Benutzer:Kmhkmh/sandbox13

$\gamma _{1}=\gamma _{2}\,\Rightarrow \,{\tfrac {|AC|}{|BC|}}={\tfrac {|AD|}{|BD|}}$

Der Winkelhalbierendensatz ist eine Aussage der Elementargeometrie. Sie besagt, dass die Winkelhalbierende in einem Dreieck die dem Winkel gegenüberliegenden Seite im Verhältnis der beidem am Winkel anliegenden Seiten teilt.

Satz und Verallgemeinerung

In einen Dreieck $\triangle ABC$ sei $D$D ein Punkt auf der Seite $AB$. Die Strecke $CD$ teilt den Winkel $\angle ACB$ in die Winkel $\gamma _{1}=\angle ACD$ und $\gamma _{2}=\angle DCB$. Sind diese beiden Winkel gleich groß, das heißt $CD$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ACB$, so gilt das folgende Streckenverhältnis:

${\frac {|AC|}{|BC|}}={\frac {|AD|}{DB|}}$.

Diese Aussage lässt sich auch auf Strecken CD verallgemeinern, die den Winkel in einem beliebigen Verhältnis teilen, es gilt dass die folgende Verhältnisgleichung:

${\frac {|AC|\sin(\gamma _{2})}{|BC|\sin(\gamma _{1})}}={\tfrac {|AD|}{|DB|}}$

Literatur

• Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 9783827430250, S. 161
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 9783662454619, S. 66

Weblinks

• proof of the angle bisector theorem bei der Khan Academy (Video, English)
• angle bisector theorem auf cut-the-knot.org

• http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/Apollonios.pdf