Diskussion:Fünfzehneck

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Vorlage:Autoarchiv-Erledigt/Wartung/Festes_Ziel

Berechnung des Umkreisradius

• In Berechnungschritt 5 klammerst du aus dem Term $a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)$ den Term ${\frac {1}{2}}$ aus, nur um ihn im Schritt 5 6 wieder hineinzumultiplizieren: Aus $a\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)$ wird $a\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)$. Da könnte man sich das herausziehen doch eigentlich sparen, oder?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:46, 26. Sep. 2015 (CEST)

Irgendwie stehe ich da auf der Leitung: Das Ausklammern des Therms ${\frac {1}{2}}$ nach $a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)$ ist der letzte Schritt der zum Ergebnis führt. Bitte zeige deinen Vorschlag als gesamte Zeile (5).

--Petrus3743 (Diskussion) 19:09, 26. Sep. 2015 (CEST)

Entschuldigung. Ich meinte „um ihn im Schritt 6 wieder hineinzumultiplizieren“.

${\begin{aligned}{\mathsf {(5)}}\;{\overline {E_{2}F}}&=a+{\overline {E_{1}F}}=a+a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)=a\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)\\&=a\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right){\color {Red}{\text{Hier fehlt nun das Ausklammern von }}{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}$

${\mathsf {(6)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $DE_{2}G$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {E_{2}G}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}$

${\begin{aligned}{\overline {DG}}\;&={\sqrt {{{\overline {E_{2}G}}^{2}}-{{\overline {DE_{2}}}^{2}}}}={\sqrt {{\color {Red}a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)}^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\\&=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {5}{4}}-{\frac {1}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot \left(5+2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}\end{aligned}}$
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:23, 26. Sep. 2015 (CEST)

Ja, jetzt habe ich es verstanden. So machen wir es. Kannst du das wieder einarbeiten? Achtung ein Quadratzeichen in Zeile (6) (DG = ... roter Therm) ist verrutscht

--Petrus3743 (Diskussion) 21:22, 26. Sep. 2015 (CEST)

Gemacht. Kannst du bitte nochmal drauf gucken, ob ich was verbockt habe?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:03, 27. Sep. 2015 (CEST)

Da auf meinem Bildschirm die Schrift "nach Konstruktion, Schritt 9" sehr groß erscheint und sich dadurch vom üblichen Text stark unterscheidet, habe ich folgendes probiert:

${\mathsf {(8)}}$ Nach Konstruktion, Schritt 9 gilt:

${\begin{aligned}{\mathsf {\;}}R&={\overline {E_{2}M}}={\overline {CG}}\\&={\overline {DG}}+{\overline {DC}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}\right)+a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}$

Ich habe bemerkt in der "\begin{align}-Umgebung" ist das Abstandszeichen "\:" nicht erforderlich.

--Petrus3743 (Diskussion) 19:17, 27. Sep. 2015 (CEST)

Ja, das ist die Latex-Schrift. Die wird (wie die gesamte math-Umgebung) nicht wirklich richtig gerendert.

Bezüglich des Abstandszeichens nehme ich an, du meinst \; (Semikolon statt Doppelpunkt). Ob das erforderlich ist, hängt von der Umgebung ab. Zwar werden keine Abstände gebraucht, um die Gleichheitszeichen untereinander auszurichten (das macht die align-Umgebung), aber um die Formeln selbst zu setzen (Abstände zwischen Multiplikationspunkten etc. oder in Texten) sind sie durchaus erforderlich.

Ich habe mal das unnötige „\mathsf” (das einen Text erzeugt, aber keinen Text zum Erzeugen in geschweiften Klammern übergeben kriegt) aus deiner korrigierten Formel entfernt.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:41, 3. Okt. 2015 (CEST)

Ja, ich meinte "\;". Ist in den Artikelentwurf ohne „\mathsf” eingearbeitet erledigtErledigt

Meinen Eintrag aktualisiert.

--Petrus3743 (Diskussion) 22:33, 3. Okt. 2015 (CEST)

• Werden bei der zweiten Skizze die Kreisbögen links von ${\overline {CG}}$ gebraucht?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:52, 26. Sep. 2015 (CEST)

Sie helfen m. E. beim Verständnis wie der Punkt G erzeugt wird, Ich habe alle Punktebezeichnungen die im Folgenden nicht gebraucht werden entfenrt.

--Petrus3743 (Diskussion) 18:17, 26. Sep. 2015 (CEST)

Ich habe da nur einen flüchtigen Blick drauf geworfen und gar nicht gemerkt, dass sie alle $G$ erzeugen. erledigtErledigt
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:37, 26. Sep. 2015 (CEST)

Beweisskizze, Fünfzehneck bei gegebener Seitenlänge

• Die Werte für ${\overline {CE_{2}}}$ und ${\overline {DE_{2}}}$ werden nirgends „berechnet”/vor ihrer Benutzung erwähnt. (Zeile 7)
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:59, 26. Sep. 2015 (CEST)

Danke, ${\overline {CE_{2}}}$ habe ich soeben in Zeile 1 in der Probeansicht definiert, ${\overline {DE_{2}}}$ ist in Zeile (2) definiert.

--Petrus3743 (Diskussion) 18:17, 26. Sep. 2015 (CEST)

Oh, das habe ich wohl überlesen.

Pflegst du selbst eine Liste, was noch aus der Probeansicht in den Artikelentwurf verschoben werden muss? Nicht dass wir nachher etwas vergessen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:31, 26. Sep. 2015 (CEST)

Nein, wir sollten wieder ein TO DO anlegen, wenn du mit meinem Vorschlag einverstanden bist.

In Artikelentwurf eingearbeitet. erledigtErledigt

--Petrus3743 (Diskussion) 19:45, 26. Sep. 2015 (CEST)

Nachtrag. Für die Vollständigkeit (fürs Nichtvergessen) sehe ich mir die Probeansicht an.

--Petrus3743 (Diskussion) 18:55, 26. Sep. 2015 (CEST)

OK. Meine Änderungen schreibe ich nämlich hier (To Do) auf oder pflege sie direkt ein, ich weiß nur nicht, was mit deinen Änderungen passiert, nachdem du „In Artikelentwurf eingearbeitet. erledigtErledigt“ schreibst.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:23, 26. Sep. 2015 (CEST)

Stimmt, da war ich zu bequem um ein TO DO anzulegen, soll eine Ausnahme bleiben!

--Petrus3743 (Diskussion) 21:27, 26. Sep. 2015 (CEST)

Solange du den Überblich über deine Änderungen behältst, ist mir das recht.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:03, 27. Sep. 2015 (CEST)

• Woraus ergibt sich, dass $R={\overline {CG}}$? (Zeile 8)
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:02, 26. Sep. 2015 (CEST)

Gute Frage:

$R={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a={\overline {DG}}+{\overline {DC}}={\overline {CG}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)$

Wie könnte man das noch besser formulieren?

--Petrus3743 (Diskussion) 18:42, 26. Sep. 2015 (CEST)

Naja, da ist jetzt die Frage, warum $R={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a$und warum ${\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a={\overline {DG}}+{\overline {DC}}$

Konstruktiv wird zuerst ${\overline {CG}}$ erledigt, es wäre evtl. sinnvoll, wenn wir einen Beweis einfügen könnten bezüglich ${\overline {CG}}=R.$ Wenn du es als erforderlich ansiehst, denke bitte auch einmal darüber nach.

Ich habe mir gerade nochmal die Konstruktion angesehen. Da wird ${\overline {MC}}$ durch Abtragen von ${\overline {CG}}$ erzeugt. Damit ist ein Beweis hinfällig; es genügt wieder ein „nach Konstruktion”.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:03, 27. Sep. 2015 (CEST)

--Petrus3743 (Diskussion) 21:22, 26. Sep. 2015 (CEST)

Zu deiner Frage: Hier ist deutlich der Zusammenhang $R={\overline {CG}}$ zusehen.

Danke für die Mühe. Hier ist es wirklich offensichtlich. Obwohl die Gleichheit von zwei Strecken zu sehen auch nicht gerade ein Beweis ist :)
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:03, 27. Sep. 2015 (CEST)

Hier fehlt natürlich noch der rechn. Beweis. Mir sind Bedenken gekommen: Macht das wirlich Sinn das auch noch aufzunehmen?

s.o.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:03, 27. Sep. 2015 (CEST)

O.K., dann lassen wir es so wie es ist.erledigtErledigt

--Petrus3743 (Diskussion) 17:56, 27. Sep. 2015 (CEST)

Bereits bekannt:

Prof. Schönbeck, Jürgen: VITA MATHEMATICA Euklid. Abbildung Elemente IV.16: Reguläres Fünfzehneck. In: Google Books. Springer Basel AG, S. 161, abgerufen am 31. August 2015. 

--Petrus3743 (Diskussion) 23:54, 26. Sep. 2015 (CEST)

• Übrigens hast du unsere Formeln für Inkreisradius r und Umkreisradius R mit Mathworld Pentadecagon (engl.) schon verglichen?(!)
  

--Petrus3743 (Diskussion) 11:46, 27. Sep. 2015 (CEST)

Ja habe ich, ich war sogar schon dabei, vorzuschlagen, diese Formeln zu übernehmen, weil sie kürzer sind. Ich war mir aber dann nicht mehr sicher, weil dort nirgends steht, in welcher Proportion die Größen zum Umkreisradius/zur Seitenlänge stehen. Da finde ich deine Formeln besser, weil aus ihnen eindeutig lineares Wachstum hervorgeht.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:03, 27. Sep. 2015 (CEST)

Nein, ich hätte sie nicht gerne übernommen, denn es wurden r und R verwechselt...:-))

--Petrus3743 (Diskussion) 17:56, 27. Sep. 2015 (CEST)

Nun gut, das hätte man auch beim Übertragen ändern können.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:02, 3. Okt. 2015 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 23:48, 3. Okt. 2015 (CEST)

Fünfeck in Konstruktionsskizze mit gegebener Seite

In den letzten drei Versionen der Skizze ist ein Fünfeck enthalten. Wenn es ein wichtiges Konstruktionselement (wie der Goldene Schnitt) ist, sollte es im Fließtext (z.B. der Einleitung der Konstruktion) erwähnt werden; quasi als Erläuterung, wie die Konstruktion funktioniert (ähnlich wie bei der Konstruktion mit gegebenem Umkreis). Ansonsten hat es meiner Meinung nach keinen Mehrwert für die Konstruktionsskizze und sollte raus.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:36, 26. Sep. 2015 (CEST)

Du meinst es reicht der folgende Einleitungssatz mit dem Link nicht? "Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Fünfecks bei gegebener Seite."

Petrus3743 (Diskussion) 15:48, 26. Sep. 2015 (CEST)

Nein, meine ich nicht. Dadurch wird ja nur erklärt, dass man zuerst ein Fünfeck zeichnet. Du solltest vielleicht erklären, warum und wie man aus einem gegebenen Fünfeck ein Fünfzehneck bauen kann. Nach Augenmaß würde ich ja raten, dass die Höhe des Fünfeckes wieder zum Goldenen Schnitt verlängert wird, aber das ist eben nur geraten.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:00, 26. Sep. 2015 (CEST)

Nun, da ist ein Mißverständnis. Es soll nicht zuerst ein (oder aus einem) Fünfeck gezeichnet werden (siehe auch die Animation), das eingetragene Fünfeck mit strichpunktierten Linie soll nur eine Assoziation auslösen. Die Streckenverhälnisse ${\frac {\overline {DG}}{\overline {DC}}}=1,776...>1,618...$, ${\frac {\overline {CG}}{\overline {DG}}}=1,562...<1,618...$. Vielleicht sollte ich es einfach herausnehmen...

--Petrus3743 (Diskussion) 16:46, 26. Sep. 2015 (CEST)

Wenn das Fünfeck tatsächlich nur der Schönheit/Belustigung (Ha! Dabei entsteht aus Versehen ein Fünfeck!) dient, sollte es in der Tat raus. Ist es aber ein Konstruktionsmerkmal wie der Goldene Schnitt, sollte es auf jeden Fall drin bleiben, aber eben mit Erklärung.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:09, 26. Sep. 2015 (CEST)

Vorschlag;

Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Fünfecks bei gegebener Seite, auch darin gelingt die Darstellung nur mittels Verlängerung der Seite und einer damit generierten Strecke die nach dem Goldenen Schnitt geteilt ist.

--Petrus3743 (Diskussion) 20:42, 26. Sep. 2015 (CEST)

Nachtrag: ... "nur" mittels Verlängerung... --Petrus3743 (Diskussion) 08:11, 27. Sep. 2015 (CEST)

Ist sichergestellt, dass das die einzige Möglichkeit ist?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:00, 27. Sep. 2015 (CEST)

Wenn wir "nur" weglassen sind wir auf der sicheren Seite.

--Petrus3743 (Diskussion) 18:43, 27. Sep. 2015 (CEST)

Sollte man darin auch den "Goldenen Schnitt" (wegen der Entfernung zum nächsten diesbezüglichen Link) verlinken?

--Petrus3743 (Diskussion) 12:01, 30. Sep. 2015 (CEST)

Ja, das wäre sinnvoll. Was hältst du davon, den Satz zu „[…] und einer damit generierten Strecke ${\overline {FE_{2}}}$, die […]“ zu ergänzen? (Komma nicht vergessen!)
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:55, 3. Okt. 2015 (CEST)

Danke, ist schon im Artikelentwurf eingarbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 16:42, 3. Okt. 2015 (CEST)

Bevor du den Satz einbindest, packe bitte das Komma noch in die Math-Umgebung. Sonst kann es unter Umständen zu einem Zeilenumbruch zwischen ${\overline {FE_{2}}}$ und dem Komma kommen. Also <math>\overline{FE_2}\text{,}</math>.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 23:29, 3. Okt. 2015 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Petrus3743 (Diskussion) 17:36, 3. Okt. 2015 (CEST)

Deinen Vorschlag in den Artikelentwurf eingearbeitet. Abschließende Frage: Warum mit "\text"?

--Petrus3743 (Diskussion) 00:12, 4. Okt. 2015 (CEST)

Versuche es doch einmal ohne ;). Das Komma wird von Latex als Trennzeichen interpretiert und nicht „gedruckt”. Daher die Formatierung als Text.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 00:29, 4. Okt. 2015 (CEST)

Konstruktion bei gegebener Seite

• Sind Angaben wie „Verlängern der Strecke um ca. eine Länge der Strecke” in der Praxis üblich? Mein Bauch sagt, solche Formulierungen passen nicht zum Exaktheitsanspruch einer Konstruktion. Was meinst du dazu? Eine Alternative wäre beispielsweise „2. Zeichnen einer (Halb-) Geraden g durch E₁ und E₂“.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:54, 26. Sep. 2015 (CEST)

Deine Formulierung ist besser, aber was fehlt ist eine ca. Längenangabe zur Geraden g. Die Konstruktion sollte auch möglich sein, wenn keine Skizze vorhanden ist.

--Petrus3743 (Diskussion) 16:14, 26. Sep. 2015 (CEST)

Eine Gerade ist immer unendlich lang.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:34, 26. Sep. 2015 (CEST)

Oh, ich meinte natürlich eine gerade Linie mit ca. Längenangabe.

--Petrus3743 (Diskussion) 17:30, 26. Sep. 2015 (CEST)

Ich verstehe jetzt nicht, was du damit meinst.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:39, 26. Sep. 2015 (CEST)

Pardon, ich musste erst wieder nachlesen. Eine gerade Linie ist eine Gerade. Wenn ich sage: "Ziehe mit dem Lineal eine gerade Linie", dann ist es eigentlich nicht korrekt. Es klappt nur eine Strecke ohne eingetragene Endpunkte... :-)

--Petrus3743 (Diskussion) 21:40, 26. Sep. 2015 (CEST)

• In der Konstruktion verwendest du mehrmals Formulierungen wie „Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E₁” / „Schnittpunkt mit der geraden Linie (ab C durch B)“. Was hältst du davon, die Dinger bei ihrer Konstruktion zu benennen und später auf diese Namen statt auf Beschreibungen zurückzugreifen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:54, 26. Sep. 2015 (CEST).

Deinen Vorschlag habe ich leider nicht verstanden, kannst du ein Beispiel eintragen?

--Petrus3743 (Diskussion) 16:14, 26. Sep. 2015 (CEST)

Sicher. Ich würde z.B. die Punkte 3 und 4 so umformulieren:

3. Zeichnen eines Kreisbogens k_x um E₁ mit dem Radius E₁E₂

4. Konstruktion einer Senkrechten zur Strecke E₁E₂ ab E₁; Schnittpunkt mit k_x ist A

[Der Index x sollte dann eigentlich 1 sein, aber der Index existiert schon. Die Indizes der späteren Konstruktionsschritte müssten dann auch angepasst werden. Ich würde „durch” statt „ab” E₁ bevorzugen, denn bei „ab” müsste auch noch eine Richtung angegeben sein.]
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:34, 26. Sep. 2015 (CEST)

• Die Schritte 5 und 6 dienen nur der Konstruktion einer Mittelsenkrechten zur gegebenen Seite, oder? Könnte man das nicht auch so schreiben? Dadurch wäre später bei den Berechnungen auch klar, warum D die Strecke genau halbiert.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:34, 26. Sep. 2015 (CEST)

• Mein Vorschlag zu den obigen drei Punkten: Die Beschreibung so zu lassen wie sie derzeit ist. M. E. ist sie einfach und doch verständlich. Die Längenangaben als Hilfe gebe ich in einer Konstruktionsbeschreibung gerne an. Natürlich würde sie einige Leser ganz individuell formulieren (aber doch jeder anders). Bezeichnet man jeden Bogen, Kreis etc. in der Zeichnung (habe ich versucht) wird sie damit nicht besser lesbar.
  

--Petrus3743 (Diskussion) 17:30, 26. Sep. 2015 (CEST)

Damit, die Anweisung bezüglich der ersten beiden Punkte so zu lassen, wie sie ist, kann ich leben. Denn dritten Punkt (die Mittelsenkrechte) finde ich allerdings schon artikelverbessernd, da der Berechnungsabschnitt durch die Ergänzung einfacher verständlich wird. Ein kurzer Kommentar wie „6. Zeichnen einer geraden Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte zu ${\overline {AB}}$) mit der Länge […]“ würde schon reichen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:01, 3. Okt. 2015 (CEST)

O. K. Wahrscheinlich hast du gemeint:" „6. Zeichnen einer geraden Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte von E₁E₂) mit der Länge etwas länger als dreimal die Strecke BC; Schnittpunkt mit E₁E₂ ist D". Kannst du es in ein TO DO aufnehmen? Ist in den Artikelentwurf eingearbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:56, 3. Okt. 2015 (CEST)

Ja, meinte ich. Danke.

Deine Formulierung ist etwas doppelt gemoppelt. „mit der Länge etwas länger als dreimal die Strecke ${\overline {BC}}$“ könnte man zu „mit etwas mehr als der dreifachen Länge von ${\overline {BC}}$“ oder „die etwas mehr als dreimal so lang wie ${\overline {BC}}$ ist” umformulieren.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 23:45, 3. Okt. 2015 (CEST)

Deinen Vorschlag: "6. Zeichnen einer geraden Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte von E₁E₂), die etwas mehr als dreimal so lang wie BC ist; Schnittpunkt mit E₁E₂ ist D" in den Artikelentwurf eingearbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 00:16, 4. Okt. 2015 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 00:30, 4. Okt. 2015 (CEST)

Konstruierbarkeit

Ich würde den Absatz zur Konstruierbarkeit, der derzeit so aussieht:

Das regelmäßige Fünfzehneck ist nach Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz und voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ($15=2^{0}\cdot 3\cdot 5$) darstellbar ist. Wie beim regelmäßigen Fünfeck ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

gerne folgendermaßen ändern:

Das regelmäßige Fünfzehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz und voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ($15=2^{0}\cdot 3\cdot 5$) darstellbar ist. Wie beim regelmäßigen Fünfeck ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Zwar wusste Gauß wohl, dass diese Bedingung für die Konstruierbarkeit gilt, aber Wantzel veröffentlichte den Beweis (Konstruierbares Polygon). Durch die Einbeziehung Gauß’ können wir auch die angegebene Quelle einbinden.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 00:27, 4. Okt. 2015 (CEST)

Gute Idee. Bitte arbeite in so ein.

--Petrus3743 (Diskussion) 00:44, 4. Okt. 2015 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 00:54, 4. Okt. 2015 (CEST)

Größe von Seitenlänge und Umkreisradius

Ich würde gerne bei der Herleitung der Seitenlänge und des Umkreisradius mithilfe des Innenwinkels folgenden Absatz ergänzen und den weiter vorne verwendeten Sinussatz verlinken:

Alternative Herleitungen, die die Kenntnis der Innenwinkel nicht voraussetzen, finden sich in den Abschnitten Berechnung der Seitenlänge und Berechnung des Umkreisradius.

())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 00:54, 4. Okt. 2015 (CEST)

Das ist gut, bitte so einarbeiten.

--Petrus3743 (Diskussion) 01:04, 4. Okt. 2015 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 01:15, 4. Okt. 2015 (CEST)

Erläuterung des Innenwinkels

Hier würde ich gerne

Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer $180^{\circ }$ beträgt und das Dreieck gleichschenklig und damit symmetrisch zur Winkelhalbierenden ist, schließen die beiden unbekannten Winkel jeweils ${\frac {180^{\circ }-24^{\circ }}{2}}={\frac {156^{\circ }}{2}}=78^{\circ }$ ein. Da das für alle fünfzehn Dreiecke gilt, addieren sich die beiden Winkel an einem Eckpunkt zu $156^{\circ }$.

zu

Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer $180^{\circ }$ beträgt und das Dreieck gleichschenklig und damit symmetrisch zur Halbierenden des Zentriwinkels ist, schließen die beiden unbekannten Winkel jeweils ${\frac {180^{\circ }-24^{\circ }}{2}}={\frac {156^{\circ }}{2}}=78^{\circ }$ ein (${\frac {360^{\circ }}{15}}=24^{\circ }$ ist der Zentriwinkel). Da das für alle fünfzehn Dreiecke gilt, addieren sich die beiden Winkel an einem Eckpunkt zu $156^{\circ }$.

ergänzen, um die Herkunft der $24^{\circ }$ zu erklären.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 01:04, 4. Okt. 2015 (CEST)

Das macht Sinn. Vielleicht findest du eine Formulierungsalternative bezüglich 24° ohne Klammersetzung.

--Petrus3743 (Diskussion) 01:16, 4. Okt. 2015 (CEST)

Ja, das ist in der Tat hässlich.

Das Fünfzehneck lässt sich in fünfzehn Dreiecke teilen, deren Seiten jeweils eine Seite des Fünfzehnecks $a$ und die Verbindungsstrecken seines Mittelpunktes mit den zwei Endpunkten der Seite sind. Die Winkel am Mittelpunkt des Fünfzehnecks addieren sich zu $360^{\circ }{\text{,}}$ sein Zentriwinkel beträgt also $24^{\circ }{\text{.}}$ Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer $180^{\circ }$ beträgt und das Dreieck gleichschenklig und damit symmetrisch zur Halbierenden des Zentriwinkels ist, schließen die beiden unbekannten Winkel jeweils ${\frac {180^{\circ }-24^{\circ }}{2}}=78^{\circ }$ ein. Da das für alle fünfzehn Dreiecke gilt, addieren sich die beiden Winkel an einem Eckpunkt zu $156^{\circ }$.

So ist es aber wieder etwas länger. Ich denke, man kann den Zwischenschritt bei der letzten Berechnung (wie hier nun geschehen) weglassen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 01:24, 4. Okt. 2015 (CEST)

Nun sieht es besser aus! Bitte so einbauen.

--Petrus3743 (Diskussion) 01:38, 4. Okt. 2015 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:03, 4. Okt. 2015 (CEST)

Artikelentwurf fertigstellen

Bitte sehe die Benutzerseite "Petrus3743/ Entwürfe" durch, ich sehe nur mehr zwei kleine Punkte

in "Berechnung des Umkreisradius"

• ${\mathsf {(8)}}$ Nach Konstruktion, Schritt 9 gilt: ...

in "Konstruktion bei gegebener Seite"

• 6. Zeichnen einer geraden Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte von E₁E₂) mit der Länge etwas länger als dreimal die Strecke BC; Schnittpunkt mit E₁E₂ ist D
  

die in den Artikelenwurf einzuarbeiten sind. Es würde mich freuen, wenn wir dieses Wochenende nach einer abschließnden Kontrolle den Artikel veröffentlichen könnten.
--Petrus3743 (Diskussion) 17:08, 3. Okt. 2015 (CEST)

Die beiden oben aufgelisteten Punkte sind in den Artikelenwurf eingearbeitet. Bitte überprüfe trotzdem die Benutzerseite "Petrus3743/ Entwürfe" auf noch zu erledigende Punkte.

--Petrus3743 (Diskussion) 22:12, 3. Okt. 2015 (CEST)

Meinst du Benutzer:Petrus3743/Artikelentwurf_Fünfzehneck? Benutzer:Petrus3743/ Entwürfe ist leer.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 00:02, 4. Okt. 2015 (CEST)

Entschuldigung, ich meine natürlich diese Seite "Benutzer Diskussion:Petrus3743/ Entwürfe".

--Petrus3743 (Diskussion) 00:22, 4. Okt. 2015 (CEST)

Also diese Seite?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 01:24, 4. Okt. 2015 (CEST)

Ja, genau diese.

--Petrus3743 (Diskussion) 01:43, 4. Okt. 2015 (CEST)

INFO: Ich werde heute erst um ca. 18:00 wieder am PC sein. Einmal habe ich den Artikelentwurf schon durchgelesen. So viel wird nicht mehr zu verbessern sein, also einfach einarbeiten und VERSCHIEBEN. Eines möchte ich noch sagen: Deine Formulierungen sind wesentlich besser als meine. Korrekturen im "fertigen" Artikel sind für mich auch kein Problem. Bis dann Gruß Petrus3743 (Diskussion) 09:56, 4. Okt. 2015 (CEST)

Ich habe eben den Artikel, die Diskussion und das Diskussionsarchiv verschoben. Hoffentlich ohne Fehler. Die Vorschau des Artikels kann wohl einfach gelöscht werden, oder? Dort fand ja keine Diskussion statt und im Artikel sollte ja jetzt genau das stehen, was in der Vorschau steht.

Wurde bereits von Benutzer:Jivee Blau (Lösch-Logbuch 20:16) erledigt? Habe ich das richtig gesehen?

--Petrus3743 (Diskussion) 21:06, 4. Okt. 2015 (CEST)

Damit die Diskussionsseite schnell leer wird, habe ich den Archivierungsabstand auf 0 Tage gestellt. Damit sollten alle erledigten Abschnitte heute Nacht ins Archiv verschwinden. Morgen muss dann der Archivbaustein geändert werden in

{{Autoarchiv-Erledigt |Alter=14 |Ziel='Diskussion:Fünfzehneck/Archiv/ab 2015' |aktuelles Archiv=[[Diskussion:Fünfzehneck/Archiv/ab 2015]]}}

und eine Archivübersicht eingebaut werden:

{{Archivübersicht| • [[/Archiv/vor Veröffentlichung|vor Veröffentlichung]]<br/>• [[/Archiv/seit 2015|seit 2015]] }}

Kannst du das machen, falls ich nicht dazu komme? (Bitte den Quelltext aus dem Bearbeiten-Fenster kopieren, nicht aus der Leseansicht!)
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:44, 4. Okt. 2015 (CEST)

Ja, werde ich übernehmen.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:00, 4. Okt. 2015 (CEST)

Bitte denke auch daran, die Verlinkung des Entwurfs von deiner Benutzerseite aus zu korrigieren.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:01, 4. Okt. 2015 (CEST)

Ist bereits erledigt.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:00, 4. Okt. 2015 (CEST)

ergänzt
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:16, 4. Okt. 2015 (CEST)

Fehlt hier ein Text?

--Petrus3743 (Diskussion) 21:00, 4. Okt. 2015 (CEST)

Probeansicht vom werdenden Artikel

Ungeprüfter Stand vom 04.10.2015. Zur Prüfung der Vollständigkeit des Artikelentwurfs, nicht fürs Verschieben in den Artikelentwurf vorgesehen!

• Der Versuch einer Probeansicht, denn langsam habe ich den Überblick verloren. Ich hoffe es wurde von jedem Abschnitt das Aktuelle übernommen. Fehlt uns zu den "Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks mit Seitenlänge a" noch eine kurze Beschreibung zur Seitenlänge a. Nachtrag: Könntest du den wieder übernehmen?. Das dazugehörige Vorschaubild ist jetzt transparent ausgeführt.

• Um den Aufwand vorerst zu minimieren mit unveränderten Vorschaubildern!
• Das Hauptkriterium ist die Höhe und die Schriftgröße in den Bildern, nicht deren Länge. Vielleicht ist es, wegen des Überblicks, besser die Vorschaubilder nicht zu individualisieren.
• Bitte variiere selbst auch die Anzahl, Lage und die Größe der Bilder. Soll das erste Bild mit oder ohne Rahmen bzw. größer oder gleich groß sein?
• Ich habe zusätzlich Minibilder (als Alternaive?) ohne Beschreibung eingefügt. Vielleicht kann man sie "direkt" im Taplet zoomen?
• Zu beachten ist hierzu noch wie das Ganze auf einem "normal" großen Laptop oder Monitor aussehen bzw.wirken würde...
  

--Petrus3743 (Diskussion) 09:17, 4. Jul. 2015 (CEST)

Die Minibilder erfüllen ihren Sinn nicht. Es ging ja darum, die Skizze und die Herleitung auf einen Blick zu sehen, damit das Scrollen entfällt. Die Minibilder sind aber so klein, dass man sie anklicken muss, um etwas zu erkennen. Dabei wird man aber auf eine andere Seite weitergeleitet; die Herleitung ist also wieder weg. Zoomt man andererseits so extrem, dass man die Bilder erkennt, ohne die Seite zu wechseln, ist die Herleitung zu groß, um gelesen werden zu können.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 19:48, 4. Jul. 2015 (CEST)

Minibilder entfernt, übrige Bilder i.O.?

--Petrus3743 (Diskussion) 22:51, 4. Jul. 2015 (CEST)

Vom Layout schon. Möchtest du die Bilder noch individualisieren oder bleiben sie so?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:46, 5. Jul. 2015 (CEST)

Die individuellen Skizzen sind eingearbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 5. Jul. 2015 (CEST)

und sehen gut aus.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:49, 6. Aug. 2015 (CEST)

Pentadekagramme Bezeichnung ändern?

--Petrus3743 (Diskussion) 08:17, 5. Jul. 2015 (CEST)

Es wäre nur konsequent, die Bezeichnung hier auch wegzulassen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:51, 5. Jul. 2015 (CEST)

Ja, so sehe ich das auch.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:50, 5. Jul. 2015 (CEST)

„Regelmäßige überschlagene Fünfzehnecke” gut?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:44, 6. Aug. 2015 (CEST)

Ist genau richtig!erledigtErledigt

Petrus3743 (Diskussion) 00:00, 7. Aug. 2015 (CEST)

„Regelmäßige überschlagene Fünfzehnecke” auch in den Artikelentwurf übernehmen.

Petrus3743 (Diskussion) 11:08, 21. Aug. 2015 (CEST)

Regelmäßiges Fünfzehneck

Fünfzehneck

Das Fünfzehneck ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte und deren fünfzehn Verbindungen namens Seiten, Strecken oder Kanten.

Variationen

Das Fünfzehneck ist darstellbar als:

• konkaves Fünfzehneck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Fünzehneck kann höchstens sieben solche Winkel haben.
• konvexes Fünfzehneck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Fünfzehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
• Sehnenfünfzehneck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen ungleich sind.
• regelmäßiges Fünfzehneck: Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte auf einem virtuellen Kreis. Sie haben auf diesem zueinander den gleichem Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
• regelmäßiges überschlagenes Fünfzehneck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen $\left\{n/k\right\}$, wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$-te Punkt verbunden wird. Es gibt nur drei regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne. Die Sterne mit den Symbolen {15/3} und {15/12} sind regelmäßige Fünfecke, {15/5} und {15/10} gleichschenklige Dreiecke und {15/6} und {15/9} regelmäßige Pentagramme.

• Regelmäßige überschlagene Fünfzehnecke
• 
  $\left\{15/2\right\}{,}\ \left\{15/13\right\}$
• 
  $\left\{15/4\right\}{,}\ \left\{15/11\right\}$
• 
  $\left\{15/7\right\}{,}\ \left\{15/8\right\}$

Regelmäßiges Fünfzehneck

Das regelmäßige Fünfzehneck ist nach Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz und voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen $\left(15=2^{0}\cdot 3\cdot 5\right)$ darstellbar ist. Wie beim regelmäßigen Fünfeck ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Größen

Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks

Innenwinkel	${\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }\\&=156^{\circ }\end{aligned}}$
Seitenlänge	${\begin{aligned}a&=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&={\frac {\sin(24^{\circ })}{\sin(78^{\circ })}}\cdot R\approx 0{,}416\cdot R\end{aligned}}$
Umkreisradius	${\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}$
Inkreisradius	${\begin{aligned}r&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {7+2\cdot {\sqrt {5}}+2\cdot {\sqrt {3\cdot \left(5+2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}}}\\&={\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2{,}352\cdot a\end{aligned}}$
Flächeninhalt	${\begin{aligned}A&=a^{2}\cdot {\frac {15}{4}}\cdot {\sqrt {7+2\cdot {\sqrt {5}}+2\cdot {\sqrt {3\cdot \left(5+2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}}}\\&=15\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a^{2}\approx 17{,}642\cdot a^{2}\end{aligned}}$
Höhe	${\begin{aligned}h&=r+R\approx 4{,}757\cdot a\end{aligned}}$

Innenwinkel

Die allgemeine Formel für Polygone liefert

$\alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {15-2}{15}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }=156^{\circ }$.

Dieser Wert lässt sich auch durch folgende Überlegungen herleiten:

Das Fünfzehneck lässt sich in fünfzehn Dreiecke teilen, deren Seiten jeweils eine Seite des Fünfzehnecks $a$ und die Verbindungsstrecken seines Mittelpunktes mit den zwei Endpunkten der Seite sind. Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer $180^{\circ }$ beträgt und das Dreieck gleichschenklig und damit symmetrisch zur Winkelhalbierenden ist, schließen die beiden unbekannten Winkel jeweils ${\frac {180^{\circ }-24^{\circ }}{2}}={\frac {156^{\circ }}{2}}=78^{\circ }$ ein. Da das für alle fünfzehn Dreiecke gilt, addieren sich die beiden Winkel an einem Eckpunkt zu $156^{\circ }$.

Seitenlänge und Umkreisradius

Wieder wird das Fünfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt. Mit den aus der letzten Herleitung bekannten Winkeln liefert der Sinussatz die Länge einer Seite des Fünfzehnecks in Abhängigkeit von der Länge der Strecke zwischen dem Mittelpunkt und einem Eckpunkt und umgekehrt. Letzteres ist der Radius des Umkreises.

${\begin{aligned}{\frac {\sin \left(24^{\circ }\right)}{\sin \left(78^{\circ }\right)}}={\frac {a}{R}}&\Leftrightarrow a={\frac {R\cdot \sin \left(24^{\circ }\right)}{\sin \left(78^{\circ }\right)}}\approx 0{,}416\cdot R\\&\Leftrightarrow R={\frac {a\cdot \sin \left(78^{\circ }\right)}{\sin \left(24^{\circ }\right)}}\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}$

Inkreisradius

Der Inkreisradius ist die Höhe auf der Außenseite eines Teildreiecks $r=h_{a}$ und berechnet sich allgemein als das Produkt einer anderen Seite und des Sinus des Winkels, der keiner der beiden Seiten gegenüberliegt: $h_{a}=b\cdot \sin(\gamma )$. Für ein Dreieck des Fünfzehnecks gilt $r=h_{a}=R\cdot sin(78^{\circ })$. Aus $R={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}$ folgt für den Inkreisradius:

$r={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot sin(78^{\circ })=a\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\approx 2{,}3523a$.

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich zu $A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot h_{a}$. Weiter gilt für die Höhe auf einer Seite $h_{a}=b\cdot \sin(\gamma )$; für ein Dreieck des Fünfzehnecks also $h_{a}=r\cdot \sin(78^{\circ })$. In die erste Formel eingesetzt ergibt sich $A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot r\cdot \sin(78^{\circ })$.

Aus $r={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}$ folgt für die Fläche eines Teildreiecks

$A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot {\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot \sin(78^{\circ })={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a^{2}\approx 1{,}176\cdot a^{2}$

und für die Fläche des gesamten Fünfzehnecks

$A=15\cdot A_{\Delta }=15\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a^{2}\approx 17{,}642\cdot a^{2}$

Höhe

Die Höhe h eines regelmäßigen Fünfzehneckes ist die Summe aus In- und Umkreisradius, da die Verlängerung der Höhe eines Teilstückes über den Mittelpunkt des Fünfzehnecks hinaus auf einen Eckpunkt trifft.

$h=R+r={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot \sin(78^{\circ })+{\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot (1+\sin(78^{\circ }))\approx 4{,}757\cdot a$

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis

In der hier dargestellten Konstruktion werden je zwei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks ($E_{1}$ und $E_{6}$) und eines regelmäßigen Fünfecks ($E_{2}$ und $E_{5}$) in den gegebenen Umkreis eingepasst. ${\overline {E_{1}E_{2}}}$ ist dann die Seite eines regelmäßigen Fünfzehnecks im gegebenen Umkreis.

${\overline {AB}}$ bezeichnet die Strecke zwischen den Punkten $A$ und $B$.

Konstruktionsskizze, Umkreisradius gegeben

Animation der Skizze

Ist ein Kreis k₁ (der Umkreis um das entstehende Fünfzehneck) um den Mittelpunkt M gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B
2. Konstruktion eines Radius, der orthogonal zu AB steht; Schnittpunkt mit k₁ ist C
3. Konstruktion eines Kreisbogens um A mit dem Radius AM; Schnittpunkte mit k₁ sind E₁ und E₆
4. Zeichnen von E₁E₆; Schnittpunkt mit AB ist F
5. Zeichnen eines Kreisbogens um F mit dem Radius FC; Schnittpunkt mit AB ist G
6. Zeichnen eines Kreisbogens um A mit dem Radius MG; Schnittpunkte mit k₁ sind E₂ und E₅
7. dreizehnmaliges Abtragen der Sehne E₁E₂ von k₁ auf k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte E_3–15 des Fünfzehnecks
8. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Berechnung der Seitenlänge

Die in obiger Tabelle angegebene Formel $a=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}$ für die Seitenlänge leitet sich wie folgt her:

Berechnungsskizze für Seitenlänge a

${\mathsf {(1)}}$ Gleichseitiges Dreieck $AME_{1}$

${\mathsf {(1.1}})\;{\overline {ME_{1}}}=R$ (Umkreisradius)

${\mathsf {(1.2)}}\;{\overline {AM}}={\overline {ME_{1}}}={\overline {AE_{1}}}=R$ nach Konstruktion, Schritt 3

${\mathsf {(1.3)}}\;{\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$

${\mathsf {(2)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $\;FME_{1}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {ME_{1}}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {FE_{1}}}^{2}$

${\begin{aligned}{\overline {FE_{1}}}&={\sqrt {{\overline {ME_{1}}}^{2}-{\overline {FM}}^{2}}}={\sqrt {R^{2}-\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}}}={\sqrt {R^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot R^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{4}}\cdot R^{2}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}$

${\mathsf {(3)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $FMC$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {FC}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {MC}}^{2}$

${\mathsf {(3.1)}}\;{\overline {FC}}={\sqrt {{{\overline {FM}}^{2}}+{{\overline {MC}}^{2}}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}+R^{2}}}={\sqrt {{\frac {5}{4}}\cdot R^{2}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$

${\mathsf {(3.2)}}\;{\overline {FG}}={\overline {FC}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}\;$ nach Konstruktion, Schritt 5

($\angle ABC$ bezeichnet den von ${\overline {AB}}$ und ${\overline {BC}}$ eingeschlossenen Winkel.)

${\mathsf {(4)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $ABE_{2}$

${\mathsf {(4.1)}}\;{\overline {MG}}={\overline {FG}}-{\overline {FM}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot R=R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$

${\mathsf {(4.2)}}\;{\overline {AE_{2}}}={\overline {AH}}={\overline {MG}}=R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\;$ (Der Punkt $H$ ist ein Nebenprodukt der Konstruktion von $E_{2}$ und $E_{5}{\text{.}}$)

Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck $ABE_{2}$ rechtwinklig, wieder gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AE_{2}}}^{2}+{\overline {BE_{2}}}^{2}$

${\begin{aligned}{\mathsf {(4.3)}}\;{\overline {BE_{2}}}&={\sqrt {{\overline {AB}}^{2}-{\overline {AE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {{(2\cdot R)}^{2}-\left({R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}\right)^{2}}}={\sqrt {4\cdot R^{2}-{R^{2}}\cdot {\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}\\&=R\cdot {\sqrt {4-{\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {16}{4}}-{\frac {\left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {10+2\cdot {\sqrt {5}}}{4}}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot \left(10+2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathsf {(4.4)}}\;\sin \left(\beta \right)&={\frac {\overline {AE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)}{2\cdot R}}={\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\;=\sin \left(18^{\circ }\right)\\&\Rightarrow \angle \;E_{2}BA=\beta =18^{\circ }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathsf {(4.5)}}\;\cos \left(\beta \right)&={\frac {\overline {BE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}{2\cdot R}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\;=\cos \left(18^{\circ }\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(5)}}$ Gleichschenkliges Dreieck $MBE_{2}$

(Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^{\circ }$ und in einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel, die den gleich langen Schenkeln gegenüberliegen (hier $\alpha$ und $\beta$), gleich groß.)

${\mathsf {(5.1)}}\;\angle E_{2}BM=\angle E_{2}BA=\beta =18^{\circ }$ (aus 4.4)

${\begin{aligned}{\mathsf {(5.2)}}\;\gamma &=180^{\circ }-2\cdot 18^{\circ }=144^{\circ }\\\delta &=\angle E_{2}MA=180^{\circ }-144^{\circ }=36^{\circ }\end{aligned}}$

${\mathsf {(6)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $IBE_{2}$

Mit $\angle E_{2}BI=18^{\circ }$ gilt ${\frac {\overline {IE_{2}}}{BE_{2}}}=\sin \left(18^{\circ }\right)$ sowie ${\frac {\overline {BI}}{BE_{2}}}=\cos \left(18^{\circ }\right).$

${\begin{aligned}{\mathsf {(6.1)}}\;{\overline {IE_{2}}}&={\overline {BE_{2}}}\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot 2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot {\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot \left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(25-10\cdot {\sqrt {5}}+5+5\cdot {\sqrt {5}}-10+{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(20-4\cdot {\sqrt {5}}\right)}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot 4\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\\{\text{(6.2)}}\;{\overline {FJ}}&={\overline {IE_{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\\{\text{(6.3)}}\;{\overline {BI}}&={\overline {BE_{2}}}\cdot \cos \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\\&=R\cdot {\frac {1}{8}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}^{2}=R\cdot {\frac {1}{8}}\cdot 2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(7)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $E_{2}JE_{1}$

${\mathsf {(7.1}})\;{\overline {BF}}={\overline {BM}}+{\overline {FM}}=R+{\frac {1}{2}}\cdot R={\frac {3}{2}}\cdot R$

${\begin{aligned}{\mathsf {(7.2)}}\;{\overline {JE_{2}}}&={\overline {BI}}-{\overline {BF}}=R\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)-R\cdot {\frac {3}{2}}=R\cdot \left({\frac {1}{4}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)-{\frac {3}{2}}\right)\\&=R\cdot \left({\frac {5}{4}}+{\frac {\sqrt {5}}{4}}-{\frac {6}{4}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}-6\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\\{\mathsf {(7.3)}}\;{\overline {JE_{1}}}&={\overline {FE_{1}}}-{\overline {FJ}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(7.4)}}$ Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {E_{1}E_{2}}}^{2}={\overline {JE_{2}}}^{2}+{\overline {JE_{1}}}^{2}$

${\color {white}{\mathsf {(9.3)}}}{\begin{aligned}\;{\overline {E_{1}E_{2}}}&={\sqrt {{\overline {JE_{2}}}^{2}+{\overline {JE_{1}}}^{2}}}\\&={\sqrt {\left\lbrack R\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right\rbrack ^{2}+\left\lbrack R\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right\rbrack ^{2}}}\\&={\sqrt {\left\lbrack R^{2}\cdot {\frac {1}{16}}\cdot \left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)\right\rbrack +\left\lbrack R^{2}\cdot \left({\frac {3}{4}}-2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)\right)\right\rbrack }}\\&=R\cdot {\sqrt {\left\lbrack {\frac {1}{16}}\cdot \left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)\right\rbrack +\left\lbrack {\frac {3}{4}}-{\sqrt {3\cdot {\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{16}}\right\rbrack }}\\&=R\cdot {\sqrt {\left\lbrack {\frac {5}{16}}-{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{16}}+{\frac {1}{16}}\right\rbrack +\left\lbrack {\frac {12}{16}}-{\sqrt {{\frac {6}{16}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{16}}\right\rbrack }}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {28-4\cdot {\sqrt {5}}}{16}}-{\sqrt {{\frac {6}{16}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {7}{4}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {5}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot \left(7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\end{aligned}}$

${\mathsf {(8)}}\;a={\overline {E_{1}E_{2}}}=R\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\approx 0{,}416\cdot R$

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge

Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Fünfecks bei gegebener Seite, auch darin gelingt die Darstellung mittels Verlängerung der Seite und einer damit generierten Strecke ${\overline {FE_{2}}}{\text{,}}$ die nach dem Goldenen Schnitt geteilt ist.

${\overline {AB}}$ bezeichnet die Strecke zwischen den Punkten $A$ und $B$

Konstruktionsskizze, Länge der Seite gegeben

Animation der Skizze

Ist die Seitenlänge (Strecke) eines Fünfzehnecks gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

1. Bezeichnen der Streckenenden mit E₁ und E₂; beide sind Eckpunkte des enstehenden Fünfzehnecks
2. Verlängern der Strecke E₁E₂ ab E₁ um ca. einer Länge dieser Strecke
3. Zeichnen eines Kreisbogens um E₁ mit dem Radius E₁E₂
4. Konstruktion einer Senkrechten zur Strecke E₁E₂ ab E₁; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E₁ ist A
5. Zeichnen eines Kreisbogens um E₂ mit dem Radius E₁E₂; Schnittpunkte mit Kreisbogen um E₁ sind B und C
6. Zeichnen einer geraden Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte von E₁E₂) mit der Länge etwas länger als dreimal die Strecke BC; Schnittpunkt mit E₁E₂ ist D
7. Zeichnen eines Kreisbogens um D mit dem Radius DA; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke E₁E₂ ist F
8. Zeichnen eines Kreisbogens um E₂ mit dem Radius E₂F; Schnittpunkt mit der geraden Linie (ab C durch B) ist G
9. Zeichnen eines kurzen Kreisbogens um E₂ mit dem Radius CG; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke CB ist M, der Mittelpunkt des Umkreises des entstehenden Fünfzehnecks
10. Zeichnen des Umkreises k₁ um M mit dem Radius ME₂; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E₂ ist Eckpunkt E₃
11. elfmaliges Abtragen der Sehne E₁E₂ von k₁ auf k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte E_3–15 des Fünfzehnecks
12. Verbinden der so gefundenen Eckpunkte.

Berechnung des Umkreisradius

Die in obiger Tabelle angegebene Formel $R=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)$ für den Umkreisradius leitet sich wie folgt her:

${\mathsf {(1)}}\;{\overline {E_{1}E_{2}}}={\overline {E_{1}A}}={\overline {CE_{2}}}=a$ (Seitenlänge)

${\mathsf {(2)}}\;{\overline {DE_{1}}}={\overline {DE_{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot a$

${\mathsf {(3)}}\;$ Rechtwinkliges Dreieck $AE_{1}D$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {DA}}^{2}={\overline {E_{1}A}}^{2}+{\overline {DE_{1}}}^{2}$

${\mathsf {(3.1)}}\;{\overline {DA}}={\sqrt {{{\overline {E_{1}A}}^{2}}+{{\overline {DE_{1}}}^{2}}}}={\sqrt {a^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\cdot a^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left(1+{\frac {1}{4}}\right)}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$

${\mathsf {(3.2)}}\;{\overline {DF}}={\overline {DA}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$ nach Konstruktion, Schritt 7

${\mathsf {(4)}}\;{\overline {E_{1}F}}={\overline {DF}}-{\overline {DE_{1}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-a\cdot {\frac {1}{2}}=a\cdot \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)$

${\begin{aligned}{\mathsf {(5)}}\;{\overline {E_{2}F}}&=a+{\overline {E_{1}F}}=a+a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)=a\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)\\&=a\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(5.1)}}\;{\overline {E_{2}G}}={\overline {E_{2}F}}=a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)$ nach Konstruktion, Schritt 8

${\mathsf {(6)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $DE_{2}G$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {E_{2}G}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}$

${\begin{aligned}{\overline {DG}}\;&={\sqrt {{{\overline {E_{2}G}}^{2}}-{{\overline {DE_{2}}}^{2}}}}={\sqrt {a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\\&=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {5}{4}}-{\frac {1}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot \left(5+2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}\end{aligned}}$

${\mathsf {(7)}}$ Rechtwinkliges Dreieck ${DCE_{2}}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {CE_{2}}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}$

${\overline {DC}}={\sqrt {{\overline {CE_{2}}}^{2}-{\overline {DE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {a^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left(1-{\frac {1}{4}}\right)}}=a\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

${(8)}$ Nach Konstruktion, Schritt 9 gilt:

${\begin{aligned}R&={\overline {E_{2}M}}={\overline {CG}}\\&={\overline {DG}}+{\overline {DC}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}\right)+a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}$

Der Goldene Schnitt im Fünfzehneck

Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlänge wird der Goldene Schnitt zur Bestimmung von Konstruktionselementen verwendet.

Teil der Konstruktionsskizze bei gegebenem Umkreis

Teil der Konstruktionsskizze bei gegebener Seitenlänge

• In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis teilt der Punkt $H$ den Radius ${\overline {AM}}$ im Verhältnis des Goldenen Schnittes:

${\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1{,}618{\text{.}}$

• In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge wird die Seite derart verlängert, dass sie die längere Strecke des Verhältnisses ist:

${\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1{,}618{\text{.}}$

Weblinks

Eric W. Weisstein: Pentadecagon. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

[[Kategorie:Polygon]]