann also auf einfache Weise durch die partiellen Ableitungen und Koordinaten dargestellt werden.

Diese Tatsache wird in der Physik sehr häufig benutzt, vor allem in der Thermodynamik, da die dort auftretenden intensiven und extensiven Zustandsgrößen homogene Funktionen nullten bzw. ersten Grads sind. Konkret benutzt man dies z. B. in der Herleitung der Euler-Gleichung für die innere Energie.

In den Wirtschaftswissenschaften folgt aus dem Euler'schen Theorem für Produktionsfunktionen vom Homogenitätsgrad 1 bei den Faktorpreisen $q_{i}$ und dem Güterpreis $p$

$y=f(x_{1},\ldots ,x_{k})=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\cdot x_{i}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {q_{i}}{p}}\cdot x_{i}\;\;\Rightarrow \;\;p\cdot y=\sum _{i=1}^{k}q_{i}\cdot x_{i}.$

Bei linear homogenen Produktionsfunktionen ist der Wert des Produkts gleich den Faktorkosten (siehe auch: Ausschöpfungstheorem).

Herleitung des Euler-Theorems

Gegeben sei zunächst eine positiv homogene differenzierbare Funktion $\Phi :\mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}\to \mathbb {R}$. Es gilt also $\Phi (t\cdot x)=t^{\lambda }\Phi (x)$. Differentiation der linken Seite nach $t$ liefert mit der Kettenregel

${\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial (t\cdot x_{j})}}(t\cdot x)\cdot x_{j}.$

Differentiation der rechten Seite nach $t$ liefert hingegen

${\frac {d}{dt}}t^{\lambda }\Phi (x)=\lambda \cdot t^{\lambda -1}\cdot \Phi (x).$

Durch Einsetzen von $t=1$ folgt die Eulersche Homogenitätsrelation.

Umgekehrt sei nun eine differenzierbare Funktion $\Phi :\mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}\to \mathbb {R}$ gegeben, die die Eulersche Homogenitätsrelation erfüllt. Zu gegebenem $x\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{0\}$ betrachten wir die reelle Funktion $f(t):=\Phi (t\cdot x),t>0$. Wegen der Homogenitätsrelation erfüllt $f$ die Differentialgleichung erster Ordnung

$f'(t)={\frac {d}{dt}}\Phi (t\cdot x)=t^{-1}\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}(t\cdot x)\cdot x_{j}t={\frac {\lambda }{t}}\Phi (t\cdot x)={\frac {\lambda }{t}}f(t)$

mit der Anfangsbedingung $f(t=1)=\Phi (x)$. Die einzige Lösung dieses Anfangswertproblems ist offenbar $f(t)=t^{\lambda }\cdot \Phi (x)$. Das bedeutet aber, dass $\Phi (t\cdot x)=t^{\lambda }\cdot \Phi (x)$.

Siehe auch

• Homogenes Polynom
• Eulersches Theorem (Ökonomie)

Literatur

• L. D. Kudryavtsev: Homogeneous function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).