Benutzer Diskussion:Matthy/2004-1
Hallo,
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Du hast die Links auf "metrischer Raum" und "ganze Zahlen" aus der Liste spezieller Hausdorff-Räume als Halbwahrheiten entfernt. Was genau meinst du damit? Dass die ganzen Zahlen per se keine topologische Struktur haben, ist mir klar, was was ist mit metrischen Räumen? Möchtest du da zu stehen haben, dass ein metrischer Raum einen Hausdorff-Raum induziert, und nicht selbst einer ist? --SirJective 19:10, 30. Mai 2004 (CEST)
Die Antwort auf die Frage von SirJective:
Ein metrischer Raum ist natuerlich kein Spezialfall von Hausdorffraum. genauso wenig wie ein Koerper ein Spezialfall von abelscher Gruppe ist. Bei einem metrischen Raum ist eine zusaetzliche Struktur erforderlich naemlich die Metrik. Diese kann nicht aus der Topologie rekonstruiert werden. So besizt der 7 elementige diskrete Topologische Raum eine vielzahl von Metriken die seine Topologie induzieren.
Am besten mache man sich die Situation Kategorien-Theoretisch klar. Wenn man die Kategorie den "kanonischen" VERGISS-Funktor von der Kategorie der Metrischen Raeume in die Kategorie der Toplogischen Raeume betrachtet, so ist dieser keine Einbettung. D.h. man kann die Kategorie der Metrischen Raeume nicht als Unterkategorie der Topologischen Raeume ansehen. Um das Wort Spezialfall korrekt zu verwenden, muesste sich aber eine Unterkategorie sein.
Aber man metriesierbarer topologischer Raum als Spezialfall von topologischen Raum ansehen.