Fortsetzungssatz von Dugundji

Der Fortsetzungssatz von Dugundji (engl. Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula) ist ein Lehrsatz der Allgemeinen Topologie, welcher auf den amerikanischen Mathematiker James Dugundji (1919–1985) zurückgeht. Er ist direkt verknüpft mit dem Satz von Tietze-Urysohn über die Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Räume, von dem er in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung darstellt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien ein metrischer Raum $X$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge $A\subseteq X$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum $L$.

Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung $f\colon A\rightarrow L$ eine stetige Fortsetzung auf $X$, also eine stetige Abbildung $F\colon X\rightarrow L$ mit $F{{\upharpoonright }A}=f$, welche so beschaffen ist, dass der Bildbereich $F(X)$ von der konvexen Hülle von $f(A)$ umfasst wird.

In etwas abgewandelter, aber gleichwertiger Form lässt sich der Fortsetzungssatz von Dugundji auch so darstellen:

Gegeben seien ein metrischer Raum $X$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge $A\subseteq X$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum $L$ und darin eine konvexe Teilmenge $K\subseteq L$ . Weiterhin sei $f\colon A\rightarrow K$ eine stetige Abbildung.

Dann besitzt $f$ eine stetige Fortsetzung $F\colon X\rightarrow K$.

Einordnung des Satzes

Der Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert für normale topologische Räume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall, dass der Wertebereich $K$ der zugrundeliegenden stetigen Abbildung $f\colon A\rightarrow K$ ein aus Intervallen von $\mathbb {R}$ zusammengesetzter Produktraum, etwa ein ${\mathbb {R} }^{n}$ , ist. Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage, die jedoch erst dadurch möglich wird, dass statt eines normalen topologischen Raums $X$ ein metrischer Raum $X$ zugrundegelegt wird: Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft.

Literatur

Originalarbeiten

• James Dugundji: An extension of Tietze's theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 1, Nr. 3, 1951, ISSN 0030-8730, S. 353–367 (online [PDF]).  MR0044116.

Monographien

• Czesław Bessaga, Aleksander Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology (= Monografie Matematyczne. Band 58, ISSN 0077-0507). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1975.  MR0478168.
• Karol Borsuk: Theory of Retracts (= Monografie Matematyczne. Band 44). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1967.  MR0216473.
• James Dugundji: Topology. 8th printing. Allyn and Bacon, Boston MA 1973. 
• Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed Point Theory (= Springer Monographs in Mathematics). Springer, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-00173-5.  MR1987179.
• Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2.  MR0974296.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277.

Weblink

• Originalarbeit von Dugundji