Energieerhaltungssatz

Der Energieerhaltungssatz drückt die Erfahrungstatsache aus, dass die Energie eine Erhaltungsgröße ist, dass also die Gesamtenergie eines isolierten Systems sich nicht mit der Zeit ändert. Zwar kann Energie zwischen verschiedenen Energieformen umgewandelt werden, beispielsweise von Bewegungsenergie in Wärmeenergie. Energie kann auch aus einem System oder in ein System transportiert werden. Es ist jedoch nicht möglich, Energie zu erzeugen oder zu vernichten. Die Energieerhaltung gilt als wichtiges Prinzip aller Naturwissenschaften.

Unter einem abgeschlossenen System versteht man ein System ohne Energie-, Informations- oder Stoffaustausch und ohne Wechselwirkung mit der Umgebung.

Der Energieerhaltungssatz lässt sich theoretisch mit Hilfe des Noether-Theorems aus der Annahme ableiten, dass die für das System gültigen Gesetze der Physik nicht von der Zeit abhängen.

Umgangssprache

Im physikalischen Sinne des Energieerhaltungssatzes ist ein „Verlust“ von Energie nicht möglich. Wenn trotzdem umgangssprachlich von „Energieverbrauch“, „Energieverschwendung“, „Energiesparen“ und „Energieverlust“ gesprochen wird, dann deshalb, weil erstens die Erde kein abgeschlossenes System ist und zweitens der Mensch und andere Lebewesen Energie nur in bestimmten Formen nutzen können; die genannten Begriffe beschreiben den Verlust von technisch leicht nutzbaren oder biologisch nutzbaren Energieformen. Ebenso unmöglich ist es, Energie zu erzeugen; mit der umgangssprachlichen „Energieerzeugung“ ist vielmehr die Umwandlung vorhandener Energie in eine für den Menschen nutzbare Form, meist elektrische Energie, gemeint.

Bei den meisten heute gebräuchlichen Arten von Energieumwandlung werden Energieträger mit einer geringen oder spezifischen Entropie in Formen mit höherer Entropie umgewandelt. Ein Kraftfahrzeug wandelt beispielsweise chemische Energie, die ursprünglich aus Erdöl oder Rapsöl stammt, um in kinetische Energie und thermische Energie. Da Erdöl nicht regenerierbar ist, spricht man von einem Energieverlust in dem Sinne, dass diese spezielle Form chemischer Energie mit niedriger Entropie für zukünftige Generationen oder für andere Zwecke verlorengeht.

Von Verschwendung wird häufig dann gesprochen, wenn Rohstoffe für die Erzeugung von Luxusgütern verwendet werden, während gleichzeitig Mangel an Nahrungsmitteln herrscht. Bei jeder der Umwandlungsarten, die heute gebräuchlich sind, wird nur ein Teil der im Energieträger vorhandenen Energie in nutzbare Energie umgewandelt. Von Energiesparen spricht man daher, wenn sich der Wirkungsgrad des Energieerzeugungsprozesses oder eines Gerätes durch technischen Fortschritt erhöht, so dass weniger Rohstoff mehr nutzbare Energie liefert oder mit weniger Energie mehr Leistung durch geringeren Energieverlust erzielt wird.

Geschichte

Als Erster hat der Arzt Julius Robert von Mayer (1814-1878) den Energieerhaltungssatz formuliert. Er hat 1842 durch Versuche nachgewiesen, dass Bewegungsenergie bei vollständiger Umwandlung in Wärme stets die gleiche Wärmemenge ergibt, und den Wert dieses „mechanischen Wärmeäquivalents“ bestimmt. Unabhängig von Mayer taten dies auch 1843 James Prescott Joule – dessen Arbeiten damals weit bekannter waren – und weitere Physiker und Ingenieure wie Ludwig August Colding in Dänemark (ebenfalls 1843). Endgültig ausformuliert wurde der Energieerhaltungssatz 1847 von Hermann von Helmholtz. Er berichtete in Berlin am 23. Juli 1847 über die Konstanz der Kraft und untermauerte den Energieerhaltungssatz.

Der Energieerhaltungssatz ist in der Geschichte der Physik nicht immer unumstritten gewesen. Das berühmteste Beispiel ist Niels Bohr, der bei mehreren Gelegenheiten nur eine statistische (gemittelte) Erhaltung der Energie bei Quantenprozessen befürwortete, so in der sogenannten BKS-Theorie 1924 mit John C. Slater und Hendrik Anthony Kramers. Diese sollte die ältere Quantentheorie mit der klassischen elektromagnetischen Feldvorstellung in Einklang bringen. Wenig später wurde diese Theorie durch Experimente von Compton und auch Hans Geiger und Walther Bothe widerlegt und die Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes auch auf Quantenebene bestätigt. Auch später versuchte Bohr, manche zunächst rätselhaften Quantenphänomene mit einer nur statistischen Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes zu erklären, so beim Betazerfall; die dort "fehlende" Energie der beobachteten Zerfallsprodukte wurde jedoch von Wolfgang Pauli durch das Postulat eines neuen, nur schwach wechselwirkenden Teilchens, des Neutrinos, erklärt.

Heute gilt der Energieerhaltungssatz bei der überwiegenden Mehrzahl der Physiker als etabliert und wird sogar häufig zur Definition der Energie herangezogen.

Energieerhaltungssatz in der Newtonschen Mechanik

Zwei beliebige Wege in einem konservativen Kraftfeld.

Bei Bewegung von Teilchen in einem konservativen Kraftfeld ist die Summe von kinetischer Energie $T$ und potentieller Energie $V,$ die Gesamtenergie $E=T+V,$ erhalten. Dabei ist die Kraft der negative Gradient der potentiellen Energie (oftmals im Jargon auch einfach als Potential bezeichnet)

$\mathbf {F} =-\nabla V$.

Bewegt sich ein Teilchen mit der Zeit $t$ in solch einem Kraftfeld auf beliebigen Wegen $\mathbf {x} (t)$ von einem Startpunkt zu einem Ziel, so ist für die Arbeit, die dabei am Teilchen verrichtet wird, der Weg unerheblich. Unabhängig vom Weg ist die geleistete Arbeit die Differenz der potentiellen Energien an Start und Ziel.

Für ein Teilchen mit konstanter Masse in einem Potential $V$ gelten die Newtonschen Bewegungsgleichungen in der folgenden Form:

$m{\ddot {\mathbf {x} }}=\mathbf {F} =-\nabla V$

und ferner:

${\begin{aligned}m{\ddot {\mathbf {x} }}(t)\cdot {\dot {\mathbf {x} }}(t)&=-{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \nabla V(x)\\&=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {dx_{i}(t)}{dt}}\cdot {\frac {\partial V(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}\\&=-{\frac {dV}{dt}}(t)\end{aligned}}$

Eine Integration nach der Zeit liefert nun die benötigte Arbeit entlang einer beliebigen (stückweise stetig differenzierbaren) physikalischen Bahn mit der jeweiligen potentiellen Energie $V_{1}$ am Start und $V_{2}$ am Ziel:

${\begin{aligned}m\int _{t1}^{t2}{\ddot {\mathbf {x} }}(t)\cdot {\dot {\mathbf {x} }}(t)\;dt&=-\int _{V1}^{V2}dV\\T_{2}-T_{1}&=-V_{2}+V_{1}\end{aligned}}$

wobei $\textstyle m{\ddot {\mathbf {x} }}\cdot {\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d}{dt}}{\frac {m}{2}}({\dot {\mathbf {x} }})^{2}$ als zeitlich abgeleitete kinetische Energie identifiziert wurde, die durch die am Teilchen verrichtete Arbeit erhöht wird.

Ordnet man die Terme um, so erhält man:

$T_{1}+V_{1}=T_{2}+V_{2}.$

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist nach einer Verschiebung des Körpers noch dieselbe. Dies ist der Energieerhaltungssatz.

Kann, beispielsweise bei einem Pendel, die Reibung vernachlässigt werden, so ändert sich die Summe von potentieller und kinetischer Energie nicht mit der Zeit. Lenkt man das Pendel aus, so schwingt es zwischen zwei Umkehrpunkten und erreicht seine höchste Geschwindigkeit am Ort des Potentialminimums. An den Umkehrpunkten ist die kinetische Energie Null und die potentielle Energie maximal. Unabhängig von der Position des Pendels hat die Summe aus kinetischer und potentieller Energie den durch die anfängliche Auslenkung vorgegebenen Wert.

Energieerhaltungssatz in der Thermodynamik

Jedes thermodynamische System verfügt über einen bestimmten „Vorrat“ an Energie. Dieser setzt sich aus einem äußeren Anteil $E_{\text{a}}$ und einem inneren Anteil $E_{\text{i}}$ (innere Energie) zusammen. Die Summe aus beiden Anteilen ergibt die Gesamtenergie eines thermodynamischen Systems, wobei man in der chemischen Thermodynamik die Änderung des äußeren Anteils gleich Null setzt ($\mathrm {d} E_{a}=0$). Unter dieser Voraussetzung gelangt man zum ersten Hauptsatz der Thermodynamik:

„Die innere Energie ist eine Eigenschaft der stofflichen Bestandteile eines Systems und kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. Die innere Energie ist eine Zustandsgröße.“

Für abgeschlossene Systeme gilt daher, dass die innere Energie konstant und demzufolge ihre Änderung gleich Null ist. Für geschlossene Systeme lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik:

$\qquad \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W$

mit der inneren Energie $U$, der Wärme $Q$ und der Arbeit $W$.

Energieerhaltungssatz in der Elektrodynamik

Elektromagnetische Felder sind oft nur ein Teilsystem, das an andere Systeme, zum Beispiel geladene Teilchen mit einer gewissen Ladung, Masse und Geschwindigkeit, gekoppelt ist. Die Energiebilanz in der Elektrodynamik, also der Energiestrom in Feldern und der Austausch mit anderen Teilsystemen, wird durch den Satz von Poynting beschrieben.

Energieerhaltungssatz in der Relativitätstheorie

Ein relativistisches Teilchen der (Ruhe-)Masse $m$, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, hat die Energie

$E(v)={\frac {m\,c^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$,

wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. In Ruhe beträgt die Energie

$E_{\text{Ruhe}}=mc^{2}$.

Für kleine Geschwindigkeiten (Taylorentwicklung in $(v/c)^{2}$) kommt zur Ruheenergie die Newtonsche kinetische Energie hinzu

$E\sim mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$.

Bei hochenergetischen Teilchen ist diese Näherung messbar falsch. Nur die Summe der relativistischen Energien ist in Teilchenreaktionen erhalten.

Energieerhaltungssatz in der Quantenmechanik

Die Energie quantenmechanischer Zustände ist erhalten, wenn der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt. Allerdings sind viele quantenmechanische Zustände, nämlich alle, die sich mit der Zeit messbar ändern, keine Energieeigenzustände. In ihnen ist aber zumindest der Erwartungswert der Energie erhalten.

Energieaustausch

Kann ein System Energie mit einem anderen System austauschen, beispielsweise durch Strahlung oder Wärmeleitung, dann spricht man von einem energetisch offenen System. Der Energieerhaltungssatz besagt dabei: Die Energie, die in ein System hineinfließt, minus der Energie, die es verlässt, ist die Änderung der Energie des Systems. Durch Betrachtung der Energieströme des Systems kann man auf Abläufe innerhalb des Systems schließen, auch wenn sie selbst nicht beobachtet werden können.

Die Energie eines Systems lässt sich nicht direkt messen: wenn man von der gravitativen Auswirkung von Energie absieht, so wirken sich nur Energieunterschiede messbar aus.

Noether-Theorem

In der Lagrangeschen Mechanik ergibt sich Energieerhaltung aus dem Noether-Theorem, wenn die Wirkung unter zeitlichen Verschiebungen invariant ist.